高考分类汇编（圆锥曲线大题含答案） - 图文

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， 0)、F2(1， 0),短轴的两个端1．（20XX年上海市春季高考数学试卷）.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1 B2(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的点分别为B1、直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1P?FQ1,求直线l的方程.

x2y22．（20XX年高考四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?1,0),F2(1,0),

ab41且椭圆C经过点P(,).(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N33211??两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程. 222|AQ||AM||AN|

xy3．（20XX年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆C:2?2?1(a?b?0)的

ab左、右焦点分别是F1,F2,离心率为223,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明

11?为定值,并求出这个定值. kk1kk2

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4．（20XX年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点P(0,?1)是椭圆

x2y2C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相

ab垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D (1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

y l1 D O P A （第21题图）

l2 B x

5．（20XX年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,

长轴在x轴上,离心率e?2,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A?两点,AA??4. 2(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为

Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ?P?Q,求圆Q的标准方程.

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x2y2?1的焦6．（20XX年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆E:2?2a1?a点在x轴上(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴与点Q,并且F1P?F1Q,证明:当a变化时,点p在某定直线上. 解:

7．（20XX年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切

并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

x2y28．（20XX年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦

ab点为F, 离心率为343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

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x2y2319．（20XX年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方

ab22程为x=4.(1)

求椭圆C的方程;(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与

直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.

10．（20XX年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系xOyx2y2中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,

ab且OP的斜率为

1. 2(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.

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， 0)、F2(1， 0),短轴的两个11．（20XX年上海市春季高考数学试卷）.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1 B2(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2端点分别为B1、的直线l与椭圆C相交于P、 Q两点,且F1P?FQ1,求直线l的方程.

x2y2[解](1)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).

ab根据题意知??a?2b22?a?b?1, 解得a?2421,b? 33x2y2??1. 故椭圆C的方程为

4133x2?y2?1. (2)容易求得椭圆C的方程为2当直线l的斜率不存在时,其方程为x?1,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l的方程为y?k(x?1).

?y?k(x?1)?2222由?x2 得(2k?1)x?4kx?2(k?1)?0.

2??y?1?2 y1)， Q(x2， y2),则 设P(x1，4k22(k2?1)x1?x2?2， x1x2?， F1P?(x1?1， y1)， FQ?(x2?1， y2) 12k?12k2?1因为F?0,即 1P?FQ1,所以F1P?FQ1(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1

7k2?1?2?0, 2k?1解得k?271,即k??. 77故直线l的方程为x?7y?1?0或x?7y?1?0.

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x2y212．（20XX年高考四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?1,0),F2(1,0),

ab41且椭圆C经过点P(,).(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N33211??两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程. 222|AQ||AM||AN|?4??1??4??1?解:2a?PF1?PF2???1???????1?????22

?3??3??3??3?所以,a?22222. 又由已知,c?1, 所以椭圆C的离心率e?c12 ??a22x2????由???知椭圆C的方程为?y2?1. 设点Q的坐标为(x,y).

2(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于?0,1?,?0,?1?两点,此时Q点坐标为?0,2?(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y?kx?2.

因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1?2),(x2,kx2?2),则

???35?? 5??AM?(1?k2)x12,AN?(1?k2)x22. 又AQ?x2??y?2??(1?k2)x2.

由

22222AQ2?1AM2?1AN2,得

2211,即 ??222222?1?k?x?1?k?x1?1?k?x2x2211?x1?x2??2x1x2?y2?1中,得 ① 将y?kx?2代入?2?2?2222xx1x2x1x2?2k2?1?x2?8kx?6?0 ② 由???8k??4??2k2?1??6?0,得k2?23. 28k6182 代入①中并化简,得 ③ ,xx?,x?122k2?12k2?110k2?3y?222因为点Q在直线y?kx?2上,所以k?,代入③中并化简,得10?y?2??3x?18.

x由②可知x1?x2???6??6?332由③及k?,可知0?x?,即x????2,0????0,2??. 22????2又?0,2?????35?66?22x??,满足,故. 10y?2?3x?18????????5??22?由题意,Q?x,y?在椭圆C内部,所以?1?y?1, 又由10?y?2??18?3x有

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?135??99?,2??y?2???,?且?1?y?1,则y???. ?5425????2所以点Q的轨迹方程是10?y?2??3x?18,其中,x???22????166?35?,,y?,2???? ??22?5??222xy13．（20XX年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆C:2?2?1(a?b?0)的ab左、右焦点分别是F1,F2,离心率为

3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明

11?为定值,并求出这个定值. kk1kk2x2y2b2?2?1y??2222ba 解:(Ⅰ)由于c?a?b,将x??c代入椭圆方程a得32b2c?1e??22 a由题意知a,即a?2b 又

x2?y2?1所以a?2,b?1 所以椭圆方程为4

(Ⅱ)由题意可知:PF1?PMPF2?PMPF1?PMPF2?PM2=,=,设P(x0,y0)其中x0?4,将向|PF2||PF1||PM||PF2||PM||PF1|232量坐标代入并化简得:m(4x0?16)?3x0?12x0,因为x0?4,

所以m?333x0,而x0?(?2,2),所以m?(?,) 422(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: xy0y011x0x?,k2??y0y?1,所以k??0,而k1?,代入中得 4y0kk1kk24x?3x?3x?3x0?311???4(0?)??8为定值. kk1kk2x0x0

14．（20XX年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点P(0,?1)是椭圆

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x2y2C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相

ab垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D (1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

y l1 D O P A （第21题图）

l2 B x

x2?y2?1; 解:(Ⅰ)由已知得到b?1,且2a?4?a?2,所以椭圆的方程是41?0(Ⅱ)因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?,直线

l2:y??d?11x?1?x?ky?k?0,所以圆心(0,0)到直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0的距离为k21?k,所以直线l1被圆x?y?4所截的弦AB?24?d222?23?4k21?k2;

?x?ky?k?0?222由?x2?kx?4x?8kx?0,所以

2??y?1?48k164k28k2?1xD?xP??2?|DP|?(1?2)2?2,所以 2k?4k(k?4)k?4S?ABD1123?4k28k2?184k2?34?84k2?3?|AB||DP|???2??2222k?4k?44k2?3?131?k?324k2?34k2?32?134k2?3?324k2?3?134k2?3?32213?1613, 13当4k?3?134k2?3?k2?10510x?1 ?k??时等号成立,此时直线l1:y??22215．（20XX年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,

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长轴在x轴上,离心率e?2,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A?两点,AA??4. 2(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为

Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ?P?Q,求圆Q的标准方程.

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x2y2?1的16．（20XX年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆E:2?2a1?a焦点在x轴上(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴与点Q,并且F1P?F1Q,证明:当a变化时,点p在某定直线上.

58x28x2??1. 解: (Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?，椭圆方程为：853222222(Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?（x?c,y),QF2?(c,?m). 由1?a?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).

2?m(c?x)?yc F1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得：??c(x?c)?my?0?x2y2?1?2?2a1?a???(x?c)(x?c)?y2?x2?y2?c2.联立?x2?y2?c2解得

?a2?1?a2?c2???2x22y2?2??1?x2?(y?1)2.?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.

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17．（20XX年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动圆P与M外切

并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,

由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),

x2y2??1(x??2). (Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于其方程为43|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)?y?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23. 当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则

0022|QP|R=,可求得

|QM|r1Q(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??2. 4x2y222??1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得当k=时,将y?x?2代入4344x1,2=18?4?622,∴|AB|=1?k|x1?x2|=.

77218时,由图形的对称性可知|AB|=, 4718或|AB|=23. 7当k=-综上,|AB|=

x2y218．（20XX年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦

ab点为F, 离心率为343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

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x2y23119．（20XX年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方

ab22程为x=4.(1)

求椭圆C的方程;(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与

直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.

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解:(1)由P(1,)在椭圆上得,

2223219??1 ① 依题设知a?2c,则b2?3c2 ② 22a4bx2y2??1. ②代入①解得c?1,a?4,b?3. 故椭圆C的方程为43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③

222222代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0,

8k24(k2?3),x1x2?设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1?x2? ④

4k2?34k2?3333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k). 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有

y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23?2k?? ⑤

2x1x2?(x1?x2)?18k2?2234k?3?2k?1, ④代入⑤得k1?k2?2k??28k224(k?3)??14k2?34k2?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.

2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1y0?y?(x?1)?x?13y02y0?x0?1?0), 从而直线PM的斜率为k3?令x?4,求得M(4,, 联立? ,

22x0?12(x0?1)?x?y?1?3?4得A(5x0?83y02y?2x0?52y0?3,), 则直线PA的斜率为:k1?0,直线PB的斜率为:k2?,

2x0?52x0?52(x0?1)2(x0?1)2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,

2(x0?1)2(x0?1)x0?1所以k1?k2?学习必备 欢迎下载

故存在常数??2符合题意.

20．（20XX年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直角坐标系xOyx2y2中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,

ab且OP的斜率为

1.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,2求四边形ABCD面积的最大值.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tg08.html