广东省罗定市廷锴纪念中学2014-2015学年高二下学期数学(理)测试4

廷锴纪念中学高二第二学期理科数学测试题（4）

班别： 姓名： 座号： 成绩：

1．函数f(x)＝2x－6x－18x＋7 ( )．

A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47 B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47

C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47 D．以上都不对 2．函数f(x)＝2x－3x－12x＋5在上的最大值和最小值分别是 ( ) A．12，－15 B．－4，－15 C．12，－4 D．5，－15

3．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是 ( )

3

2

3

2

4．设f(x) lnx2 1，则f'(2) （ ）． A．

5．点 在曲线y x x A． 0,

3

4213

B． C． D． 5555

2

上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）3

3 3 3

B． C． D． 0, , , , 2 2 4 24 4

3

2

3

2

6．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )． A．y＝x＋6x＋9x B．y＝x－6x＋9x C．y＝x－6x－9x D．y＝x＋6x－9x

7. 设f(x),g(x)是R上的可导函数，f (x),g (x)分别为f(x),g(x)的导数，且

3

2

3

2

f (x)g(x) f(x)g (x) 0，则当a<x<b时，有（ ）

A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(x)>f(b)g(b) C.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

8．已知函数f(x) ax bx cx d的图象与x轴有三个不同交点(0,0),(x1,0)，(x2,0)，且f(x)在x 1，x 2时取得极值，则x1 x2的值为（ ）

3

2

A．4 B．5 C．6 D．不确定

9．曲线y x3在点(a,a3)(a 0)处的切线与x轴、直线x a所围成的三角形的面积为1，

6则a _________

10．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x) x2(大时，箱子底面边长为_____________

11.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________”．

12．设a R，若函数y 2ex ax(x R)有大于零的极值点，则a的取值范围__________．

13．已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a，若f(x)在区间上的最大值为20，它在该区间上的最小值为_______

14.凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2， ，

3

2

60 x

)(0 x 60)，则当箱子的容积最2

f x1 ＋f x2 ＋ ＋f xn x1＋x2＋ ＋xnxn，有f ，若函数y＝sin x在区间(0，π)nn

上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．

x2

ln(1 x) 15.若x 0,求证：x 2

16.某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A，B型号电视12

机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，q万元．已知厂家把

105

总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)

16．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为

12105

q万元．已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电

视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)

解析： 设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，

y＝－x)＋ln x＝x－x＋1， y′＝，由y′＝0 x＝4.

5x10

当x∈时，y′<0，

所以当x＝4时，y取最大值，

2

1

1102525110

ymax＝ln 4－0.4＋1≈1.2.

即厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为1.2万元．

25

14．函数y

12

ax x lnx区间[1,3]上单调递增，求实数a的取值范围. 2

ADDBBBBCD 1 40 a 2

11．已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f′(x)＝－3x＋6x＋9. 令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

23

2

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x＋3x＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在上单调递增． 又由于f(x)在上单调递减，

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即f(x)最小值为－7.

已知f(x) xlnx,

． g(x) x2 ax 3（a R）

3

2

（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）对一切x (0, ),2f(x) g(x)恒成立，求a的取值范围.

（I）f (x) lnx 1，由f (x) 0 ,得x 当x (0,),f (x) 0,f(x)单调递减， 当x (, ),f (x) 0,f(x)单调递增 ，

1 . e 2分

1e

1e

4分

11

f(x)min f() ；

ee 5分

（II）2xlnx x ax 3，则a 2lnx x 设h(x) 2lnx x

2

3， x

3(x 3)(x 1)(x 0)，则h (x) ， 2xx 7分

x (0,1),h (x) 0,h(x)单调递减， x (1, ),h (x) 0,h(x)单调递增，

所以h(x)min h(1) 4，

对一切x (0, ),2f(x) g(x)恒成立，

11分只需

对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at＝(t－1)as”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得．

答案 若{bn}是等比数列，b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有bt＝bs

凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，

s－1

t－1

9分

a h(x)min 4.

12分

f x1 ＋f x2 ＋ ＋f xn x1＋x2＋ ＋xnx2， ，xn，有≤f x，若函数y＝sin

nn

在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得 sin A＋sin B＋sin C≤3sin

A＋B＋C ＝33，

3 2

33

即sin A＋sin B＋sin C的最大值为2答案

33

2

已知f(x) xlnx,

． g(x) x2 ax 3（a R）

（Ⅰ）求函数f(x)的最小值；

（Ⅱ）对一切x (0, ),2f(x) g(x)恒成立，求a的取值范围.

（I）f (x) lnx 1，由f (x) 0 ,得x 当x (0,),f (x) 0,f(x)单调递减， 当x (, ),f (x) 0,f(x)单调递增 ，

1 . e 2分

1e

1e

4分

11

f(x)min f() ；

ee 5分

（II）2xlnx x ax 3，则a 2lnx x 设h(x) 2lnx x

2

3

， x

3(x 3)(x 1)(x 0)，则h (x) ， xx2 7分

x (0,1),h (x) 0,h(x)单调递减， x (1, ),h (x) 0,h(x)单调递增，

所以h(x)min h(1) 4，

对一切x (0, ),2f(x) g(x)恒成立，

11分只需

12分

19．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若

9分

a h(x)min 4.

1

厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为p，

102

ln q万元．已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号5

的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)

解析： 设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，

y＝(10－x)＋x＝x－＋1， y′＝－y′＝0 x＝4.

5x10

当x∈时，y′<0，

所以当x＝4时，y取最大值，

2

1

1102525110

ymax＝ln 4－0.4＋1≈1.2.

即厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为1.2万元．

1312

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－x＋cx＋d有极值．

32(1)求c的取值范围；

12

(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)<＋2d恒成立，求d的取值范围．

61312

解析： (1)∵f(x)＝－x＋cx＋d，

32

∴f′(x)＝x－x＋c，要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x－x＋c＝0有两个不相等的实1

数解，从而Δ＝1－4c>0，∴c<.

4

(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0， ∴c＝－2.

1312

∴f(x)＝x－－2x＋d.

32

∵f′(x)＝x－x－2＝(x－2)(x＋1)，

∴当x∈(－∞，－1]时，f′(x)>0，函数单调递增， 当x∈(－1,2]时，f′(x)<0，函数单调递减． 7

∴x<0时，f(x)在x＝－1处取得最大值d，

6

22

2

25

12

∵x<0时，f(x)<d＋2d恒成立，

6712

∴d<d＋2d，即(d＋7)(d－1)>0， 66∴d<－7或d>1，

即d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．

21．(本小题满分13分)用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

14.8解析： 设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为h＝

4－x－(x＋0.5)＝3.2－2x(0<x<1.6)．

于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x＋2.2x＋1.6x，其中0<x<1.6. 42

由V′(x)＝－6x＋4.4x＋1.6＝0，得x＝1或x＝－(舍去)．

15

因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；

3

2

x∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．

所以，当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m)，h＝3.2－2＝1.2(m)．

即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m.

23

21．(本小题满分13分)某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x(万元)，已知产

75品单价P(万元)与产品件数x满足：P＝，生产100件这样的产品单价为50万元．

(1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式；

(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解析： (1)由题意有50＝∴P＝

25×10

2

2

3

3

kx

，解得k＝25×10， 100

k

4

x

500

x

5002x2x

∴总利润L(x)＝x·1 200－＝－＋500x－1 200(x>0)．

7575x22250

(2)由(1)得L′(x)＝－x＋

25x令L′(x)＝0

25022

＝x， x25

33

2502455

令t＝x，得＝t t＝125×25＝5，

t25

∴t＝5，于是x＝t＝25，

所以当产量定为25时，总利润最大． 这时L(25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.

答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元．

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tfy1.html