2014-2015学年高中数学(人教A版，选修2-2)练习：综合检测

选修2－2综合检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

[答案] D

[解析] ∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，

∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A．y＝7x＋4 B．y＝x－4 C．y＝7x＋2 D．y＝x－2 [答案] D

[解析] y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1， ∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.

3．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图象是(

[答案] A

[解析] ∵f ′(x)＝2x＋b为增函数，∴排除B、D； 又f(x)的顶点在第四象限， ∴－b

2

>0，∴b<0，排除C，故选A.

4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y＝x3－3x和y＝x围成图形的面积为( A．4 B．8 C．10 D．9

[答案] B

[解析] 由??3

?y＝x－3x，??x＝0，??x＝2，??x＝－??y＝x， 解得??或?2，

?y＝0， ?或??y＝2， ??

y＝2.

∵y＝x3－3x与y＝x都是奇函数， ∴围成图形的面积为

)

)

12

?2x2－x4?|0S＝2?2[x－(x3－3x)]dx＝2?2(4x－x3)dx＝2·＝8，故选B. 4

?0?0

5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2013，令f1(x)＝f ′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，?，fn＋1＝fn′(x)，则f2014(x)＝( )

A．sinx＋ex C．－sinx＋ex [答案] C

[解析] f1(x)＝f ′(x)＝cosx＋ex＋2013x2012，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2013×2012x2011，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2013×2012×2011x2010，??，∴f2014(x)＝－sinx＋ex.

6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( ) 1

A. 2C．0 [答案] D

111

[解析] 由f ′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±，∵x∈[0,1]，∴x＝，∵当x∈[0，]，f ′(x)>0，

2221111

当x∈[，1]时，f ′(x)<0，∴f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，故x＝时，f(x)

2222111

取到极大值也是最大值，f()＝3×－4×()3＝1，故选D.

222

7．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A．第一象限 C．第三象限 [答案] B

[解析] ∵x＝3＋4i，∴|x|＝32＋42＝5， ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.

∴复数z在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.

8．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为( ) A．f(k)＋k－1 C．f(k)＋k [答案] A

[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k－2条侧棱形成k－2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k－1个对角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故选A.

B．cosx＋ex D．－cosx＋ex

B．－1 D．1

B．第二象限 D．第四象限

B．f(k)＋k＋1 D．f(k)＋k－2

1π

9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y＝asinx＋sin3x在x＝处有极值，则a的值为( )

33A．－6 C．－2 [答案] D

π

[解析] y′＝acosx＋cos3x，由条件知，acos＋cosπ＝0，∴a＝2，故选D.

310．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A．(2x)′＝x·2x1

－

B．6 D．2

B．(3ex)′＝3ex

cosx－xsinxx

D．()′＝

cosx?cosx?211

C．(x2－)′＝2x－2

xx[答案] B

11

[解析] 对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－)′＝2x＋2；对

xxcosx＋xsinxx

于D，()′＝；综上可知选B.

cosx?cosx?2111

11．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋?n

232－1＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )

A．1项 C．2k

－1

B．k项 D．2k项

项

[答案] D

[解析] n＝k＋1时，左边为： 111

1＋＋＋?＋k＋1 232－1

111111

＝?1＋2＋3＋?＋2k－1?＋?2k＋2k＋1＋?＋2k＋2k－1?， ????故共增加了2k项，故选D.

12．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是( ) A．(0,1]

C．(－∞，－1]∪(0,1] [答案] A

[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， 22?x＋1??x－1?f ′(x)＝2x－＝，

xx

由f ′(x)≤0及x>0得，0

B．[1，＋∞) D．[－1,0)∪(0,1]

①求导数f ′(x)；

②在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0； ③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间．

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{an}中，若前n项之积为Tn，则有T3n＝T2n()3.那么在等差数列{bn}中，若前n项之和为Sn，用类比的方法得到的结论是________． Tn

[答案] S3n＝3(S2n－Sn)

[解析] 由等比数列前n项积，前2n项的积，前3n项的积类比得到等差数列前n项的T2n和，前2n项的和，前3n项的和，由等比数列中()3类比得等差数列中3(S2n－Sn)，故有

TnS3n＝3(S2n－Sn)．

14．已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________．

[答案] [－1,7)

[解析] f ′(x)＝3x2＋4x－a，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a)(7－a)<0，∴－1

＝－，当a＝7时，f ′(x)＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a<7.

3

2－

15．(2014·天门市调研)若复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝________.

1＋3i[答案] 1

[解析] 因为z＝13

??2＋?－?2＝1. 22

3316．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－<0的解集为(－1,2)，则?2(1－)dx

x＋ax＋a?

0

2?1－3i?2?1－3i?123－

＝＝＝－i，所以|z|＝

4221＋3i?1＋3i??1－3i?

＝________.

[答案] 2－3ln3

3

[解析] 由条件知方程1－＝0的根为－1或2，∴a＝1.

x＋a∴?2(1－

?0

33)dx＝?2(1－)dx x＋ax＋1?

0

＝ [x－3ln?x＋1?]|20＝2－3ln3.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

－

17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z1、z2为复数，i为虚数单位，z1·z1

z2＋3－

＋3(z1＋z1)＋5＝0，为纯虚数，z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q.

z2－3

(1)求点P的轨迹方程； (2)求点Q的轨迹方程； (3)写出线段PQ长的取值范围．

－－

[解析] (1)设z1＝x＋yi，(x、y∈R)，由z1·z1＋3(z1＋z1)＋5＝0得x2＋y2＋6x＋5＝0，整理得(x＋3)2＋y2＝4，

∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4. (2)设z2＝x＋yi，(x、y∈R)， z2＋3x＋3＋yix2＋y2－9－6yi

＝＝， z2－3x－3＋yi?x－3?2＋y2∵

z2＋3

为纯虚数，∴x2＋y2＝9且y≠0， z2－3

∴点Q的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)． (3)PQ长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ长的最小值为0，

又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ长的最大值为8，但点Q的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，

∴线段PQ长的取值范围是[0,8)．

[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ长的取值范围”可以不写解答过程．

18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a、b∈R，e＝2.71828?为自然对数的底数．

(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e－2

当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

1

当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增．

2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；

e

当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，

2因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 1e

当

所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b； 1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；

21e

当

当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.

2

(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知， f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.

同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点． 1

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．

2e

当a≥时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．

21e所以

22

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增． 因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有 g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有 g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0. 解得e－2

所以，函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e－2

2222

19．(本题满分12分)先观察不等式(a21＋a2)(b1＋b2)≥(a1b1＋a2b2) (a1、a2、b1、b2∈

R)的证明过程：

222设平面向量α＝(a1，b1)，β＝(a2，b2)，则|α|＝a2β＝a1a2＋b1b2. 1＋b1，|β|＝a2＋b2，α·

∵|α·β|≤|α|·|β|，

222∴|a1a2＋b1b2|≤a21＋b1·a2＋b2， 222∴(a1a2＋b1b2)2≤(a1＋b21)(a2＋b2)，

再类比证明：

222222(a21＋b1＋c1)(a2＋b2＋c2)≥(a1a2＋b1b2＋c1c2).

[分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．

2222[解析] 设空间向量α＝(a1，b1，c1)，β＝(a2，b2，c2)，则|α|＝a2|β|＝a2 1＋b1＋c1，2＋b2＋c2，

α·β＝a1a2＋b1b2＋c1c2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a1a2＋b1b2＋c1c2|

22222≤a21＋b1＋c1·a2＋b2＋c2，

22222∴(a1a2＋b1b2＋c1c2)2≤(a21＋b1＋c1)(a2＋b2＋c2)．

20．(本题满分12分)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0

π

[解析] f ′(x)＝cosx＋sinx＋1＝2sin(x＋)＋1 (0

4π2

令f ′(x)＝0，即sin(x＋)＝－，

423

解之得x＝π或x＝π.

2

x，f ′(x)以及f(x)变化情况如下表：

x f ′(x) f(x) (0，π) ＋ 递增 π 0 π＋2 3(π，π) 2－ 递减 3π 20 3π 23(π，2π) 2＋ 递增 33∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(π，2π)，单调减区间为(π，π)．

2233π

f极大(x)＝f(π)＝π＋2，f极小(x)＝f(π)＝.

22

21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2

＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，?An是线段An－2An－1的中点，?.

(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；

(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1、a2、a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明． 1

[解析] (1)由题意，当n≥3时，xn＝(xn－1＋xn－2)

21a13a

(2)x1＝0，x2＝a，x3＝(x2＋x1)＝，x4＝(x3＋x2)＝，

2224aa

∴a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－，a3＝x4－x3＝，

24a

推测an＝－. ?－2?n1方法一

证明：对于任意n∈N*，an＝xn＋1－xn，

111

an＋1＝xn＋2－xn＋1＝(xn＋1＋xn)－xn＋1＝－(xn＋1－xn)＝－an，

222

1

又∵a1＝a>0，∴{an}是以a为首项，以－为公比的等比数列．

21－a

故an＝a·(－)n1＝－. 2?－2?n1方法二

下面用数学归纳法证明：

1－a①当n＝1时，a1＝a＝a·(－)11，结论an＝－成立． 2?－2?n1a1k－1②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，an＝成立，即a＝a·(－)， －k

2?－2?n1xk＋xk＋1xk－xk＋1

则当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝

22111－

＝－ak＝(－)·a·(－)k1

2221＋－

＝a·(－)(k1)1，

2所以n＝k＋1时，an＝

a

－成立． ?－2?n11－

由①②可知，数列{an}的通项公式为an＝a·(－)n1，n∈N*.

222．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f(x)＝xlnx. (1)求f(x)的单调区间；

11

(2)求f(x)在区间[，]上的最大值和最小值．

82[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f(x)＝xlnx，∴f ′(x)＝lnx＋1， 1

令f ′(x)＝0，得x＝，

e1

令f ′(x)>0，得x>，

e1

令f ′(x)<0，得0

e

11

∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．

ee11131

(2)∵f()＝ln＝ln，

88882111f()＝ln， 2221111f()＝ln＝－， eeee

1131又ln

11311

∴求f(x)在区间[，]的最大值为ln，最小值为－.

8282e

一、选择题

2＋3i

1．i是虚数单位，复数z＝的虚部是( )

－3＋2iA．0 C．1 [答案] B

2＋3i?2＋3i??－3－2i?

[解析] z＝＝ －3＋2i?－3＋2i??－3－2i?＝

－6－9i－4i＋6

＝－i，

13

B．－1 D．2

∴z的虚部是－1.

x＋1

2．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a＝( )

x－1A．－2 1C．

2[答案] A

－21

[解析] y′＝2，y′|x＝3＝－， 2?x－1?1∵(－)·(－a)＝－1，∴a＝－2.

2

?n＋3??n＋4?

3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋?＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，

2左边应取的项是( )

A．1 C．1＋2＋3 [答案] D

[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋?＋(1＋3)＝1＋2＋?＋4，故应选D.

4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )

A．y＝x3＋6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x

1

B．－

2D．2

B．1＋2 D．1＋2＋3＋4

B．y＝x3－6x2＋9x D．y＝x3＋6x2－9x

[答案] B

[解析] 由条件设f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)，∴b＝－6a，c＝9a，

∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故选B.

→

5．在复平面内，点A对应的复数为1＋2i，AB＝(－2,1)，则点B对应的复数的共轭复数为( )

A．1＋3i C．－1＋3i [答案] D

→

[解析] 由条件知A(1,2)，又AB＝(－2,1)， ∴B(－1,3)，∴点B对应复数z＝－1＋3i， －

故z＝－1－3i.

6．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，1

若数列{}的前n项和为Sn，则S2013的值为( )

f?n?

2012A. 20132009C．

2010[答案] A

[解析] f ′(x)＝2x＋b，由f ′(1)＝2＋b＝3，得b＝1. 则f(x)＝x2＋x.

11111于是＝2＝＝－，

f?n?n＋nn?n＋1?nn＋1S2013＝

111＋＋?＋ f?1?f?2?f?2013?

2011

B．

20122010D． 2011B．1－3i D．－1－3i

1111112012＝(1－)＋(－)＋?＋(－)＝1－＝. 2232012201320132013

7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是( )

A．－1≤m≤1 C．－1

[解析] 因为f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f ′(x)<0?－2

B．－1

2m≥－2，??

＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以?m＋1≤2，

??m＋1>2m.

从中解得－1≤m<1，选D.

8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ?? A．1111110 C．1111112 [答案] B

[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.

9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，?，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )

A．76 C．86 [答案] B

[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)个数为4n，所以|x|＋|y|＝20不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.

－1＋3i

10．(2012·大纲全国理，1)复数＝( )

1＋iA．2＋i C．1＋2i [答案] C

[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为?－1＋3i??1－i?2＋4i

＝＝1＋2i，所以选C.

2?1＋i??1－i?

11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

－1＋3i

＝1＋i

B．2－i D．1－2i B．80 D．92 B．1111111 D．1111113

他们研究过图1中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，?这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 C．1225 [答案] C

[解析] 图1中满足a2－a1＝2，a3－a2＝3，?，an－an－1＝n，

n·?n＋1?

以上累加得an－a1＝2＋3＋?＋n，an＝1＋2＋3＋?＋n＝，图2中满足bn＝n2，

2一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． 49×50

∵1225＝352＝，∴选C.

2

12．(2014·辽宁理，11)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )

A．[－5，－3] C．[－6，－2] [答案] C

[解析] ax3≥x2－4x－3恒成立．当x＝0时式子恒成立．∴a∈R， 143

当x>0时，a≥－2－3恒成立．

xxx1

令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1. x∴a≥t－4t2－3t3恒成立．

令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)， ∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数 而且g′(1)＝－16<0，

∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数，

B．1024 D．1378

9

B．[－6，－]

8D．[－4，－3]

∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6； 143

当x<0时，a≤－2－3恒成立，

xxx1

∵x∈[－2,0)，∴t≤－，

2令g′(t)＝0得，t＝－1，

1

∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－]上为增函数，

2∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2. 综上知－6≤a≤－2. 二、填空题

2

13．请阅读下列材料：若两个正实数a1、a2满足a1＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构

造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1.因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以

2

Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.类比上述结论，若n个正实数满足a21＋a2

＋?＋a2n＝1，你能得到的结论为________．

[答案] a1＋a2＋?＋an≤n(n∈N*)

[解析] 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋?＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋?＋an)x＋1， ∵f(x)≥0对任意实数x都成立， ∴Δ＝4(a1＋a2＋?＋an)2－4n≤0，

∵a1，a2，?，an都是正数，∴a1＋a2＋?＋an≤n.

14．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋?＋19，m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．

[答案] 15

10×?1＋19?

[解析] 依题意得n2＝＝100，∴n＝10.

2m?m－1?

易知m3＝21m＋×2，

2整理得(m－5)(m＋4)＝0， 又m∈N*，所以m＝5，

即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m＋n＝15.

15．对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图所示，则2??πsinxdx＝________.

?

0

[答案]

2 2

[解析] ∵?πsinxdx＝－cosx|π0＝2>2，

?0

2－12∴2??πsinxdx＝2?2＝＝.

22?

0

11＋

16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a1、a2∈R，且＋≥4：若a1、a2、a3∈

a1a2

111＋＋

R，且a1＋a2＋a3＝1，则＋＋≥9”，请猜想若a1、a2、?、an∈R，且a1＋a2＋?

a1a2a3111

＋an＝1，则＋＋?＋≥________.

a1a2an

[答案] n2

[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数ai的倒数(i＝1,2，?，n)，右端n＝2时为4111＋

＝22，n＝3时为9＝32，故ai∈R，a1＋a2＋?＋an＝1时，结论为＋＋?＋≥n2(n≥2)．

a1a2an

三、解答题

111

17．已知非零实数a、b、c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不可能构成等abc差数列．

111211

[解析] 假设，，能构成等差数列，则得＝＋，于是得bc＋ab＝2ac.

abcbac而由于a，b，c构成等差数列，即2b＝a＋c.

②

①

所以由①②两式得，(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，这与a，b，c构成111

公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此，，不能构成等差数列．

abc

18．已知函数f(x)＝(2－a)x－2lnx，(a∈R)． (1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间．

2

[解析] (1)由题可知f ′(x)＝2－a－(x>0)，

x

22

令f ′(x)＝0得2－a－＝0，∴x＝，

x2－a又因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝0.

2

(2)①若a＝2，f ′(x)＝－<0(x>0)，f(x)＝－2lnx的单调递减区间为(0，＋∞)；

x2

②若2－a<0，即a>2时，f ′(x)＝2－a－在(0，＋∞)上小于0，所以f(x)在(0，＋∞)

x上单调递减；

22

③若2－a>0，即a<2时，当x>时f ′(x)>0，f(x)单调递增，0

2－a2－af(x)单调递减．

综上：a≥2时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；

22

a<2时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．

2－a2－a

x

19．设函数f(x)＝ax＋(x>1)，若a是从1、2、3三个数中任取的一个数，b是从2、

x－13、4、5四个数中任取的一个数，求f(x)>b恒成立的概率．

[解析] 若使f(x)>b恒成立，只需使ax＋

x

－b>0在(1，＋∞)上恒成立． x－1

x1

设g(x)＝ax＋－b，则g′(x)＝a－

x－1?x－1?2a?x－1?2－1

＝，

?x－1?2令g′(x)＝0，则a(x－1)2－1＝0， a

解得：x＝±＋1，

a∴x∈(1，x∈(

a

＋1)时，g′(x)<0， a

a

＋1，＋∞)时，g′(x)>0. a

a

＋1时，函数g(x)取得最小值为 a

∴x＝g(

a

＋1)＝2a＋a＋1－b， a

∴2a＋a＋1－b>0，

∴当a＝1时，b的值可以是2或3， 当a＝2时，b的值可以是2或3或4或5， 当a＝3时，b的值可以是2或3或4或5.

∴使f(x)>b恒成立的取法共有10种，而数对(a，b)的所有可能取法共有12种，

105

∴使f(x)>b恒成立的概率为P＝＝. 126

a＋bb＋cc＋a

20．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.

222a＋bb＋cc＋a

[解析] 要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，

222只需证lg?

a＋bb＋cc＋a?

b·c)，

?2·2·2?>lg(a·

a＋bb＋cc＋a只需证··>abc.

222∵a，b，c是不全相等的正数， ∴

a＋bb＋cc＋a≥ab>0，≥bc>0，≥ac>0， 222

且上述三式中的等号不同时成立． ∴

a＋bb＋cc＋a

··>abc. 222

a＋bb＋cc＋a

＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc. 222

∴lg

1

21．已知函数f(x)＝x2－ax＋(a－1)lnx.

2(1)若a>2，讨论函数f(x)的单调性；

11

(2)已知a＝1，g(x)＝2f(x)＋x3，若数列{an}的前n项和为Sn＝g(n)，证明：＋＋?＋a2a3

11

<(n≥2，n∈N＋)． an3

[解析] (1)可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．有 a－1x2－ax＋a－1

f ′(x)＝x－a＋＝

xx＝

?x－1?[x－?a－1?]，

x

因为a>2，所以a－1>1.

故当10.

∴函数f(x)在区间(1，a－1)上单调递减，在区间(0,1)和(a－1，＋∞)上单调增加． (2)由a＝1知g(x)＝x3＋x2－2x，所以Sn＝n3＋n2－2n.

2??3n－n－2，?n≥2?，

可得an＝?

?0，?n＝1?.?

∴an＝3n2－n－2(n≥2)． 11

所以＝(n≥2)．

an?3n＋2??n－1?

11111

因为<＝(－)，

?3n＋2??n－1?3n?n－1?3n－1n

111111111所以＋＋?＋<[(1－)＋(－)＋?＋(－)]

a2a3an3223n－1n11111＝(1－)＝－<， 3n33n3综上，不等式得证．

122．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x(a<0)．

2(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；

11

(2)若a＝－且关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数

22b的取值范围；

(3)设各项为正的数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝lnan＋an＋2，n∈N*，求证：an≤2n－1. ax2＋2x－1

[解析] (1)f ′(x)＝－(x>0)．

x

依题意f ′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立， 1－2x1

则a≤2＝(－1)2－1在x>0时恒成立，

xx1

即a≤((－1)2－1)min (x>0)，

x1

当x＝1时，(－1)2－1取最小值－1，

x∴a的取值范围是(－∞，－1]．

1113

(2)a＝－，f(x)＝－x＋b?x2－x＋lnx－b＝0.

224213

设g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)，则

42?x－2??x－1?

g′(x)＝. 2x

g(x)，g′(x)随x的变化如下表：

x g′(x) g(x) (0,1) ＋ 1 0 极大值 (1,2) － 2 0 极小值 (2,4) ＋ 5∴g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，

4又g(4)＝2ln2－b－2，

g?1?≥0，??

∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则?g?2?<0，

??g?4?≥0.5

得ln2－2

4

1

(3)设h(x)＝lnx－x＋1，x∈[1，＋∞)，则h′(x)＝－1≤0，

x∴h(x)在[1，＋∞)上为减函数．

∴h(x)max＝h(1)＝0，故当x≥1时有lnx≤x－1. ①当n＝1时，a1＝1≤1成立；

②假设n＝k时，ak≤2k－1，则当n＝k＋1时， ∵2k－1≥1，∴ln(2k－1)≤(2k－1)－1＝2k－2， ∴ak＋1＝lnak＋ak＋2≤ln(2k－1)＋(2k－1)＋2 ≤(2k－2)＋(2k－1)＋2＝2k1－1，

＋

所以当n＝k＋1时结论也成立，

由①②得，对?n∈N*有an≤2n－1成立．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tft7.html