江苏省李堡中学2018-2019学年高二上学期阶段测试数学试卷 Word版含答案

李堡中学2018～2019学年度第一学期阶段测试试卷

高二数学

考试时间：120分钟 考试分值：160分

命题人、校核人：曹梅

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1.已知集合A＝?x|?1?x?2?,B???1,0,1?，则AB＝ .

＞0的解集为{x|2.一元二次不等式ax?bx?121?x?1}，则a?b= . 3?x?y?1?3.设x,y满足约束条件?y?x,则z?3x?y的最大值为 .

?y??2?4.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 . 5.已知正数x、y满足x?y?1,则

14?的最小值是 . x?1y06.直线x?y?1?0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90得直线l， 则直线l的方程是 ．

7.已知两直线3x?y?3?0与6x?my?1?0平行，则它们之间的距离为 . 8.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 条. 9.已知两圆x?y?10x?10y?0,x?y?6x?2y?40?0，则这两圆的公共弦长为 . 10.已知sin(x?2222?6)?15??)?sin2(?x)的值是 . ，则sin(x?36311.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0),B(4,0).若直线x?y?m?0上存在点P，使得

PA?2PB,则实数m的取值范围是 . 12.若曲线y?4?x2与直线y?x?b始终有一个公共点，则b的取值范围

是 .

13.入射光线在直线l1:2x?y?3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上，若点P 是l1上某一点，则点P到l3的距离为 . 14.求函数f(x)?x2?2x?2?x2?4x?8的最小值为 .

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(a?b?c)(a?b?c)?ab． （1）求角C的大小；

（2）若c?2acosB,b?2，求?ABC的面积．

16.（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD?A1C1的中点. 1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A求证：（1）BE?AC； （2）BE//平面ACD1.

17.（本小题满分14分）

2已知圆C：?x?1??y?9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．

2(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程； (2) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； (3)当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长．

18.（本小题满分16分）

一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西50km处，

受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

19.（本小题满分16分）

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的图象与两坐标轴有三个

2交点，经过这三个交点的圆记为圆C．求： （1）求实数b的取值范围； （2）求圆C的方程；

（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

20.（本小题满分16分）

已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0）．动点P满足：AP?BP?k|PC|2. （1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当k?2时，求|2AP?BP|的最大、最小值．

高二数学答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1.已知集合A＝?x|?1?x?2?,B???1,0,1?，则AB＝ .AB??0,1?

122.一元二次不等式ax?bx?1?0的解集为{x|?x?1}，则a?b? .1

3?x?y?1?3.设x,y满足约束条件?y?x,则z?3x?y的最大值为 .7

?y??2?4.如果直线l沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 .?1 314?的最小值是 . x?1y05.已知正数x、y满足x?y?1,则

6.直线x?y?1?0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90得直线l，则直线l的方程是 ．

x?y?7?0 P(3,4) l的倾斜角为450?900?1350,tan1350??1 ?7.已知两直线3x?y?30与6x?my?1?0平行，则它们之间的距离

710 为 .20

把3x?y?3?0变化为6x?2y?6?0，则d?1?(?6)62?22?710 208.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 . 两圆相交，外公切线有两条

9.已知两圆x?y?10x?10y?0,x?y?6x?2y?40?0，则两圆公共弦长 .

解： x?y?10x?10y?0,①；x?y?6x?2y?40?0②；

②?①得：2x?y?5?0为公共弦所在直线的方程； 弦长的一半为50?20?30，公共弦长为230。 10.已知sin(x?22222222?6)?15??)?sin2(?x)的值是 ，则sin(x?363【答案】

5． 9【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质，诱导公式，两角和与差三角函数，三角函数的恒等变换，考查运算能力，难度中等. 【解析】sin?x???5?6???????????2??2???sin?x?sinx????sin?x????????? ???6?6????3?????2?????5????sin?x???1?sin2?x???．

6?6?9??5πππ1

法一：sin(x－)＝sin(x＋－π)＝－sin(x＋)＝－．

6663ππ182π22

sin(－x)＝cos(x＋)＝1－sin(x＋)＝1－＝，

366995π8152π

所以sin(x－)+sin(－x)＝－＝．

63939

5ππ112π2π

法二：sin(x－)+sin(－x)＝－sin(x＋)+－cos(－2x)

636223111π111π52

＝－++cos(2x+)＝－++［1－2sin(x＋)］＝．

322332269

11.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0),B(4,0).若直线x?y?m?0上存在点P，使得

PA?2PB,则实数m的取值范围是 . 12.若曲线y?是 .

4?x2与直线y?x?b始终有一个公共点，则b的取值范围

13.入射光线在直线l1:2x?y?3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上，若点P 是l1上某一点，则点P到l3的距离为 .

由题意l1//l3，故P到l3的距离为平行线l1，l3之间的距离，l1:2x?y?3?0，再求得

l3:2x?y?3?0，所以d?|?3?3|14.求函数f(x)?解：f(x)?22???1?2?65． 5x2?2x?2?x2?4x?8的最小值为 .

(x?1)2?(0?1)2?(x?2)2?(0?2)2可看作点(x,0)到点(1,1)和点(2,2)的

22距离之和，作点(1,1)关于x轴对称的点(1,?1)?f(x)min?1?3?10

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，

(a?b?c)(a?b?c)?ab．

（1）求角C的大小；

（2）若c?2acosB,b?2，求?ABC的面积．

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识，考查运算求解能力．难度较小． 【解析】

a2?b2?c211（1）在△ABC中，由(a+b－c)(a+b+c)＝ab，得??，即cosC＝?．…3分

22ab22? 因为0＜C＜π，所以C＝．……………………………… ………6分

3 （2）（法一）因为c＝2acosB，由正弦定理，得

sinC＝2sinAcosB， ………………………………………………………………8分 因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)，

所以sin(A+B)＝2sinAcosB，即sinAcos B－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，10分 又－

??＜A－B＜， 33 所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2．…………………………12分 112?

所以△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝3． ………14分

223（法二）由c?2acosB及余弦定理，得c?2a?8分

a2?c2?b2，…………………………

2ac化简得a?b，……………………………………………………………12分

112?

所以，△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝×2×2×sin＝3．……14分

22316.（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD?A1C1的中点. 1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A求证：（1）BE?AC;（2）BE//平面ACD1.

【命题立意】本题旨在考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．难度较小．

【解析】（1）在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E． 因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC． 因为ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，

所以BB1⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，所以，BB1⊥AC．………3分 又BD∩BB1＝B，BD?平面B1BDD1，BB1?平面B1BDD1，

所以AC⊥平面B1BDD1． ………………………………………………………………5分 而BE?平面B1BDD1，所以BE⊥AC． ………………………………………………7分 （通过证明等腰三角形A1BC1，得BE⊥A1C1，再由AC∥A1C1得BE⊥AC，可得7分） （2）连结D1F，因为四棱柱ABCD–A1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形． 又E，F分别是B1D1，BD的中点，

所以BF＝D1E，且BF∥D1E．…………………………………………………………9分 所以四边形BED1F是平行四边形．

所以BE∥D1F．…………………………………………………………………………11分 又D1F?平面ACD1，BE?平面ACD1，

所以 BE∥平面ACD1． ………………………………………………………………14分

217.（本小题满分14分）已知圆C：?x?1??y?9内有一点P（2，2），过点P作直线l交

2圆C于A、B两点．

(3) 当l经过圆心C时，求直线l的方程； (4) 当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程； (3)当直线l的倾斜角为45o时，求弦AB的长．

2解：（1）已知圆C：?x?1??y?9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜

2率为2，直线l的方程为y?2(x?1)，即2x?y?2?0．

（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC， 直线l的方程为y?2??(x?2)， 即x?2y?6?0 ． （3）当直线l的倾斜角为45o时，斜率为1，直线l的方程为y?2?x?2，即x?y?0， 圆心C到直线l的距离为121，圆的半径为3，弦AB的长为34． 218.（本小题满分16分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西50km处，受到影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北50km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解：以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度。

22x?y?9 则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为：

轮船航线所在直线 l 的方程为：x?y?5?0 方法一：代数法

?x2?y2?9?x?y?5?0 消去y，得x2?5x?8?0,

由直线与圆的方程，得：?2△?(-5)?4?1?8??7＜0 因为

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。 方法二：几何法

圆心（0，0）到直线x?y?5?0的距离

d?1?0?1?0?512?12?52?522

?r?3 ?d＞r

所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

19.（本小题满分16分）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f?x??x?2x?b?x?R?的

2图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求： （1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；

（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

解析（1）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；

令f?x??x?2x?b?0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

2（2）设所求圆的一般方程为x2?y?Dx?Ey?F?0

22令y＝0 得x?Dx?F?0这与x?2x?b＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b．

2令x＝0 得y?Ey＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1． 所以圆C 的方程为x?y?2x?(b?1)y?b?0. （3）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

20.（本小题满分16分）已知定点A（0，1），（0，B－1），（1，C0）．动点P满足：AP?BP?k|PC|.

（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型； （2）当k?2时，求|2AP?BP|的最大、最小值．

解：（1）设动点坐标为P(x,y)，则AP?(x,y?1)，BP?(x,y?1)，PC?(1?x,y)．

因为AP?BP?k|PC|2,所以x2?y2?1?k[(x?1)2?y2]．(1?k)x2?(1?k)y2?2kx?k?1?0． 若k?1，则方程为x?1，表示过点（1，0）且平行于y轴的直线． 若k?1，则方程化为(x?k)2?y2?(1)2．

1?k1?k222222表示以(k,0)为圆心，以

k?11 为半径的圆．

|1?k|22（2）当k?2时，方程化为(x?2)?y?1，

因为2AP?BP?(3x,3y?1)，所以|2AP?BP|?9x2?9y2?6y?1．

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