第4章_二元关系和函数

第四章 二元关系 和函数1 2 3 4 5 6 7笛卡尔积与二元关系 关系的运算

关系的性质 关系的闭包 等价关系和偏序关系 函数的定义和性质 函数的复合和反函数

二元关系和函数1DEFINITION 1.

笛卡尔积与二元关系

设n为一正整数，由n个元素x1,x2,…,xn按 一定顺序排列成的一个序列<x1,x2,…,xn>称 为有序n元组。(The ordered n-tuple <x1,x2,…,xn> is the ordered collection that has x1 as its first element, x2 as its second element, … , and xn as its nth element.)2

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 2.

设A,B为集合，用A中元素为第一元素，B 中元素为第二元素，构成有序对，所有这样 的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡尔积， 记做A×B. (Let A and B be sets. The Cartesian product of A and B, denoted by A×B, is the set of all ordered pairs <x, y> where x∈A and y∈B. Hence,A×B = {<x, y>∣x∈A∧y∈B}. )3

笛卡尔积与二元关系EXAMPLE 1

设集合A = {1, 2},B = {a, b, c}, 求A与B的笛卡尔积。A×B={<1, a>, <1, b>, <1, c>, <2, a>, <2, b>, <2, c>}. 若A中有m个元素，B中有n个元素， 则A×B中有mn个元素。4

笛卡尔积与二元关系EXAMPLE 2

设集合A = {1, 2},求P(A)×A .P(A)×A={Ø,{1},{2},{1,2}}×{1,2}={<Ø,1>, <Ø,2>, <{1},1>, <{1},2>,<{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>, <{1,2},2>}.5

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 3.

设A1, A2,…,An是集合(n 2),它们的n阶笛卡尔积记作A1×A2×…×An,其中， A1×A2×…×An={<x1,x2,…,xn>∣xi∈Ai , i=1,2,…,n}. (The Cartesian product of the sets A1, A2, …, An, denoted by A1×A2×…×An, is

the set of ordered n-tuples <x1, x2, …, xn>,where xi belongs to Ai for i=1,2,…,n. )6

笛卡尔积与二元关系EXAMPLE 3

设集合A={0, 1}, B={1, 2}, C={0, 1, 2} , 求A, B和C的笛卡尔积A×B×C。 A×B×C={<0,1,0>,<0,1,1>,<0,1,2>, <0,2,0>,<0,2,1>,<0,2,2>,

<1,1,0>,<1,1,1>,<1,1,2>,<1,2,0>,<1,2,1>,<1,2,2>}.7

笛卡尔积与二元关系笛卡尔积运算的性质：1、若A, B中有一个空集，则它们的笛卡尔积是空集，即：Ø×B=A×Ø=Ø. 2、当A B且A, B都不是空集时，有 A×B B×A.

3、当A, B, C都不是空集时，有(A×B)×C A×(B×C).8

笛卡尔积与二元关系笛卡尔积运算的性质：4、笛卡尔积运算对∪或∩运算满足分配律， 即： A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C); (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A); A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C); (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A).9

笛卡尔积与二元关系证明等式：(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) .证明：对于任意的<x, y>, <x, y> (B∪C)×A x B∪C y A (x B x C) y A (x B y A) (x C y A) <x, y> B×A <x, y> C×A <x, y> (B×A)∪(C×A) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)10

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 4.

二元关系——按照某种规定，定义了一个有序对 <x, y>的集合R,其中x∈A,y∈B,称R为从A

到B的二元关系。

注意：二元关系是指满足某规律的有序对的全体。对于二元关系R,若<x,y>∈R,则记作xRy,若 <x,y>∈R,则记作xRy。

DEFINITION 5.当A=B时，R是A到A的二元关系，称为A上的二元关系。 例：R={<x, y>|x /y, x,y∈N}是自然数集N上的二元关系。11

笛卡尔积与二元关系DEFINITION 6. 二元关系的表示：因为二元关系本身也是集合， 也可用穷举法，描述法来表示，还可用表格、图 示、矩阵法表示。 例如： A={张三，李四，王五，赵六} B={100米，跳高，铅球，足球，跨栏} 穷举法表示： R={<张三，铅球>,<张三，足球>,<李四，100米>, <李四，跳高>,<王五，跨栏>,<赵六，100米>} 是运动会的报名表。12

笛卡尔积与二元关系表格表示法：用表格表示一目了然100 米 张三 李四 王五 赵六 √ √ 跳高 √ √ 铅球 √ 足球 √ 跨栏

用字母数字来代替这些元素

A= {a,b,c,d }B= {1,2,3,4,5 }13

笛卡尔积与二元关系图示法：关系图，直观a 1 2 b c d 3 4 514

笛卡尔积与二元关系相关矩阵法表示：把A, B集合内元素排好序

1 2 3 4 5

a 0 1 b R= c 0 d 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 (aij )  1 0 15

笛卡尔积与二元关系二元关系是笛卡尔A×B的子集。 若R=A×B,则相关矩阵元素全为1。

1 1 R= 1

1 1 1

1 1 1 16

笛卡尔积与二元关系注：(1)若R=A×B,称此二元关系为全域关系； (2)设A={x1,x2,…,xn} R={<xi,xj>|xi,xj∈A} 若R={<xi,xi>|xi∈A} 称R为恒等关系，用IA表示，是单位矩阵。

1 0 0 0 1 0 A= 0 0 1 0 0 0

0 0 0  1 17

二元关系和函数2DEFINITION 7.关系R的定义域domR,值域ranR和域fldR分别是： domR={x | y(<x, y>∈R)}. ranR={y | x(<x, y>∈R)}. fldR=domR∪ranR.

关系的运算

当定义域与值域交换得R-1={<x, y>| yRx} ,称为R的逆关系。18

关系的运算二元关系是集合，集合存在并、交、差、 非和对称差的运算，故二元关系也存在这 样的运算。设R1和R2是A到B的二元关系，则： (1)R1∪R2={<x, y>|<x, y>∈R1∨<x, y>∈R2} (2)R1∩R2={<x, y>|<x, y>∈R1∧<x, y>∈R2}

(3)R1-R2={<x, y>|<x, y>∈R1∧<x, y> R2} ∧ (4) R 1 ={<x,y>|<x,y> A×B∧ <x,y> R1} (5)R1 R2={<x,y>|<x,y>∈R1∪R2∧<x,y> R1∩R2}19

关系的运算例1:A={1,2,3,4},I为整数集，a b R={<a,b>|a,b A, I} 2 a b S={<a,b>|a,b A, I, a-b>0} 3求：R S,R S, R ,R-S,S-R,S R

解：R与S都是A上的二元关系 R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,3>,<3,1>,

<2,4>,<4,2>}S={<4,1>}

关系的运算R∪S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,3>, <3,1>,<2,4>,<4,2>,<4,1>} R∩S= Ø

R ={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>} R-S=R,S-R=S,S R=R∪S

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