2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题

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2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（一） (2)

2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（二） (8)

2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（三） (14)

2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（四） (18)

2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（五） (22)

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2017年北华大学数学与统计学院601数学分析考研仿真模拟题（一）

说明：①本资料为VIP 学员内部使用，严格按照2017考研最新题型及历年试题难度出题。

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一、证明题

1． 利用单调有界原理证明确界原理.

【答案】

设是非空有上界的数集

，是的一个上界.

若

有最大值，

则最大值即为的上

确界.

若无最大值，

任取

将二等分，

若右半区间含有的点，

则记右半区间为

否则记左半区间为

，然后将二等分，用同样的方法选记如此下去，

得一区间套

数列

单调递增，

单调递减，且

，

中含有的点，在

的右

侧不含的点.

由单调递增有上界，

所以存在

使得

，往证为

S 的上确界.

首先

，

有

若不然，

则存在

使得

因为所以存在正整数

使得

于是在

的右侧含有中的点，矛盾，

故

是

的上界.其次，

由

知，当n

充分大时有于是存在使得

.

即为的上确界.

2． 设S 为非空数集，定义

证明：

⑴

(2)

【答案】(1)设则任意

则即

故

是的一个下界.

又有对于任意正数

存在

使得

于是

，

故

是

的下确

界，即

(2)同理可证.

3． 设f (x )在[a ,b]上递增

，

证明：存在

使得

【答案】用确界原理证明.若f (a )=a 或f (b )=b ,结论成立.下面假设记

因为故E 非空且有上界b ,从而必有上确界，可记

下证对任意的

有

而f (x )在[a ，b]上递增，故

又

故

有

即

为E 的一个上界，从而有

另一方面，由于f (x )在[a ，b]上递增，于是有

由此得出

即

而故又有

综上即有成立.

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二、解答题

4． 设a ,b 为给定实数.试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：

（1）

【答案】（1）因为x=b 不是原不等式的解，原不等式可化为

即

由此得不等式组

即

故当a>b 时，原不等式的解是

当a

（2）原不等式可化为

，，

即

故当a>b 时，原不等式的解是

当

时，原不等式的解集是

（3）当

时，原不等式的解集是

当b>0时，原不等式可化为

即

（i ）当时，原不等式的解集是

（ii ）当时，原不等式的解是 （iii ）当

时，原不等式的解是

或

5． 计算下列第一型曲线积分：

(1)其中是以

为顶点的三角形；

(2)其中是以原点为中心，为半径的右半圆周； (3)

其中为椭圆

在第一象限中的部分；

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(4)，其中为单位圆周.

(5)其中

为螺旋线

的一段；

(6)其中是曲线_

的一段；

(7)

其中是

与

相交的圆周.

【答案】(1)

(2)右半圆的参数方程为

从而

(4)由于圆的参数方程为

从而

(5)

(6)

(7)其截线为圆其参数方程为