2014广东各地高三文数调研试题(惠州)
更新时间:2024-06-06 18:28:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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惠2014届高三第一次调研考试
数学试题(文科)
(本试卷共4页,21小题,满分150分。考试用时120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.
1,2,3?,N?x?Z1?x?4,则 ( ) 1.已知集合M??A.M?N B.N?M C.M?N?{2,3} D.M?N?(1,4) 2.复数
??2等于( ) 1?iA.?1?i B.?1?i C.1?i D.1?i 3.在数列?an?中,a1?1,公比q?2,则a4的值为( ) A.7 B.8
C.9 D.16
4.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户,若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A.40
B.36
C.30
D.20
5.下列函数中,既是偶函数,又是在区间?0,???上单调递减的函数是( ) A.y?lnx
B.y?x
2C.y?cosx D.y?2?|x|
6.已知平面向量a,b的夹角为
?,且a?b=3,a?3,则b等于( ) 623 D. 2 3开始 输入x A.
3 B. 23 C.
7.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是( ) A. 6?23 B.
93 C. 6?3 D. 23 8.执行如图所示程序框图.若输入x?3,则输出的k值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6
29.圆?x?a??y?1与直线y?x相切于第三象限,则a的值是( ).
2k?0 x?x?5 k?k?1A.2 B.?2 C.?2 D.2
x?23? 是
否 输出k 结束
10.设函数f(x)?x3?4x?a(0?a?2)有三个零点x1,x2,x3, 且x1?x2?x3则下列结论正确的是( )
A.x1??1 B.x2?0 C.0?x2?1 D.x3?2
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生
只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.在△ABC中,若b?3,c?1,cosA?1,则a= . 3?x?2?12.不等式组?y?0表示的平面区域的面积是 .
?y?x?1?13.定义映射f:A?B,其中A?(m,n)m,n?R,B?R,已知对所有的有序正整数
对(m,n)满足下述条件:①f(m,1)?1,②若n?m,f(m,n)?0; ③f(m?1,n)?n?f(m,n)?f(m,n?1)?,则f(2,2)? . 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O为极点,直线过圆C:??22cos?的圆心C,且与直线OC垂直,则直线的极坐标方程为 . 15.(几何证明选讲选做题) 如图示,C、D是半圆周上的两个三等
分点,直径AB?4,CE?AB,垂足为E,则CE的长
A 为 .
O E B
D C ?? 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f(x)?1?sinx?cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期
tanx?和最小值;(2)若
3x??0,???xf(?)??2??,求42的值. 4,
组别 一 二 候车时间 人数 2 6 [0,5) [5,10)
17.(本小题满分12分)
为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
三 四 五 [10,15) 4 2 1 [15,20) [20,25] (1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步
的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
18.(本小题满分14分)在正方体ABCD?A棱长为2,E是棱CD上中点,P1B1C1D1中,是棱AA1中点,
(1)求证:PD//面AB1E;(2)求三棱锥B?AB1E的体积.
19.(本小题满分14分)设数列?an?的前n项和为Sn,点?an,Sn?在直线x?y?2?0上,(1)证明数列?an?为等比数列,并求出其通项; n?N*.
(2)设f(n)?log1an,记bn?an?1?f(n?1),求数列?bn?的前n和Tn. A 2D E C
B D20.(本小题满分14分)如图,A,Bx2y2?2?1(a?b?0)2ab是椭圆的两个 P ACB1AB?5顶点, ,直线AB的斜率为2.
?(1) 求椭圆的方程;(2)设直线l平行于AB, 与x,y轴分别交于点M、N,与椭圆相交于C、D,
证明:△OCM的面积等于△ODN的面积.
21.(本小题满分14分)已知函数f(x)?lnx,g(x)?a(x2?x)(a?0,a?R),
h(x)?f(x)?g(x)(1)若a?1,求函数h(x)的极值;
(2)若函数y?h(x)在[1,??)上单调递减,求实数a的取值范围;
(3)在函数y?f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使线段AB的
中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k?f?(x0)?若存在,求出x0;若不存在,请说明理由.
惠州市2014届高三第一次调研考试试题
数 学(文科)答案
一、选择题 题号 答案 【解析】
1. N?x?Z1?x?4??2,3?,故M?N?{2,3},选C 2.
1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C ??22(1?i)??1?i,选D 1?i(1?i)(1?i)3.数列?an?为a1?1,q?2等比数列,a4?a1q3?8,选B 4.设从乙社区抽取n户,则
270n?,解得n?30 ,选C
360?270?180905.y?lnx不是偶函数,y?cosx是周期函数,在区间(0,??)上不是单调递减,y?x2在区间(0,??)上单调递增,故选D。
?2?3?????6.a?b?abcos?3?b?3,?b?3,选C
6237.由三视图可知,三棱柱的高为1,底面正三角形的高为3,所以正三角形的边长为2,所以三棱柱的侧面积为2?3?1?6,两底面积为2?1?2?3?23,所以表面积为26?23,选A.
8. x?3,k?0;x?8,k?1;x?13,k?2;x?18,k?3;x?23,k?4;x?28?23,k?5,故选C 9. d?a?02?r?1,解得a??2,因为圆与直线相切于第三象限,由图可知,a?0,
故选C。
10.f?(x)?3x?4,令f?(x)?3x?4?0,x??2223 故 323 30 极小值 x f?(x) (??,?23) 3?23 30 (?2323,) 33— 递减 (23,??) 3+ 递增 + 递增 f(x) 极大值
又因为f(?1)?3?a?0,f(0)?a?0,f(1)?a?3?0,
f(2)?a?0,综合以上信息可得示意图如右,由图可知,
0?x2<1,选C.
1二、填空题11. 22 12. 2 13.2 14. ?cos??2 15.
2bc2?3?133
222222【解析】11.由余弦定理cosA?b?c?a?3?1?a?1,解得a?22
12.不等式组表示的可行域如图所示,故面积为13.由题意可知,f(1,1)?1,f(1,2)?0,
11?1?1? 22f(2,2)?f(1?1,2)?2(f(1,2)?f(1,1))?2(0?1)?2
14. 圆C的直角坐标方程为x?2??2?y2?2,故圆心C为
?2,0,
?过圆心且与OC垂直的直线为x?2,转为极坐标方程为
D C ?cos??2。
15.依题意知Rt?ABC,?CAB?30?,AB?4,则BC?2,AC?23, A O E B
S?ABC11?AB?CE?AC?BC,代入解得CE?3。 22
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解:(1)已知函数即f(x)?1?1sin2x, ……………………………2分
2?T?2???… ………………………………………………………3分 2当2x?3?3??2k?(k?Z)时,即x??k?(k?Z),…………………………4分 2411?(?1)?…………………………………………………………622f(x)min?1?分
????(2)f(?)?1?sin?2(?)??1?sin??x??1?cosx……………8分
422?42?2?22??x1?x1?1由tanx?cosx?4,sin2x?cos2x?1,解得:cosx??5………10分
?4?x?(0,),cosx?0?cosx? ……………………………………11分
25sinx34所以f(4?2)?1?2cosx?5 …………………………………12分
17.解:(1)由频率分布表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8,
?x17
所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60?(2)设第三组的乘客为a,b,c,d,第四组的乘客为1,2;
8?32人.…4分 15“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A.………………………………5分 所得基本事件共有15种,即:
ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12 …………………8分
其中事件A包含基本事件a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,共8种,………10分 由古典概型可得P(A)?8, ………………………12分 1518.解:(1)取AB1中点Q,连接PQ,
则PQ为中位线,PQ//1A1B1,…………2分 2,
D
E
而正方体ABCD-A1BC11D1故DE//E是棱CD上中点,
A
B
C
1A1B1,………………4分 2?PQ//DE,所以四边形PQDE为平行四边形。
P
Q D1
?PD//QE, ……………6分
而QE?面AB1E,PD?面AB1E, 故PD//面AB1E……………………………8分
A1
C1
B1
(2)正方体ABCD-A1BC11D1中,BB1?面ABE,故BB1为高,BB1?2………10分
?CD//AB ?S?ABE11?S?ABC?11AB?BC??2?2?2…………12分 22故VB?ABE?VB?ABE?1BB1?S?ABC?4………14分
3319.解:(1)?an?Sn?2…………………………………1分
?n?1时,a1?S1?2a1?2,?a1?1………………2分 n?2时,an?Sn?2,an?1?Sn?1?2………………………3分
两式相减得:an?an?i?(Sn?Sn?1)?an?an?i?an?0,
an1?,………5分 an?12
1??an?是以a1?1为首项,为公比的等比数列. ………………6分
21?an?()n?1…………………………………………7分
2(2) f(n)?loga?log?1?1n1??21n?122?2?1n?n?1,则bn?f(n?1)an?1?n(),…………9分 23n?1??1??1??1?Tn?1????2????3??????n??① ?2??2??2??2?1?1??1??1??1?Tn?1????2????3??????n???2?2??2??2??2?234234n?1②…………………10分 nn?1①-②得:1T?1??1???1???1?????1??n??1?n??????2??2?22??2??2??2?????1?1?n1?2??2?1?1?2n……………11分 ?n?1n?1n?1n?1??1??1???n????1?n?n????1?(1?)???22?2??2??2??? …………13分 ?1??Tn?2?(2?n)???……14分
?2?20.(1)解:依题意,A(a,0),B(0,b),AB?整理得 ??,?a2?b1a2?b2,k?b?0??b??1
0?aa2 ………………………………2分
?a2?b2?5.?解得 a?2,b?1. ………………………………3分
x2?y2?1. ………………………4分 所以 椭圆的方程为4(2)证明:由于l//AB,设直线l的方程为y??1x?m,将其代入x?y2?1,消去y,
224整理得2x?4mx?4m?4?0. ………6分
设C(x1,y1),D(x2,y2).
???16m2?32(m2?1)?0,所以 ? ………8分
?x1?x2?2m,?2?x1x2?2m?2.22证法一:记△OCM的面积是S1,△ODN的面积是S2.
由M(2m,0),N(0,m),
则S1?S2?1?|2m|?|y1|?1?|m|?|x2|?|2y1|?|x2|………………10分
22因为 x1?x2?2m,所以 |2y1|?|2?(?1x1?m)|?|?x1?2m|?|x2|,…13分
2从而S1?S2. ………………………………………14分
证法二:记△OCM的面积是S1,△ODN的面积是S2.
则S1?S2?|MC|?|ND|?线段CD,MN的中点重合. ………………10分 因为 x1?x2?2m,所以 x1?x2?m,y1?y2??1?x1?x2?m?1m.
22222故线段CD的中点为(m,1m). 21m).……13分 2因为 M(2m,0),N(0,m),所以 线段MN的中点坐标亦为(m,从而S1?S2. ………………………………………14分
21.解:(1)y?h(x)的定义域为(0,??)………………………………………………1分
h?(x)?1(2x?1)(x?1)?2x?1??,…………………………………………2分 xx故x?(0,1)h?(x)?0,h(x)单调递增;
x?(1,??)h?(x)?0,h(x)单调递减,…………………3分
x?1时,h(x)取得极大值h(1)?0,无极小值。……………………………4分
(2)h(x)?lnx?a(x2?x),h?(x)?1?a(2x?1), x若函数y?h(x)在[1,??)上单调递增, 则h?(x)?1?a(2x?1)?0对x?1恒成立…………………………………5分 x?(1)max………………6分 22x?x?1?max111,只需aa?x??22x?1x(2x?1)2x?x1x?1时,2x2?x?1,则0?2x2?x?1,?2x2?x????1,………7分
故a?1,a的取值范围为1,???…………………………………8分 (3)假设存在,不妨设0?x1?x2,
x1f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2x2………………………9分 k???x1?x2x1?x2x1?x2lnf?(x0)?12?…………………………………………10分 x0x1?x2?
由k?f?(x0)x1得x2?2x1?x2x1?x2ln,整理得lnx12(x1?x2)??x2x1?x22(x1?1)x2………11分 x1?1x2?0 x1(t?1)22(t?1)?u(t)?lnt?(0?t?1)令t?,,…12分,u(t)?t?1t(t?1)2x2?u(t)在(0,1)上单调递增,………………………………………13分 ?u(t)?u(1)?0,故k?f?(x0)
?不存在符合题意的两点。…………………………14分
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