2014广东各地高三文数调研试题（惠州）

惠2014届高三第一次调研考试

数学试题（文科）

（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1,2,3?,N?x?Z1?x?4，则 （ ） 1.已知集合M??A.M?N B.N?M C.M?N?{2,3} D.M?N?(1,4) 2.复数

??2等于（ ） 1?iA.?1?i B.?1?i C.1?i D.1?i 3.在数列?an?中，a1?1，公比q?2，则a4的值为（ ） A．7 B．8

C．9 D．16

4.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A．40

B．36

C．30

D．20

5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间?0,???上单调递减的函数是（ ） A．y?lnx

B．y?x

2C．y?cosx D．y?2?|x|

6.已知平面向量a,b的夹角为

?，且a?b=3，a?3，则b等于（ ） 623 D. 2 3开始 输入x A.

3 B. 23 C.

7.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ） A. 6?23 B.

93 C. 6?3 D. 23 8.执行如图所示程序框图．若输入x?3，则输出的k值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6

29.圆?x?a??y?1与直线y?x相切于第三象限，则a的值是（ ）．

2k?0 x?x?5 k?k?1A．2 B．?2 C．?2 D．2

x?23? 是

否 输出k 结束

10.设函数f(x)?x3?4x?a(0?a?2)有三个零点x1,x2,x3， 且x1?x2?x3则下列结论正确的是（ ）

A.x1??1 B.x2?0 C.0?x2?1 D.x3?2

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生

只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11.在△ABC中，若b?3,c?1,cosA?1，则a= . 3?x?2?12.不等式组?y?0表示的平面区域的面积是 .

?y?x?1?13.定义映射f:A?B，其中A?(m,n)m,n?R，B?R，已知对所有的有序正整数

对(m,n)满足下述条件:①f(m,1)?1，②若n?m，f(m,n)?0； ③f(m?1,n)?n?f(m,n)?f(m,n?1)?，则f(2,2)? . 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：??22cos?的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15.(几何证明选讲选做题) 如图示，C、D是半圆周上的两个三等

分点，直径AB?4，CE?AB，垂足为E，则CE的长

A 为 ．

O E B

D C ?? 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数f(x)?1?sinx?cosx.（1）求函数f(x)的最小正周期

tanx?和最小值；（2）若

3x??0,???xf(?)??2??，求42的值. 4，

组别 一 二 候车时间 人数 2 6 [0,5) [5,10)

17.（本小题满分12分）

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

三 四 五 [10,15) 4 2 1 [15,20) [20,25] （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步

的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

18.（本小题满分14分）在正方体ABCD?A棱长为2，E是棱CD上中点，P1B1C1D1中，是棱AA1中点，

（1）求证：PD//面AB1E；（2）求三棱锥B?AB1E的体积．

19．（本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，点?an,Sn?在直线x?y?2?0上，（1）证明数列?an?为等比数列，并求出其通项； n?N*．

（2）设f(n)?log1an，记bn?an?1?f(n?1)，求数列?bn?的前n和Tn． A 2D E C

B D20．（本小题满分14分）如图，A,Bx2y2?2?1(a?b?0)2ab是椭圆的两个 P ACB1AB?5顶点, ，直线AB的斜率为2．

?（1） 求椭圆的方程；（2）设直线l平行于AB， 与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D，

证明：△OCM的面积等于△ODN的面积．

21．(本小题满分14分）已知函数f(x)?lnx，g(x)?a(x2?x)(a?0,a?R)，

h(x)?f(x)?g(x)（1）若a?1，求函数h(x)的极值；

（2）若函数y?h(x)在[1,??)上单调递减，求实数a的取值范围；

（3）在函数y?f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，使线段AB的

中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k?f?(x0)？若存在，求出x0；若不存在，请说明理由.

惠州市2014届高三第一次调研考试试题

数 学（文科）答案

一、选择题 题号 答案 【解析】

1. N?x?Z1?x?4??2,3?，故M?N?{2,3}，选C 2.

1 C 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C ??22(1?i)??1?i，选D 1?i(1?i)(1?i)3.数列?an?为a1?1，q?2等比数列，a4?a1q3?8，选B 4.设从乙社区抽取n户，则

270n?，解得n?30 ，选C

360?270?180905.y?lnx不是偶函数，y?cosx是周期函数，在区间(0,??)上不是单调递减，y?x2在区间(0,??)上单调递增，故选D。

?2?3?????6.a?b?abcos?3?b?3,?b?3，选C

6237.由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为3，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为2?3?1?6，两底面积为2?1?2?3?23，所以表面积为26?23，选A.

8. x?3,k?0;x?8,k?1;x?13,k?2;x?18,k?3;x?23,k?4;x?28?23,k?5，故选C 9. d?a?02?r?1,解得a??2，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，a?0，

故选C。

10．f?(x)?3x?4，令f?(x)?3x?4?0,x??2223 故 323 30 极小值 x f?(x) (??,?23) 3?23 30 (?2323,) 33— 递减 (23,??) 3+ 递增 + 递增 f(x) 极大值

又因为f(?1)?3?a?0，f(0)?a?0，f(1)?a?3?0，

f(2)?a?0，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，

0?x2<1，选C.

1二、填空题11. 22 12. 2 13.2 14. ?cos??2 15.

2bc2?3?133

222222【解析】11.由余弦定理cosA?b?c?a?3?1?a?1,解得a?22

12.不等式组表示的可行域如图所示，故面积为13.由题意可知，f(1,1)?1，f(1,2)?0，

11?1?1? 22f(2,2)?f(1?1,2)?2(f(1,2)?f(1,1))?2(0?1)?2

14. 圆C的直角坐标方程为x?2??2?y2?2，故圆心C为

?2，0，

?过圆心且与OC垂直的直线为x?2，转为极坐标方程为

D C ?cos??2。

15.依题意知Rt?ABC,?CAB?30?,AB?4,则BC?2,AC?23, A O E B

S?ABC11?AB?CE?AC?BC,代入解得CE?3。 22

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.解：（1）已知函数即f(x)?1?1sin2x, ……………………………2分

2?T?2???… ………………………………………………………3分 2当2x?3?3??2k?(k?Z)时，即x??k?(k?Z)，…………………………4分 2411?(?1)?…………………………………………………………622f(x)min?1?分

????（2）f(?)?1?sin?2(?)??1?sin??x??1?cosx……………8分

422?42?2?22??x1?x1?1由tanx?cosx?4，sin2x?cos2x?1，解得：cosx??5………10分

?4?x?(0,),cosx?0?cosx? ……………………………………11分

25sinx34所以f(4?2)?1?2cosx?5 …………………………………12分

17.解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，

?x17

所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于60?（2）设第三组的乘客为a,b,c,d，第四组的乘客为1，2；

8?32人.…4分 15“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A.………………………………5分 所得基本事件共有15种，即：

ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12 …………………8分

其中事件A包含基本事件a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2，共8种，………10分 由古典概型可得P(A)?8， ………………………12分 1518.解：（1）取AB1中点Q，连接PQ，

则PQ为中位线，PQ//1A1B1，…………2分 2，

D

E

而正方体ABCD-A1BC11D1故DE//E是棱CD上中点，

A

B

C

1A1B1，………………4分 2?PQ//DE，所以四边形PQDE为平行四边形。

P

Q D1

?PD//QE， ……………6分

而QE?面AB1E，PD?面AB1E， 故PD//面AB1E……………………………8分

A1

C1

B1

（2）正方体ABCD-A1BC11D1中，BB1?面ABE，故BB1为高，BB1?2………10分

?CD//AB ?S?ABE11?S?ABC?11AB?BC??2?2?2…………12分 22故VB?ABE?VB?ABE?1BB1?S?ABC?4………14分

3319.解：（1）?an?Sn?2…………………………………1分

?n?1时，a1?S1?2a1?2,?a1?1………………2分 n?2时，an?Sn?2，an?1?Sn?1?2………………………3分

两式相减得：an?an?i?(Sn?Sn?1)?an?an?i?an?0，

an1?，………5分 an?12

1??an?是以a1?1为首项，为公比的等比数列. ………………6分

21?an?()n?1…………………………………………7分

2(2) f(n)?loga?log?1?1n1??21n?122?2?1n?n?1，则bn?f(n?1)an?1?n()，…………9分 23n?1??1??1??1?Tn?1????2????3??????n??① ?2??2??2??2?1?1??1??1??1?Tn?1????2????3??????n???2?2??2??2??2?234234n?1②…………………10分 nn?1①-②得：1T?1??1???1???1?????1??n??1?n??????2??2?22??2??2??2?????1?1?n1?2??2?1?1?2n……………11分 ?n?1n?1n?1n?1??1??1???n????1?n?n????1?(1?)???22?2??2??2??? …………13分 ?1??Tn?2?(2?n)???……14分

?2?20．（1）解：依题意，A(a,0),B(0,b)，AB?整理得 ??,?a2?b1a2?b2，k?b?0??b??1

0?aa2 ………………………………2分

?a2?b2?5.?解得 a?2，b?1． ………………………………3分

x2?y2?1． ………………………4分 所以 椭圆的方程为4（2）证明：由于l//AB，设直线l的方程为y??1x?m，将其代入x?y2?1，消去y，

224整理得2x?4mx?4m?4?0． ………6分

设C(x1,y1)，D(x2,y2)．

???16m2?32(m2?1)?0,所以 ? ………8分

?x1?x2?2m,?2?x1x2?2m?2.22证法一：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．

由M(2m,0)，N(0,m)，

则S1?S2?1?|2m|?|y1|?1?|m|?|x2|?|2y1|?|x2|………………10分

22因为 x1?x2?2m，所以 |2y1|?|2?(?1x1?m)|?|?x1?2m|?|x2|，…13分

2从而S1?S2． ………………………………………14分

证法二：记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．

则S1?S2?|MC|?|ND|?线段CD,MN的中点重合． ………………10分 因为 x1?x2?2m，所以 x1?x2?m，y1?y2??1?x1?x2?m?1m．

22222故线段CD的中点为(m,1m)． 21m)．……13分 2因为 M(2m,0)，N(0,m)，所以 线段MN的中点坐标亦为(m,从而S1?S2． ………………………………………14分

21.解：（1）y?h(x)的定义域为(0,??)………………………………………………1分

h?(x)?1(2x?1)(x?1)?2x?1??，…………………………………………2分 xx故x?(0,1)h?(x)?0,h(x)单调递增；

x?(1,??)h?(x)?0,h(x)单调递减，…………………3分

x?1时，h(x)取得极大值h(1)?0，无极小值。……………………………4分

（2）h(x)?lnx?a(x2?x)，h?(x)?1?a(2x?1)， x若函数y?h(x)在[1,??)上单调递增， 则h?(x)?1?a(2x?1)?0对x?1恒成立…………………………………5分 x?(1)max………………6分 22x?x?1?max111，只需aa?x??22x?1x(2x?1)2x?x1x?1时，2x2?x?1，则0?2x2?x?1，?2x2?x????1，………7分

故a?1，a的取值范围为1,???…………………………………8分 （3）假设存在，不妨设0?x1?x2，

x1f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2x2………………………9分 k???x1?x2x1?x2x1?x2lnf?(x0)?12?…………………………………………10分 x0x1?x2?

由k?f?(x0)x1得x2?2x1?x2x1?x2ln，整理得lnx12(x1?x2)??x2x1?x22(x1?1)x2………11分 x1?1x2?0 x1(t?1)22(t?1)?u(t)?lnt?(0?t?1)令t?，，…12分，u(t)?t?1t(t?1)2x2?u(t)在(0,1)上单调递增，………………………………………13分 ?u(t)?u(1)?0，故k?f?(x0)

?不存在符合题意的两点。…………………………14分

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