2015年中考数学冲刺讲义：二次函数与圆综合附答案

第四讲：二次函数与圆综合

中考要求

板块

考试要求 B级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； A级要求 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； C级要求 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 二次函数 例题精讲

一、二次函数与圆综合

【例1】 已知：抛物线M:y?x2?(m?1)x?(m?2)与x轴相交于A(x1，，0)B(x2，0)两点，

且x1?x2．

（Ⅰ）若x1x2?0，且m为正整数，求抛物线M的解析式； （Ⅱ）若x1?1，x2?1，求m的取值范围； （Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0，2)，若存在，求出

的值；若不存在，试说明理由； M:y?x2?(m?1)x?(m?2)（Ⅳ）若直线l:y?kx?b过点F(0，）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使7)，与（Ⅰ

求直线l的解析式．

【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，x1x2?m?2?0．

解得，m?2．

m为正整数，∴m?1．∴y?x2?1．

解法二：由题意知，当x?0时，y?02?(m?1)?0?(m?2)?0． （以下同解法一）

解法三：??(m?1)2?4(m?2)?(m?3)2，

?(m?1)?(m?3)?x?，?x1??1，x2?2?m．

2又x1x2?0，（以下同解法一．） ?x2?2?m?0．∴m?2．解法四：令y?0，即x2?(m?1)x?(m?2)?0， (x?1)(x?m?2)?0，∴．（以下同解法三．） x1??1，x2?2?m（Ⅱ）解法一：

x1?1，x2?1，?x1?1?0，x2?1?0．

PF1?，FQ2，即x1x2?(x1?x2)?1?0．

x1?x2??(m?1)，x1x2?m?2，

∴(m?2)?(m?1)?1?0．解得：m?1．

∴m的取值范围是m?1．

解法二：由题意知，当x?1时， y?1?(m?1)?(m?2)?0． 解得：m?1．

∴m的取值范围是m?1．

解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x1??1，x2?2?m．

∴2?m?1 x1?1，x2?1，∴m?1．∴m的取值范围是m?1．

yyQ2O'DABOxC(0,2)QFP27PP1OQ1x

（Ⅲ）存在．

解法一：因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C(0，2)，所以A，B两点在y轴的同侧， ∴x1x2?0．

由切割线定理知，OC2?OAOB， 即22?x1x2．∴x1x2?4， ∴x1x2?4.∴m?2?4.?m?6．

解法二：连接O?B，O?C．圆心所在直线x??设直线x?

bm?11?m， ???2a221?m与x轴交于点D，圆心为O?， 21?m则O?D?OC?2，O?C?OD?．

2AB， AB?x2?x1?(m?3)2?m?3，BD?2m?3∴BD?

2在Rt△O?DB中， O?D2?DB2?O?B2． ?m?3??1?m?即2??????．解得 m?6．

?2??2?2222（Ⅳ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1?x12?1，y2?x2?1． 过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P0)Q(x2，0)． 则PP1(x1，，1∥FO∥QQ1．

POPF所以由平行线分线段成比例定理知，1?．

OQ1FQ0?x11?，即x2??2x1． 因此，

x2?02过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P2(0，y1)，Q2(0，y2)，

PFFP则PP2∥QQ2．所以△FP2P∽△FQ2Q．?2?．

FQ2FQ2?21?2(x12?1)?x2?1.7?y11??．?21?2y1?y2． 22y2?72?23?2x1?4x1?1.?x12?4，?x1?2，或x1??2．

当x1?2时，点P(2，3)．直线l过P(2，，3)F(0，7)， ?7?k?0?b，?b?7， 解得? ??3?k?2?b.k??2.??当x1??2时，点P(?2，3)．直线l过P(?2，，3)F(0，7)， ?7?k?0?b，?b?7，

解得? ??k?2.3?k?(?2)?b.??故所求直线l的解析式为：y?2x?7，或y??2x?7．

【例2】 已知抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式

y??x?2并且线段CM的长为22 （1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的

长。

（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线y?ax2?bx?c．过点C

（0,2），

?b4ac?b2?2所以c=2，抛物线y?ax?bx?c的顶点M??,?在直线CM上，

2a4a??4a?2?b2b所以??2，解得b?0或b??2

4a2a1??1若b?0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b??2．即M?,2??

a??a过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在Rt?CMQ中，CM2?CQ2?QM2

111所以，8?()2?[2?(2?)]2，解得，a??。

aa211∴所求抛物线为：y??x2?2x?2或y?x2?2x?2以下同下。

22解法二：由题意得C(0,2),设点M的坐标为M(x,y)

y??x?2 ∵点M在直线y??x?2上，∴

由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，∵CM?22 ∴x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8 ?x1??2?x2?2?y??x?2解方程组?2，得，? ?2y?4y?0x?(y?2)?8??1?2M(?2,0)或M(2,0) ∴

当M(?2,4)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2?4，∵抛物线过(0,2)点，

11∴a??，∴y??x2?2x?2

22当M(2,0)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2

11∵抛物线过(0,2)点，∴a?，∴y?x2?2x?2

2211∴所求抛物线为：y??x2?2x?2 或y?x2?2x?2

22（2）∵抛物线与x轴有两个交点，

1∴y?x2?2x?2不合题意，舍去。

21∴抛物线应为：y??x2?2x?2

21抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴由?x2?2x?2?0，得

2AB?x1?x2?42 （3）∵AB是⊙N的直径，∴r =22 ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4 设直线y??x?2与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴

?MDN?45?，作NG⊥CM于G，在Rt?NGD中，NG?DN?sin45??22= r

即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切

【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线

2O，A两点． y?ax?bx?经过c⑴试用含a的代数式表示b； ⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿

x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点

4P，使得∠POA?∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3yyPD'mOAxDOAxEnDBxBDPOEAy【解析】⑴解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为(4，0)

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点

c?0，16a?4b?0，∴b??4a ∴

解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为(4，0)

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x?2

bb??4a ∴x???2，∴

2a⑵由抛物线的对称性可知，DO?DA ∴点O在⊙D上，且?DOA??DAO

又由(1)知抛物线的解析式为y?ax2?4ax

?4a) ∴点D的坐标为(2，①当a?0时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA 所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且OD与⊙D'相切 ∴点O为切点，∴D'O?OD ?DOA??D'OA?45? ∴

?ADO为等腰直角三角形，∴∴OD?22 ?4a??2 ∴点D的纵坐标为?2，∴

1∴a?，b??4a??2

21∴抛物线的解析式为y?x2?2x

2②当a?0时，

同理可得：OD?22 1抛物线的解析式为y??x2?2x

2121x?2x或y??x2?2x 224⑶ 抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA?∠OBA

3设点P的坐标为(x,y)，且y?0

综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?12x?2x上时(如图2) 2∵点B是⊙D的优弧上的一点

14∴∠OBA?∠ADO?45?，∴∠POA?∠OBA?60?

23EP过点P作PE?x轴于点E，∴， tan∠POE?OEy∴?tan60?，∴y?3x x?y?3x??x1?4?23?x2?0?，?由?解得：(舍去) ?12y?0??y?x?2x?y1?6?43?2?2①当点P在抛物线y?6?43 ∴点P的坐标为4?23，??1②当点P在抛物线y??x2?2x上时(如图3)，同理可得，y?3x

2?y?3x??x2?0??x1?4?23，由?解得：(舍去) ??12y?0y??x?2x???y1??6?43?2?2

∴点P的坐标为4?23，?6?43

综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：4?23，6?43或4?23，?6?43

点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆⊙D'，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，

??????AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动

时间为t(秒)． ⑴当t?1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； ⑵当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP?NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

yAlP1PByAlP1PBMCCOQ1QxOQ1Qx

【解析】⑴ 由题意得A，P1，Q1的坐标分别为A(0，8)，P8)，Q1(4，0)． 1(1，?8?c?设抛物线解析式为y?ax2?bx?c，则?8?a?b?c

?0?16a?4b?c?22∴a??，b?，c?8．

3322∴所求抛物线为y??x2?x?8．

331对称轴为直线l：x?．

2C切于点M． ⑵ 设t?a时，PQ与⊙

连结CP，CM，CQ，则PA?PM?a，QO?OM?4a．

又CP，CQ分别平分?APQ和?OQP 而?APQ??OQP?180?，

?PCQ?90? ?CPQ??CQP?90?，∴∴

Rt?CMP∽CM?PQ，∴Rt?QMC ∵

CMQM44aa??2 ∴即?，∴?PMCMa4由于时间a只能取正数，所以a?2

C相切 即当运动时间t?2时，PQ与⊙

此时：P(2，8)，Q(8，0)

⑶ 点P关于直线l的对称点为P'(?1，8)

864则直线P'Q的解析式为：y??x?

99120120∴直线P'Q交直线l于N(，)，此时NP?NQ最小，∴N(，)

2233

1【例5】 如图，点M?4，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A，B．已知抛物y?x2?bx?c0?，

6过点A和B，与y轴交于点C． ⑴ 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．

1⑵ 点Q?8，m?在抛物线y?x2?bx?c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ?PB 最

6小值． ⑶ CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

yCAME【解析】⑴由已知，得A?2，0?，B?6，0?，

ODBx

1∵抛物线y?x2?bx?c过点A和B，

6?124?2?2b?c?0,???6?b??,则?，解得?3

1??62?6b?c?0,??c?2.??6142?． 则抛物线的解析式为y?x2?x?2，故C?0，63(说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确) ⑵如图①，抛物线对称轴l是 x?4．

m?2． ∵Q(8，m)抛物线上，∴

0?，QK?2，AK?6， 过点Q作QR?x轴于点K，则K?8，∴AQ?AK2?QK2?210．

B?6，0?与A?2，0?关于对称轴l对称， 又∵

PQ?PB的最小值?AQ?210． ∴

y l P y Q C O D A E 图① M B C x O D A E 图②

M x B K

⑵当E在第四象限时，如图②，连结EM和CM．

由已知，得 EM?OC?2． CE是⊙M的切线，∴?DEM?90?，则?DEM??DOC．

?ODC??EDM，∴?DEM≌?DOC． 又∵

∴OD?DE，CD?MD． 又在?DOE和?MDC中， ?ODE??MDC，?DOE??DEO??DCM??DMC，则OE∥CM． 设CM所在直线的解析式为y?kx?b，CM过点C?0，2?，M?4，0?，

1??4k?b?0,?k??∴，解得?2 ?b?2,???b?21直线CM的解析式为y??x?2．

21又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y??x．

2当E在第一象限时，易得四边形COME为矩形，此时E(4，2)

1x 2点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．

∴直线OE的解析式为y?

2??【例6】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A??2，0?和点B?0，3?，直线l2的函数表达式

3??34x?3，l1与l2相交于点P．⊙C是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的33横坐标是a．过点C作CM?x轴，垂足是点M． ⑴ 填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，?FPB的度数是 ；

为y??⑵ 当⊙C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出R?32?2 时a的值． ⑶ 当⊙C和直线l2不相离时，已知⊙C的半径R?32?2，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)．S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不

存在，请说明理由．

yyl232A-21OPE1234xCl1l22BA-2OyFPCGDM图甲l22B1OFPCN1l1E4xl1A-2M图乙E4x

【解析】⑴ y?32x?3，P1，3，60? 33⑵ 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD?PD．

??过点P作CM的垂线PG，垂足为G，

CP?PC?， 所以PG?CD?R． 则Rt?CDP≌Rt?PGC??PCD??CPG?30?，当点C在射线PA上，⊙C和直线l2相切时，同理可证． 取R?32?2时，a?1?R?32?1，或a???R?1??3?32．

⑶ 当⊙C和直线l2不相离时，则3?32?a?32?1，由⑵知，分两种情况讨论：

① 如图乙，当0≤a≤32?1时，

12334332S?[?(?a?)]?a??a?3a，

23336当a??32?(?3)6② 当3?32≤a?0时，

32S?a?3a显然⊙C和直线l2相切，即a?3?32时，S最大．

612334333此时S最大值?[． ?(3?32)?]?3?32?233324?(?33 2点评：本题共3问，这3问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定a的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形；5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．

此时S最大值?3)6?3?3时，(满足a≤32?1)，S有最大值．

933(或)．

232?综合以上①和②，当a?3或a?3?32时，存在S的最大值，其最大面积为【答案】（1）y?32x?3，P1，3，60?；（2）a?32?1或a?3?32；（3）当a?3或a?3?323333时，存在S的最大值，其最大面积为

2??

【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y?kx?1的图象与

4?．平行于x轴的直线l过二次函数的图象交于A，B两点(A在B的左侧)，且A点坐标为??4，?0，?1?点．

⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵ 判断以线段x?CA?tan?为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； ⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位?t?0?，二次函数的图象与x轴交于

M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？

最小面积是多少？

yAyHFBCENOMxlOxlA'B'【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定

【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2006年，山东潍坊

3【解析】⑴ 把A(?4，4)代入y?kx?1得k??，

4

3∴一次函数的解析式为y??x?1；

4∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， ∴设二次函数解析式为y?ax2， ∴把A(?4，4)代入y?ax2得a?11，∴二次函数解析式为y?x2．

443?y??x?1?x?1??x??4?1?4⑵ 由?，解得?或?B(1，)， 1，∴

4y??y?4?y?1x2??4??4过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A?，B?，

则AA??4?1?5，BB??15?1?， 445?54?25， 28∴直角梯形AA?B?B的中位线长为

过B作BH垂直于直线AA?于点H，则BH?A?B??5，AH?4?115?， 4425?15?∴， AB?5????44??∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍， ∴以AB为直径的圆与直线l相切． ⑶ 平移后二次函数解析式为y?(x?2)2?t，

22令y?0，得(x?2)2?t?0，x1?2?t，x2?2?t， ∵过E三点的圆的圆心一定在直线D上，点C为定点， ∴要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x?2的距离， 此时，半径为2，面积为4π，

设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE?1， 在三角形CEM中，ME?22?1?3，

t?3 MN?23，而MN?x2?x1?2t，∴∴

∴当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π

点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质，并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定；2．直线与圆的位置关系，3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．

31【答案】（1）一次函数的解析式为y??x?1；二次函数解析式为y?x2．（2）以AB为直径的圆与直线

44l相切．（3）当t?3时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π

0?，顶点D在O上运动． 【例8】 如图1，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为?5，⑴ 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切；

⑵ 当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； ⑶ 设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最

大值与最小值．

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