大学线性代数第五版课后习题答案 - 图文

线性代数习题册答案

第一章 行列式 练习 一

班级 学号 姓名

1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;

（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n（n-1）.

2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .

3．在四阶行列式中，项a12a23a34a41的符号为 负 .

0034．042= －24 . 215

5．计算下列行列式：

?1（1）2222 或

?1?2= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5 ?2?1??（2）11??111= －?3＋1＋1－（－?）－（－?）―（－?） ??= －?＋3?+2=(2??)(??1)

312

1

练习 二

班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det(aij)=1，则行列式det(?aij)= －1 . (?1)3?1??1

112． 214= 2 .

491610123

?11033．已知D=,则A41?A42?A43?A44= —1 .

1110?1254用1，1，1，1替换第4行

4． 计算下列行列式：

1?a(1)

b1?bbcc 1?c10?1100?1?1?1aa= r1?r3,r2?r30

1?1c3?c101ab1?cx(2)

ab1?cb1?c?1?a?b?c

yx?yxx?yxy

yx?y

2

21?511?30?6(3)

02?1214?76

1(4)

2140?121

10130131

5．计算下列n阶行列式：

(1)Dn?xaaxaaaax （每行都加到第一行，并提公因式。）

3

(2)

21131111n?1

a1?b(3)

a2a3ananan?b

a1a1a2?ba3a2a3

4

练习 三

班级 学号 姓名

??x1?x2?x3?1?1．设线性方程组?x1??x2?x3?1有惟一解，则?满足的条件是什么？

??x?x??x?13?12

???1,??0,??1

?x1?x2?x3?x4?5?x?2x?x?4x??2?12342. 求解线性方程组?

?2x1?3x2?x3?5x4??2??3x1?x2?2x3?11x4?0

5

??x1?x2?x3?0?3.已知齐次线性方程组??x1??x2?x3?0有非零解，求?的值。

??x?x??x?03?12

???1,??0,??1

4.求三次多项式f(x)?a3x3?a2x2?a1x?a0，使得：

f(?2)?3,f(?1)?4,f(1)?6,f(2)?19。

6

自测题

1. n阶行列式D=det(aij)，则展开式中项a12a23a34

2.已知3阶行列式det(aij)=

an?1,nan1的符号为(?1)n?1.

131，则行列式det(?2aij)=(?2)???4.

2211111?22x?0的根为 1,2，-2 . 3.方程

144x21?88x3

??x?y?z?0?4. 已知齐次线性方程组??x?3y?z?0仅有零解，则?的值应为??0,??1.

??y??z?0???0

13?11?1?2?(??1)?0,

?2x15.设D?31xx21121?13，则D的展开式中x的系数为 -1 .

x11x

7

6. 计算下列行列式：

1（1）

?322?3409

2?2623?383

122222（2）Dn?223222222 n

8

第二章 矩阵及其运算

练习 一

班级 学号 姓名

?111??123?????T1.设A??11?1?,B???1?24?,求3AB?2A及AB。

?1?11??051?????

2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。 由题意，得：AT?A,BT?B.

3. 矩阵A和B满足什么条件时，(A?B)?A?2AB?B恒成立？

222

恒成立的条件是：AB=BA.

??1???1004.设A??123?,B??1?,求AB，BA及(BA)。

?0???

(BA)100??1?2?3????BA??123?

?000???9

5.设A???10?23，求A,A,??21?,Ak。

10

练习 二

班级 学号 姓名 1.求下列矩阵的逆矩阵： （1）??12?? ?25?

?12?3???（2）?012?

?001???

11

2.设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A及(A?2E)?1。

2?1

?100????3.已知A??0?20?，ABA?2BA?8E，求B。

?001???

12

4. 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：

??（1）若A?0，则A?0； （2）A?A?

n?1。

??1?4???10?115. 设PAP??,其中P???,????,求A。

?11??02??1

13

练习 三

班级 学号 姓名

?34?4?31.设A???00??0000220??0?84，求A及A。 0??2?

2.求下列逆矩阵：

?1?（1）?0?0??0230000230??0? 0??4??1

?OA?（2）??，其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。

?BO??1

14

自测题

一．填空题：

4??12??01?20072008?31．若A???,P???,那么PAP=??.

341012??????

22ATB-1）2．A、B为三阶矩阵，A??1则（= 8 . ，B?2，

?a2?3a?5?0?a0?3．已知（则=f(A)fx）=x?3x?5,A??,??. ?20b?3b?5???0b?2

2224．若A、B、C均为n阶矩阵，且AB?BC?CA?E，则A?B?C= 3E .

?1?11?T5．?是三维列向量，??T???11?1?，则??= 3 .

???1?11???

?T??a2?b2?c2?3

?1?52?二．用初等变换法求A???211?3?的逆矩阵.

???1?51???

?457???A?1??111?

?10?1???

15

?100???n三．设矩阵A??110?，求A.

?011???

四．证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是A?A对称。

T

?1?20??1五．A、B为三阶可逆矩阵，2AB?B?4E，若B??120?，求A.

???102???

16

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

练习 一

班级 学号 姓名 1．判断题（正确打√，错误打×）：

1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的 （ × ） 2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的 （ × ） 3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的 （ × ） 4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类 （ √ ） 5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形 （ √ ）

?x1?2x2?x3?x4?1?2．已知线性方程组?2x2?2x3?6x4?2，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变

?2x?3x?2x??924?1换化为阶梯形、行最简形。

3．已知A???2?10??，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。

?132?

17

?021????14．已知A??2?13?，利用矩阵的初等变换，求A。

??33?4???

??5117???A?1???132?

?3?6?4???

?1?10???1?1?，AX?2X?A，求X。 5．已知A??0??101???

18

练习 二

班级 学号 姓名 1.选择题：

1）Am?n的行阶梯形中只有前r（r＜m 且r＜n）行为非零行，则R(A)为 （ C ） （A）0； （B）m； （C）r； （D）n.

2）非零矩阵Am?n（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为 （ D ） （A）??Em?00??00??00??10?；（B）；（C）；（D）?????? ?0E0?m?nm?m?n??00?m?n?00?m?n3）方阵An的秩R(A)= n，则An必定不满足 （ D ） （A）An可逆； （B）An与E等价； （C）R(A)?n； （D）存在B?O,使AB?O 4）An为奇异矩阵，下列的错误的是 （ C ）

?T（A）R(A)?R(A)；（B）R(A)?n； （C）A?0； （D）An不与单位阵E等价

??3102???2. 已知矩阵A??1?12?1?，求R(A)。

?13?44???

R(A)=2

?1?23k???3.设A???12k?3?，问k为何值时，可分别使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？

?k?23???

19

4.已知n阶方阵A，使A?2E为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。

练习 三

班级 学号 姓名 1．选择题：

1）当（ D ）时，齐次线性方程组Am?nx?0一定有非零解。

（A）m≠n； （B）m＝n； （C）m＞n； （D）m＜n . 2）设A为n（≥2）阶方阵，且R(A)=n-1，?1,?2是Ax?0的两个不同的解向量，k为任意常数，则Ax?O的通解为（ C ）

（A）k?1； （B）k?2； （C）k(?1??2)； （D）k(?1??2). 2．填空题:

1）设4阶方阵A?(?1?2?3?4)，且???1??2??3??4，则方程组Ax??的一个解

向量为(1?11?1)?。

2）设方程组A(n?1)?nx?b有解，则其增广矩阵的行列式Ab= 0 。

?x1?x2??a1?x?x?a?232 3）若?有解，则常数a1,a2,a3,a4应满足条件 ?x3?x4??a3??x4?x1?a4?ai?14i?0 。

1??x1??1??12?????? 4）已知方程组?23a?2??x2???3?无解，则a= -1 。

?1a?2??x??0????3??? 20

11??12??23a?23???1a?20??????????1211???0?1a1?? ????00(a?3)(a?1)a?3???????x1?x2?x5?0?3．求齐次线性方程组?x1?x2?x3?0的解。

?x?x?x?0?345

4．解矩阵方程：??123??10?X????

?231??01?

21

??x1?x2?x3?1?5．?取何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3??（1）有唯一解；（2）无解；（3）有

?2?x1?x2??x3??无穷多解？并在有解时，求解。 解：

?11??2???111????r1?r3?A??1?1???????1?1???11??2???111??????11??r2?r1????r3??r1?0??11???01??1??2??2?????2?1??3???1?1??2??r3?r2?????0??11?????2?

232??002????1?????????1?1??2????0??11???(1??)?2??00(2??)(1??)(1??)(1??)????2?11?????（1）当???2,??1时，有唯一解；A??01?1???

?2?(1??)???001???2??????x????1?(1??)2(1??)32?2110???100??????????1??2??2??2?????1?????(1??)2(1??)2 ??010?????010?????x2???2??2??2?????222(1??)(1??)?????x?(1??)3?001??001????2???2??2????（2）当???2时，无解；

?1111???（3）当??1时，有无穷多解。A??0000?，

?0000????x1???1???1??1?????????x?c1?c（其中c1,c2是任意实数） 212?????0???0?，?x??0??1??0??3???????

22

自测题

1．选择题：

1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素aij的代数余子式Aij?0，则方程组Ax?O 的基础解系所含向量个数为（ B ）

（A）i； （B）1； （C）j； （D）n.

??x1?x2??2x3?0?2）方程组?x1??x2?x3?0的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵B?O，

?x?x??x?03?12使得AB?O，则（ A ）

（A）??1，B?0；（B）??1，B?0；（C）??1，B?0；（D）??1，B?0.

Bx?O有相同的基础解系?1,?2,?3，3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax?O，

则以下方程组以?1,?2,?3为基础解系的是（ D ）

（A）(A?B)x?O；（B）ABx?O；（C）BAx?O；（D）??A??x?O. B??2．判断题:

1）初等矩阵与初等变换是一一对应的 （ √ ） 2）任一秩为r的矩阵A必与?T?Er?OO??等价 （ √ ） O?3）Ax?O与AAx?O为同解方程组 （ √ ） 4）方程组Ax?b有无穷多个解的充分必要条件是Ax?b有两个不同的解（ √ ） 3．设n阶方阵A的列向量为?i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为

?1??2,?2??3,,?n?1??n,?n??1，试问：当R(A)?n时，Bx?O是否有非零解？

试证明你的结论。

4．若齐次线性方程组Am?nx?O的解均为齐次线性方程组Bl?nx?O的解， 试证明R(A)?R(B)。

23

?x1?x2?0?x1?x2?x3?05．求方程组?与?的非零公共解。

x?x?0x?x?x?0?24?234解：

?1100??1100??1100???????010?1010?1010?1r?rr?2r3132?????????A??????r4?r2?1?110??0?210??001?2???????01?1101?1100?12???????1?0r4?r3??????0??0110000??1??0?1?r1?r2?0?????01?2???00??0010001??0?1?

1?2??00???????1??x1???非零公共解为?x2??c1（c?0,c是任意实数）

?????2????x3??x??4?

6．设非齐次线性方程组Am?nx?b的系数矩阵Am?n的秩为r，?1,?2,,?n?r是Am?nx?0的

一个基础解系，?是Am?nx?b的一个解。证明：Am?nx?b的任一解可表示为

x?k1(?1??)?k2(?2??)?

?kn?r(?n?r??)?kn?r?1?,(k1?k2??kn?r?1?1)

24

7．设?1,?2,?3,?4,?为四维列向量，A?(?1,?2,?3,?4)，已知Ax??的通解为

?1???1??1??1???1???????????12?121x????k1???k2??，其中??，??为对应的齐次方程组的基础解系，k1,k2为

?0??1??2??0??1????????????1??0??1??1??0?任意常数，令B?(?1,?2,?3)，试求By??的通解。

25

练习 四

班级 学号 姓名

x1?x2?3x4?x5?0??x1?x2?2x3?x4?x5?0?1．求齐次线性方程组?的基础解系。

4x?2x?6x?5x?x?012345???2x1?4x2?2x3?4x4?16x5?0

?x1?3x2?3x3?2x4?x5?3?2x?6x?x?3x?2?12342．求非齐次线性方程组?的通解。

?x1?3x2?2x3?x4?x5??1??3x1?9x2?4x3?5x4?x5?5 31

3．已知?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的解，R(A)?2，且

?1??1??2???????201???????1??2?,?2??3?,?3??1?,求该方程组的通解。 ?0???1??2???????12?????3?

4．设?是齐次线性方程组Ax?b的一个解，?1,?2,个基础解系，证明：（1）??,?1,?2,线行无关。

?,?n?r是对应的齐次线性方程组的一

（2）??,????1,????2,,?n?r线行无关；,????n?r 32

练习 五

班级 学号 姓名 1．试判定集合V?(x1,x2,?,xn)x1?x2??xn??1,xi?R?是否构成向量空间？

2．求向量空间R的基?1??1,2,?1,0?,?2??1,?1,1,1?,?3???1,2,1,1?,?4???1,?1,0,1?4到基?1??2,1,0,1,2??0,1,2,?4,?????2?,3???2,1,1,?2

33

1,3,1,2?的过渡矩阵和向量的

坐标变换公式。

自测题

一、选择题：

1．设向量组（1）：?1,?：?1,?2等价，则（ A ）。 ?与向量组（2）2,3（A）向量组（1）线性相关； （B）向量组（2）线性无关； （C）向量组（1）线性无关； （D）向量组（2）线性相关。 2．设n维向量组?1,?2,。 ,?m线性无关，则（ B ）

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关； （B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； （D）向量组中每个向量都任意增加一个分量后仍线性无关。 3．设三阶行列式D?aij?0，则（ A ）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合； （B）D中每一行向量都是其余行向量的线性组合；

（C）D中至少有两行向量线性相关； （D）D中每一行向量都线性相关。 4．设A:?1,?2,。 ,?4是一组n维向量，且?1,?2,?3线性相关，则（ D ）

（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。 5．设?不能由非零向量?1,?2,（A）?1,?2,

。 ,?s线性表示，则（ D ）

,?s线性相关； （B）?1,?2,34

,?s,?线性相关；

（C）?与某个?i线性相关； （D）?与任一?i都线性无关。 二、填空题：

1．设n维向量?1,?2,?3线性相关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r= 0，1，2 。 2． 向量组?,?,?线性相关的充分必要条件为 秩<3 。

3．设?1,?2线性无关，而?1,?2,?3线性相关，则向量组?1,2?2,3?3的极大无关组为 ?1,?2 。

4．已知?1??1,3,2,4?,?2??2,6,k,8?线性相关，则k= 4 。

5． 已知向量组?,?,?线性相关，而向量组?,?,?线性无关，则向量组?,?,?的秩为 2 。

??1??1??2??3?三、已知??2??1??2?2?3，证明?1,?2,?3与?1,?2,?3等价。

?????2??3?123?3

?a???2???1??1?????????四、设有向量组A:?1??2?,?2??1?,?2??1?，又向量???b?，试问当a,b,c满

?10??5??4??c?????????足什么条件时，则：

（1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式唯一； （2）?不能由?1,?2,?3线性表示；

（3）?可由?1,?2,?3线性表示，但不唯一，并求一般表达式。

35

（1）

（2）

（3）

五、已知?1,?2,,?s及?都是n维向量，且???1??2???s，证明向量组

???1,???2,,???s线性无关的充分必要条件是向量组?1,?2,,?s线性无关。

六、设n维向量组（1）：?1,?2,（2）?1,?2,,?s的秩为r1；

（3）,?s的秩为r2；

?1??1,?2??2,,?s??s的秩为r3。证明：r1?r2?r3。

36

?(2??1)x1??x2?(??1)x3???1?七、?取何值时，线性方程组?(??2)x1?(??1)x2?(??2)x3??有惟一解、无解、无

?(2??1)x?(??1)x?(2??1)x??123?穷多解？在有无穷多解时求通解。

八、已知a1,a2,a3为三维向量空间R的一个基，设

3

b1?2a1?3a2?3a3,b2?2a1?a2?2a3,b3?a1?5a2?3a3,

37

（1）证明：b1,b2,b3也是R的一个基；

3

（2）求由基b1,b2,b3到a1,a2,a3的过渡矩阵；

（3）若向量?在基a1,a2,a3下的坐标为?1,?2,0?，求?在基b1,b2,b3下的坐标。

T

第五章 相似矩阵及二次型

练习 一

班级 学号 姓名

练习 二

班级 学号 姓名

38

39

练习 三

班级 学号 姓名

练习 四

班级 学号 姓名

练习 五

班级 学号 姓名

40

第一章 行列式

1? 利用对角线法则计算下列三阶行列式? 201 (1)1?4?1?

?183201 解 1?4?1

?183 ?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8 ?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) ??24?8?16?4??4? abc (2)bca?

cababc 解 bca

cab ?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc ?3abc?a3?b3?c3?

111 (3)abc?

a2b2c2111 解 abc

a2b2c2 ?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 ?(a?b)(b?c)(c?a)?

xyx?y (4)yx?yx?

x?yxyxyx?y 解 yx?yx

x?yxy

41

?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2 y?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)?

2? 按自然数从小到大为标准次序? 求下列各排列的逆序数? (1)1 2 3 4? 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2?

解 逆序数为4? 41? 43? 42? 32? (3)3 4 2 1?

解 逆序数为5? 3 2? 3 1? 4 2? 4 1, 2 1? (4)2 4 1 3?

解 逆序数为3? 2 1? 4 1? 4 3? (5)1 3 ? ? ? (2n?1) 2 4 ? ? ? (2n)?

n(n?1) 解 逆序数为?

2 3 2 (1个) 5 2? 5 4(2个) 7 2? 7 4? 7 6(3个) ? ? ? ? ? ?

(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个)

(6)1 3 ? ? ? (2n?1) (2n) (2n?2) ? ? ? 2? 解 逆序数为n(n?1) ? 3 2(1个) 5 2? 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ?

(2n?1)2? (2n?1)4? (2n?1)6? ? ? ?? (2n?1)(2n?2) (n?1个) 4 2(1个)

42

6 2? 6 4(2个) ? ? ? ? ? ?

(2n)2? (2n)4? (2n)6? ? ? ?? (2n)(2n?2) (n?1个) 3? 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项? 解 含因子a11a23的项的一般形式为

(?1)ta11a23a3ra4s?

其中rs是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a11a23的项分别是

(?1)ta11a23a32a44?(?1)1a11a23a32a44??a11a23a32a44? (?1)ta11a23a34a42?(?1)2a11a23a34a42?a11a23a34a42? 4? 计算下列各行列式? 41 (1)1001251202142? 0741 解 100125120214c2?c342??????10c?7c103074?12302021?104?1?102?122?(?1)4?3 ?14103?1404?110c2?c39910 ?12?2??????00?2?0?

10314c1?12c317171423 (2)151?120423611? 2242361c4?c221?????3212523 解 151?1201?12042360r4?r222?????310221?121423402 00r4?r123 ?????101?120423002?0? 00 43

?abacae (3)bd?cdde?

bfcf?ef?bce?abacae 解 bd?cdde?adfb?ce

bc?ebfcf?ef?111 ?adfbce1?11?4abcdef?

11?1a1 (4)?001b?1001c?100? 1da1 解 ?001b?1001c?10r1?ar201?ab0??????1b10?1d00a1c?100 1d1?aba0c3?dc21?abaad ?(?1)(?1)2?1?1c1??????1c1?cd

0?1d0?10

5? 证明:

abad?abcd?ab?cd?ad?1? ?(?1)(?1)3?21??11?cda2abb2 (1)2aa?b2b?(a?b)3;

111 证明

a2abb2c2?c1a2ab?a2b2?a2 2aa?b2b?????2ab?a2b?2a

00111c3?c11222ab?ab?aab?a?(a?b)3 ? ?(b?a)(b?a)1 ?(?1)2b?a2b?2a3?1ax?byay?bzaz?bxxyz (2)ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzx;

az?bxax?byay?bzzxy 证明

44

ax?byay?bzaz?bx ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzxay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxyxyz ?(a3?b3)yzx?

zxy

a22b (3)2cd2 证明

(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2?0; (c?3)2(d?3)2a22b 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?c? c?c? c?c得) (c?3)2433221(d?3)2a22b ?c2d2a22b ?c2d2

2a?12b?12c?12d?12a?12b?12c?12d?12a?32b?32c?32d?322222a?52b?5(c?c? c?c得) 2c?543322d?522?0? 2245

1a (4)a2a41bb2b41cc2c41d d2d4 ?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d); 证明 1a a2a41bb2b41cc2c41d d2d411110b?ac?ad?a ?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)

0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)111cd ?(b?a)(c?a)(d?a)b

222b(b?a)c(c?a)d(d?a)111c?bd?b ?(b?a)(c?a)(d?a)0

0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a) =(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)? x0 (5)? ? ?0an?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ??xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? x?1a2x?a1

证明 用数学归纳法证明?

x?1?x2?ax?a? 命题成立? 当n?2时? D2?a122x?a1 假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有

46

?1 Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 10?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 ? ? ? x00 ? ? ? ?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? 因此? 对于n阶行列式命题成立?

6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得

an1? ? ?anna1n? ? ?annann? ? ?a1n D1?? ? ?? ? ?? ? ?? D2?? ? ?? ? ?? ? ? ? D3?? ? ?? ? ?? ? ??

a11? ? ?a1na11? ? ?an1an1? ? ?a11证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D? D3?D ?

证明 因为D?det(aij)? 所以 a11an1? ? ?ann D1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2na11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1) 同理可证 D2?(?1) D3?(?1)

n(n?1)112D?

a? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2D? a1n? ? ?annn(n?1)2n(n?1)2D2?(?1)(?1)n(n?1)2D?(?1)n(n?1)D?D?

7? 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)?

47

(1)Dn?是0? 解

a1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素都

a0 Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?0000a? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0000? ? ?a100(按第n行展开) ? ? ?0a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)?an?an?an?2?an?2(a2?1)?

0an?1 ?(?1)0? ? ?0000? ? ?0an?1n?(?1)?(?1)

? ? ?a(n?2)(n?2)

x (2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得 xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00再将各列都加到第一列上? 得

x?(n?1)aaa0x?a0 Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a? ? ?0n?1

?[x?(n?1)a](x?a)? ? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a 48

an(a?1)nan?1(a?1)n?1 (3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1; ? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1 解 根据第6题结果? 有 11a?1n(n?1)a Dn?1?(?1)2 ? ? ? ? ? ?an?1(a?1)n?1an(a?1)n? ? ?1? ? ?a?n? ? ? ? ? ?

n?1? ? ?(a?n)? ? ?(a?n)n此行列式为范德蒙德行列式? Dn?1?(?1) ?(?1) ?(?1) ?

an? ? ??? ? ?? ? ? ? ?bnn(n?1)2n?1?i?j?1n(n?1)2?[(a?i?1)?(a?j?1)]

n?1?i?j?1n(n?1)2?[?(i?j)]

n?(n?1)?? ? ??12?(?1)?n?1?i?j?1?(i?j)

n?1?i?j?1?(i?j)?

(4)D2n?cna1b1c1d1; dnbn 解

an? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? D2n?cna1b1c1d1(按第1行展开) dn 49

an?1 ?an? ? ?? ? ?a1b1c1d1??? ? ? ? ?bn?10

cn?10dn?100dn?? ? ? ? ?bn?10an?1? ? ??? ? ?(?1)2n?1bncn?1cna1b1c1d1? dn?10 再按最后一行展开得递推公式

D2n?andnD2n?2?bncnD2n?2? 即D2n?(andn?bncn)D2n?2? 于是 D2n??(aidi?bici)D2?

i?2n而 D2?a1b1?ad?bc? c1d11111ni?1所以 D2n??(aidi?bici)? (5) D?det(aij)? 其中aij?|i?j|; 解 aij?|i?j|? 01 Dn?det(aij)?23? ? ?n?1?1r1?r2?11 ???????1r2?r3? ? ? ? ? ? n?1123012101210? ? ?? ? ?? ? ?n?2n?3n?411? ? ?11? ? ??11? ? ??1?1? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?n?3n?4? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?111 1? ? ?0n?1n?2n?3 n?4? ? ?01?1?1?1? ? ?n?2 50

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