数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第一章

第一章 实数集与函数

一、填空题

1． 已知函数f(x)的定义域为?0,4?，则函数g(x)?f(x?1)?f(x?1)的定义域为

_________。

2． 设f(x)?ex，f?g(x)??1?x2，则g(x)?_______

1?x?2 的定义域是 ； 21?x1４．函数 y?3?x?arctan 的定义域是 ；

x3．函数 y??x3?4x?1 , x?1５．设 f(x)?? ，则 f(x?4) = ；

?x?2 , x?1６．函数 y?2sin2xx?tan 的周期是 ； 32７．把函数 y?ln2arcsinx3 分解为简单函数 ； ８．函数 y?x?1 , x?1 的反函数是 ；

９．函数 y?ex?1 的反函数是 ； 10．设 f(x)?e(x?a) ,?(x)?a?cosx ,则 f[?(x)]? ；

22x的定义域是 ，值域是 ；

1?x2112．若f(x)?，则f[f(x)]? ，f{f[f(x)]}? ；

1?x11213．若f(x?)?x?2?3，则f(x)? ；

xx11．y?arccos?2x ?1?x?0? 0?x?1，则f(x)的定义域是 ，f(0)? ，f(1)? ； 14．设f(x)??2 ?x-1 1?x?3?115．函数y?的定义域是 ；

lnx216．设y?f(x)的定义域是[0,1]，则f(x)的定义域是 ；

17．设函数f(x)?1?lnx ,g(x)?18．设f(x)??x?1 ,则f[g(x)]? ；

?2?x?0?sinx ?f()? ； ，则220?x?2?1?x 19．函数y?x?1的反函数是 ； x?120．函数y?1?lnx的反函数是 ； 二、选择填空

1．点x0的?(??0)邻域是区间（ ）．

(A)[x0?? ,x0??] (B)(x0?? ,x0??］ (C)［x0?? ,x0??) (D)（x0?? ,x0??）

2．函数y?1的定义域是（ ）．

lg(x?1)(A)(1 , ??) (B)(0 , 1)?(1 , ??) (C)(0 , 2)?(2 , ??) (D)(1 , 2)?(2 , ??)

3．设f(x)?lnx ,g(x)?x?3 ，则f[g(x)]的定义域是（ ）．

(A)(?3 , ??) (B)[?3 , ??) (C)(?? , 3) (D)(?? , 3]

4．函数y?ln(x?1)x?1的定义域是（ ）．

(A){x|x??1} (B){x|x?1} (C){x|x??1} (D){x|x?1}

? x?3?9?x2 5．函数f(x)??2的定义域是（ ）．

3?x?4??x?9 (A)[?3 , 4) (B)(?3 , 4) (C)[?4 , 4] (D)(?4 , 4)

6．函数y?x?1?16?x2的定义域是（ ）． lnx(A)(0 , 1) (B)(0 , 1)?(1 , 4) (C)(0 , 4) (D)(0 , 1)?(1 , 4]

7．若f()?(x?12)，则f(x)?（ ）． xx2x?12) (B)() (C)(1?x)2 (D)(1?x)2 (A)(x?1x1x8．f(x)???sinx x?1? ，则f(?)?（ ）

x?14?0 (A)0 (B)1 (C)22 (D)? 229．如果y?u2,u?logax (a?0,a?1)，则将y表示成x的函数是（ ）

(A)logax2 (B)logax (C)2logax (D)loga2x

三、计算题

1．试在数轴上表示出下面不等式的解:

(1) x(x2-1)>0; (2) |x-1|<|x-3|; (3)x?1?2x?1?3x?2; 2．设a与b为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:

(1) |x-a|<|x-b|; (2) |x-a|

21|≤6; (3) (x-a)(x-b)(x-c)>0,(a、b、c为常数且a

2. 24．确定下列初等函数的存在域:

(1) y=sin(sinx); (2) y=lg(lgx);(3) y=arcsin?lg5. 设函数

x???x??; (4) y=lg?arcsin?.

10???10??2?x,x?0, f(x)??x?2,x?0.求 (1) f(-3),f(0),f(1); (2) f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0) (△x>0). 6. 设函数f(x)=

11,求f(x+2),f(2x),f(x2),f(f(x)),f() 1?xf(x)7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:

(1) y=(1+x)20; (2) y=(arcsinx2)2; (3) y=lg(1+1?x2); (4) y=28.求下列函数的周期:

(1) f(x)=cos2x; (2) f(x)=2tg(3x); (3) f(x)=cos9. 设函数f(x)=

sin2x

xx+2sin. 231?x,求: 1?x11),,f(x2),f(f(x)). xf(x)f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(

10. 已知f (

1)=x+1?x2,求f(x). x

四、证明题

1． 证明: 对任何x∈R,有

(1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2. 2．设a、b、c为三个任意的实数,证明:

|a2?b2?a2?c2|?|b?c|

你能说明此不等式的几何意义吗? 3． 设x>0,b>0且a≠b,证明

a?xa介于1与之间. b?xb4．求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.

(1) S={x|x2<2};

(2) S={x|x=n!,n为自然数}; (3) S={x|x为(0,1)内的无理数};

(4) S={x|x=1-

1,n=1,2,…}. 2n5． S为非空有下界数集.证明: infS=ξ∈S的充要条件是ξ=minS. 6．设S是非空数集,定义S={x|-x∈S },证明:

——

(1)infS=-supS; (2) supS=infS.

7．设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}.

证明:(1)sup(A+B)=supA+supB; (2) inf(A+B)=infA+infB. 8. 证明: f(x)=

x是R上的有界函数. 1?x29. 证明下列函数在指定区间上的单调性:

(1) y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;

(2) y=sinx在??????,?上严格递增; 22??(3) y=cocx在[0,π]上严格递减.

10. 证明: 设f(x)为严格单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x2. 11. 设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:

(1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数; (2)G(x)=f(x)-f(-x) x∈[-a,a]为奇函数.

(3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和

12. 设f(x)、g(x)为定义在D上的有界函数,且f(x)≤g(x),x∈D,证明:

(1) supf(x)?supg(x); (2) inff(x)?infg(x).

x?Dx?Dx?Dx?D13. 设f为定义在D上的有界函数,证明:

(1) sup{-f(x)}?-inff(x); (2) inf{-f(x)}?-supf(x)

x?Dx?Dx?Dx?D14. 证明:函数f(x)=tgx在??????????,?内可无界函数,但在??,?内任一闭区间[a,b]上有界 ?22??22?15. 证明: f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)内是严格递增函数

16. 设a,b为实数,证明:

(1) max{a,b}=

11(a+b+|a-b|); (2) min{a,b}=(a+b-|a-b|). 22

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