2009年中考 二次函数汇编 答案

二次函数汇编 答案

1、二次函数y?23点A0位于坐标原点，A1，?， x的图像如图所示，A2，A3，

23x22y

?， B2008在二次函数y?A2008在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，

第一象限的图像上，若△A0B1A1,△A1B2A2，△A2B3A3，?，△

A2007B2008A2008A3 B3

A2 A1 B2

A0

B1 都为等边三角形，请计算△A0B1A1的边长＝ ；△A1B2A2的边长＝ ；△A2007B2008A2008的边长＝ . 答案：1（1分） 2（1分） 2008（2分）

2

2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C， 则ac的值是 。 答案：-2．

x （第1题）

3、在?ABC中，∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cmm,点D在BC上，并且CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设?EDQ的面积为

y(cm)，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

2AEP（3）当x为何值时，?EDQ为直角三角形。

BQDC答案：.解：（1）在Rt?ADC中,AC?4,CD?3,?AD?5，????????1

?EP?DC,??AEP??ADC,　　　 ????????????????2 ?EAAD?APAC,即EA5?x4,?EA?54x,DE?5?54x????????4

（2）?BC?5,CD?3,?BD?2，????????????????5

y?当点Q在BD上运动x秒后，DQ＝2－1.25x,则

12?DQ?CP?12(4?x)(2?1.25x)?58x?272x?4????????7

y?58x?272x?4即y与x的函数解析式为：

，其中自变量的取值范围是：0＜x<1.6

1

???????? 8

(3)分两种情况讨论： ①当?EQD?Rt?时，

显然有EQ?PC?4?x,又?EQ?AC,??EDQ??ADC ?EQ?DQ,AACDC 4?x1.25x?2即?,解得　x?2.543

EP解得　x?2.5 ????????10

②当?QED?Rt?时，

EQCDDQDA5(4?x)121.25x?25BDQC??CDA??EDQ,?QED??C?Rt?,??EDQ??CDA ??,即?,A

解得　x?3.1 ????????12

综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，?EDQ为直角三角形。

4、

EBDQPC如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s).

（1）求正方形ABCD的边长.

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一

部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标. （4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而

增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能

使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.

O E A P B Q 图 1

x O 10 图 2 t y

D

28 C

20 S 答案：解：（1）作BF⊥y轴于F.

2

∵A（0，10），B（8，4） ∴FB=8,FA=6,

∴AB=10 ?????????????2分 （2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s??1分 ∵AB=10

∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度.?1分 （3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF. ∴△AGP∽△AFB ∴

GAFA?35APABt. 35t. ??????????2分

,即

GA6?t10.

∴GA?∴OG?10?又∵OQ?4?t ∴S?12?OQ?OG?310t?212(t?4)(10?35t)???2分

即S??195t?20

19 ∵?b2a??52?(?310)?193，且

193在0≤t≤10内，

∴当t?193时，S有最大值.

45t?7615,OG?10?35t?315 此时GP? ∴P(,

7631,) ???????????2分 1552 解法2：由图2，可设S?at?bt?20,

∵抛物线过（10，28）∴可再取一个点，当t=5时，计算得S?∴抛物线过（5,632632，

），代入解析式，可求得a,b.?????评分参照解法1

（4）这样的点P有2个. ?????????2分

5、关于x的二次函数y＝－x＋(k－4)x＋2k－2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

答案：解：(1)根据题意得：k2－4＝0

3

2

2

∴k＝±2 ??1分 当k＝2时，2k－2＝2＞0

当k＝－2时，2k－2＝－6＜0

又抛物线与y轴的交点在x轴上方

∴k＝2 ??2分 ∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2 函数的草图如图所示： ??3分

(2)令－x2＋2＝0，得x＝±2

当0＜x＜2时，A1D1＝2x，A1B1＝－x＋2 ??4分 ∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4 ??5分 当x＞2时，A2D2＝2x

22

A2B2＝－(－x＋2)＝x－2 ??6分 ∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x＋4x－4 ??7分 ∴l关于x的函数关系式是：

2???2x＋4x＋4(0＜x＜l??2??2x＋4x－4(x＞2)2

2

y 2)

C2 D1 C1 A1 B2 B1 x (3)解法①：当0＜x＜2时，令A1B1＝A1D1 得x＋2x－2＝0

解得x＝－1－3(舍)，或x＝－1＋3 ??8分 将x＝－1＋3代入l＝－2x2＋4x＋4

得l＝83－8 ??9分 当x＞

22

D2 A2 时，A2B2＝A2D2

3得x2－2x－2＝0

解得x＝1－3(舍)，或x＝1＋

将x＝1＋3代入l＝2x2＋4x－4

得l＝83＋8 ??11分 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且

??10分

当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8；

当x＝1＋3时，正方形的周长为83＋8． ??12分 解法②：当0＜x＜2时，同“解法①”可得x＝－1＋∴正方形的周长l＝4A1D1＝8x＝83－8 ??9分 当x＞2时，同“解法①”可得x＝1＋3 ??10分 ∴正方形的周长l＝4A2D2＝8x＝83＋8 ??11分 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且 当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8；

当x＝1＋3时，正方形的周长为83＋8．??12分 解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上

∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，－x2＋2) 令AB＝AD，则?x2?2＝2x

∴－x＋2＝2x ① 或－x2＋2＝－2x ② 由①解得x＝－1－由②解得x＝1－

332

3 ??8分

(舍)，或x＝－1＋

33 ??8分

(舍)，或x＝1＋ ??9分

又l＝8x

∴当x＝－1＋3时，l＝83－8；??10分 当x＝1＋3时，l＝83＋8 ??11分

4

综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且 当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8； 当x＝1＋

3时，正方形的周长为8

3＋8．??12分

6、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?23mx?n经过P(3，5)，A(0，2)两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．

?4 ?3 ?2 ?1 y 4 3 2 1 ?1 O 1 2 3 x

?2 ?3 ?3m?6m?n?5答案：解：（1）根据题意得?

?n?21?m??3 解得??n?2?所

以

2抛物线的解析式为：

y?13x?23313x?2x?2 233（）由y?x?2得抛物线的顶点坐标为

B（?3，1）， 依题意，可得

C（?3，-1），且直线l 过

?原点， 设直线l的解析式为y?kx，

则?3k??1 解得k?33x

所以直线l的解析式为y?

335

（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，

由勾股定理得 OB=OC=BC=2，

所以△OBC为等边三角形。

易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，

作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点， 作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点， 反向延长线交x轴于M4点，

可得点M1，M2，M3，M4 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。 可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：

①OM1 ?33OB?233，所以点M1的坐标为（?233，0）。

②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0 ，2），

③点M3与点A关于x轴对称，所以点M2的坐标为（0 ，-2），

④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N ， M4N ?32BC?3，且ON = M4N，

所以点M4的坐标为（?23，0）

综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为： M1（?7、

设抛物线y?ax2?bx?2与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、

233，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（?23，0）。

B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°.

（1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；

（3）已知过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E. 问：在

x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由.

答案：解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）??（1分） ∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA·OB＝OC2 ∴OB＝

OCOA2

＝221＝4 ∴m＝4 （2分）

6

（2）将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax21?a＝??2 ?bx?2，解得?3?b＝??2?∴抛物线的解析式为y＝当x=1时，y＝12x212x2?32x?2??（2分）

?32x?2=－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。??（1分）

?y＝x?1?x1＝?1?x2＝6?（3）由? 得 ，∴E（6，7）??（2分） 123??y＝0y＝7?1?2?y＝x?x?222?过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）， ∴ AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45° 作DF⊥x轴于F，则F（1，0） ∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135° 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况： ①若△DBP1∽△EAB，则

157137BP1AB137AE＝BDAE,∴BP1＝AB?BDAE＝5?3272＝157

∴OP1＝4?＝，∴P（1??（2分） ，0）＝BDAB225②若△DBP2∽△BAE，则∴OP2＝425?4＝225BP2,∴BP2＝AE?BDAB＝72?325＝425

∴P（2?137，0）??（2分）

（综合①、②，得点P的坐标为：P1，0）或P（2?225，0）

8、如图，抛物线的顶点坐标是?，－?2?59??，且经过点A( 8 , 14 ). 8?y ． A (1)求该抛物线的解析式；

(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点 （点C在点D的左边）， 试求点B、C、D的坐标；

(3)设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC． 试判断：PA?PB与AC?BC的大小关系，并说明理由.

7

(第9题图)

B O C D x 5?9?答案：解（1）（4分）设抛物线的解析式为y?a?x?????1分

2?8?15?9? ∵抛物线经过A(8,14)，∴14＝a?8???，解得：a? ?2分

22?8?151?5?9 ∴y??x???（或y?x2?x?2） ???????1分

222?2?8 （2）（4分）令x?0得y?2，∴B(0,2)??????????????1分

222 令y?0得

x?2?0，解得x1?1、x2?4?????????2分

2 ∴C(1 , 0)、D(4 ,0 ) ??????????????????????1分

2x?125（3）（4分）结论：PA?PB?AC?BC ?????????????1分 y 理由是：①当点P与点C重合时，有

． A PA?PB?AC?BC ????????????1分

②当点P异于点C时，∵直线AC经过点A(8,14)、C(1,0)，∴直线AC的解

析式为y?2x?2 ???3分

B O C E P D x 设直线AC与y轴相交于点E，令x?0，得y??2， ∴E(0,?2)，

则点E(0,?2)与B(0,2)关于x轴对称

∴BC?EC，连结PE，则PE?PB， ∴AC?BC?AC?EC?AE，

∵在?APE中，有PA?PE?AE

∴PA?PB?PA?PE?AE?AC?BC?????????????1分 综上所得AP?BP?AC?BC??????????????????1分 9、如图，已知四边形ABCD是矩形，且MO=MD=4,MC=3. (1)求直线BM的解析式;

(2)求过A、M、B三点的抛物线的解析式;

(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PMB构成以BM为直角边的直角三角形?若没有,请说明理由;若有,则求出一个符合条件的P点的坐标.

y D M C A O B x 8

10、已知如图3，在Rt△OAB中，∠OAB＝90，∠BOA＝30，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一

象限内的点C处。 （1）求点C的坐标；

（2）若抛物线y?ax2?bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案:

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H

00

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90，∠BOA＝30，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝23

0

由折叠知，∠COB＝30，OC＝OA＝23

00

0

∴∠COH＝60，OH＝3，CH＝3

图3

∴C点坐标为（3，3）

（2）∵抛物线y?ax2?bx（a≠0）经过C（3，3）、A（23，0）两点

?3?32a?3b?a??1? ∴? 解得：?

2?b?23??0?23a?23b???? ∴此抛物线的解析式为：y??x2?23x

（3）存在。因为y??x2?23x的顶点坐标为（3，3）即为点C

MP⊥x轴，设垂足为N，PN＝t，因为∠BOA＝300，所以ON＝3t ∴P（3t，t） 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E

把x?3?t代入y??x2?23x得：y??3t2?6t

22 ∴ M（3t，?3t?6t），E（3，?3t?6t）

同理：Q（3，t），D（3，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD

2 即3???3t?6t??t?1，解得：t1?43，t2?1（舍）

∴ P点坐标为（

433，

43）

433，

43 ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（

9

）

11、在足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用“吊射”的战术（把球高高地挑过守门员的

头顶，射入球门）．一位球员在离对方球门30米的M处起脚吊射，假如球飞行的路线是

一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度

323米。如图a：以球门底部为坐标

原点建立坐标系，球门PQ的高度为2.44米．问：

（1） 通过计算说明，球是否会进球门？

（2） 如果守门员站在距离球门2米远处，而守门员跳起后最多能摸到2.75米高处，他能否在空中截住

这次吊射？ （3） 如图b：在另一次地面进攻中，假如守门员站在离球门中央2米远的A点处防守，进攻队员在离球

门中央12米的B处以120千米/小时的球速起脚射门，射向球门的立柱C．球门的宽度CD为7.2

米，而守门员防守的最远水平距离S和时间t之间的函数关系式为S＝10 t ，问这次射门守门员能否挡住球？

答案：（1）解：设足球经过的路线所代表的函数解析式为y?a?x?14??2323，??（2分）

把（30，0）代入得：a??124，故y??124?x?14?2?323。??（2分）

当x?0时，y?2.5?2.44 所以球不会进球门。??（1分） （2）当x?2时，y?143?2.75??（2分）

所以守门员不能在空中截住这次吊射。??（1分） （3）连结BA并延长，交CD于点M，由题意M为CD中点，过A作

EF//CD。 由?BEA∽?BCM可得AE＝3??（1分） ∴BE＝109，t?3109100，S?310910?3??（2分）

答：这次射门守门员能挡住球。??（1分）

13

12、如图4，抛物线y=－ x2＋ x＋2 交x轴于A、B两点，交y轴于点C．

22

C A 图4 O B （1）求证：△ABC为直角三角形；

（2）在y轴上找点P，连结PB，若△PBC为等腰三角

形，求：点P的坐标； （3）在抛物线BC上取点E，连结CE和BE，△BCE

的面积是否存在最大值？若存在，求出点E的坐标及△BCE的最大面积．

10

答案：（1）可得A（－1,0）,B（4,0）,C（0,2）由AC+BC=AB可由△AOC∽△COB得出结果.

(2 ) 存在四个点 （0，-2）；（0，-3）；

1x轴于点D,交BC于点F.由△BDF∽△BOC得 DF=2－ m

2

222

得△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形．也

EF=DE－DF=－ m 2＋2m ， S△BCE=S△CEF+S△BEF

1112

= EF2OD+ EF2BD＝ EF2OＢ=－（m－2）+4 ∴最大面积为４．此时E（2, 3） 222

13、我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个

交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图5，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看； (3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式. y

答案:

解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)； 则设抛物线的解析式为y?a(x?1)(x?3)(a≠0) 又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3， 解之得：a=1

∴y=x-2x-33分

自变量范围：-1≤x≤3

解法2：设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a≠0) 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 D ?a?b?c?0? ∴?9a?3b?c?0?c??3?2

2

12

C A O M B x ?a?1?，解之得：?b??2?c??3?

图5 ∴y=x-2x-3 2222222222222222222222222222 3分

自变量范围：-1≤x≤3 22222222222222222222222222222 4分

解法2：（1）解方程x2?2x?3?0

得x1??3，x2?1 222222222222222222222222222222 1分 ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C(?3，0)，B(1，0) 22222222222222 2分 设抛物线的解析式为

222222222222222222222222222222 3分 y?a(x?3)(x?1)

∵A(3，6)在抛物线上 ∴6?a(3?3)·(3?1) ∴a?∴抛物线解析式为：y?12 22222222222222222222222 4分

321212x?x?22 222222222222222222222 5分

分

（2）由y?

12x?x?232?222222222222222222222 6(x?1)?2

11

的坐标为：(?1，?2)，对称轴方程为：x??1 2222222222 7分

设直线AC的方程为：y?kx?b ∵A(3，6)，C(?3，0)在该直线上

?3k?b?6?b?3解得?∴直线AC的方程为：y?x?3 222222222222 9分 ∴??3k?b?0k?1??∴抛物线顶点P将x??1代入y?x?3得y?2

10分 2) 2222222222222222222222222222 ∴Q点坐标为(?1，（3）作A关于x轴的对称点A?(3，?6)，连接A?Q；A?Q与x轴交于点M即为所求的点 2222222222222222222222222222222222222 11分

设直线A?Q方程为y?kx?b

?3k?b??6?b?0解得? ∴??k?b?2k??2??：y??2x2222222222222222222222222222 12分 令x?0，则y?0 22222222222222222222222222222 13分

14分 ∴M点坐标为(0，0)22222222222222222222222222222

14、 两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．

∴直线A?C

（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式； （2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x?2秒时， Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y?14x?bx?c过点A，G，求抛物线的解析式；

2（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案:解：如图7（1）由题意知重叠部分是等腰直角三角形，作GH?OE．

?OE?2x，GH?x， ?y?12OE?GH?12?2x?x?x（0≤x≤3）

2（2）A(6，6)）

12

图7

当x?2时，OE?2?2?4．

?OH?2，GH?2，?G(2，2)．

1?6??36?6b?c，??b??1，?4 ?? ??c?3??2?1?4?2b?c??4?y?14x?x?3．

2（3）设P(m，n)．

当点P到y轴的距离为2时，有|m|?2，?m??2． 当m?2时，得n?2， 当m??2时，得n?6．

当点P到x轴的距离为2时，有|n|?2．

?y??1414x?x?3

22(x?2)?2?0

?n?2．

当n?2时，得m?2．

2)，P(?2，6)． 综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1(2，15、如图，抛物线y=-x2+mx过点A(4，0)，O为坐标原点，Q是抛物线的顶点。

（1）求m的值和顶点Q的坐标；

（2）设点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥x轴，H为垂足，求折线 P-H-O长度的最大值．

答案：解: (1) m=4 ，

P坐标为( , 25154)

y Q P (2) 设点P(x，-x+4x)， 则折线P-H-O的长度：

5?25?22 l??x?4x?x??x?5x???x???2?4?22

O H A x ∴折线P-H-O的长度的最大值为

254，

13

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