中北大学研究生数值分析试题（2009年8月）参考答案与评分标准

2008/2009 学年第 2 学期末考试试题（A卷）

数值分析参考答案

使用班级： 高教硕士、工程硕士

一、填空题（每空3分，共30分）

1、 由于计算机的字长限制，计算机在存取原始数据以及每一次计算都会对数据进行四舍

五入，由此产生的误差称为舍入误差；而数值计算方法得到的近似解与数学模型的准确解之间的误差称为截断 误差（或方法误差）；

2、 设a*??0.01320是准确值a经四舍五入得到的近似值，那么它的一个绝对误差限

??a*??0.000005，相对误差?r?a*??0.038%； 祖冲之的密率?*?355作为圆周率113??3.1415926535897...的近似值具有 7 位有效数字；

3、 方程x?cosx的根x?0.73909（精确到小数点后5位）；

4、 设f(?1)?0.5,f(0)?1,f(1)?2，则一阶差商f[?1,0]?0.5，二阶差商

*f[?1,0,1]?0.25，函数f(x)的二次Newton插值多项式p2(x)?5、求积公式

123x?x?1； 44?1-1f(x)dx?141f??1??f?0??f?1?具有 3 次代数精度。 3334x1?2x2?x3?5x2???8x1?7x2?2x3?10x2?4x?8x?3x?6x1232???12x1?6x2?11x3?20x2??2??7 ??7??3二、利用Doolittle分解求解以下方程组（本题10分）

解：采用紧凑格式的LU分解，其过程为

由方程组的增广矩阵

?4?8?A|b????4??122786T12311510620?4?2??2???7?LU分解?????1??7???3?3??1?2320?1102415011?1?2???3?1???1???

所以，x??1?11?1?。

注：若不按以上紧凑格式方法做的其它做法，只要正确也给分。其中

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?1?2L???1??3000??42??100?03,U???00210???041??0015???2????00??3,y???,Ly?b,Ux?y

?1?21????01???1?三、（本题10分）写出求解线性方程组

?5x1＋2x2?x3??12??-x1?4x2?2x3?10 ?2x?5x?10x?123?1的Jacobi迭代算法及其对应的迭代矩阵，并说明用Jacobi迭代法求解此方程组是收敛的。

解：Jacobi迭代法求解本方程迭代公式为

(k)(k)?x1(k?1)??0.4x2?0.2x3?2.4?(k?1)(k)(k)?x2?0.25x1?0.5x3?2.5k?0,1,2,? ?x(k?1)??0.2x(k)?0.5x(k)?0.112?3其中x(0)?x1(0)??(0)???x2?可以任意选取。 ?x(0)??3??521???2?是主对角线按行严格占优矩阵，所以用由于方程组的系数矩阵A???14?2?510???Jacobi迭代法求解该方程组必收敛。

四、（本题20分）

3*1、 证明非线性方程x?x?1?0有且仅有一个实根x，并且x??1,2?；

*2、 用Newton迭代法求解x，当

3*xk?xk?1xk?10?6时结束迭代。

2解：1 （证明）令f(x)?x?x?1，则f?(x)?3x?1的零点为x??在???,?1，并且f(x) 3??1?1?11??,内单调递增，在内单调递减，所以是f(x)在x?????3?333??21??1??f????1?0??,，所以在f(x)???内

3?333???1????,??内的最大值点，由于

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无实根；又由于f(x)在??1?,???内单调递增，且f?1???1?0，f(2)?5，所以?3??1?从而在整个实数范围内也有且仅有一个实根f(x)在?,???内有且仅有一个实根，

?3?*（设为x）。并且有x??1,2?。

*2

用Newton迭代法求解x的迭代公式为

33xk?xk?12xk?1xk?1?xk??,k?0,1,? 223xk?13xk?1*由可以写出一个求解原方程组的简单迭代公式

xk?1?0.2?0.1exk,k?0,1,2,?

取x0?2进行计算（表1）

k 0 1 2 3 4 5 xk 2.0000000 1.5454545 1.3596149 1.3258013 1.3247190 1.3247180 ek?|xk?xk?1| |xk| 0.2941176 0.1366855 0.0255043 0.0008170 0.0000008 *注：初始值的不同，计算步骤将不一样，但最终结果与准确值x?1.3247179572458...之间的相对误差不超过10或经四舍五入保留到小数点后7位数字后为1.3247180即可。 五、（本题15分）欲求一个形如s?ct的经验公式，使它与实验数据

4.22 4.02 3.85 3.59 相拟合，试用最小二乘法确定参数c和?。

??6t s 1 2 4 8 16 3.44 32 3.02 64 2.59 解：令x?log2t,y?log2s，则可将经验公式s?ct?化为y?c0?c1x，其中

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c0?log2c,c1??。由原始数据表，可得(x,y)的观测数据如下 x?log2t 0 1 2 3 4 5 6 y?log2s 2.0772430 2.0071955 1.9448584 1.8439838 1.7824086 1.5945485 1.3729521 ?1??1?1?令A??1?1??1?1?即

0??y0????1??y1??y2?2??c0????3?,c???,y??y3?，则c的最小二乘解为正规方程组ATAc?ATy的解。

?c1??y4??4???5??y5??y?6???6??721??c0??12.6231900????c???? ?2191??1??34.7689535?解之得

?c0??2.1355218?????? c-0.1107363??1???c??2c0??4.3939601?????????。 ??0.1107363c???1????0.1107363所以

即最终拟合的经验公式为s?4.3939601t六、（本题15分）写出用Romberg方法计算

?baf(x)dx的过程，并说明计算到R2时计算函数值

f(x)的次数。

解：Romberg方法计算

?baf(x)dx的过程如下

T1?b?a[f(a)?f(b)]， 2b?a,f(a?(2i?1)hm),i?1,2,?,2m?1 m2m?1对于m?1,2,?计算

(1) hm?21(2) T2m?T2m?1?hm?f?a?(2i?1)hm?2i?1

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m 0 1 2 3 4 … T2m 序号 T2m (1) (2) (4) (7) S2m?1?序号 (3) (5) (8) (12) … 4T2m?T2m?13 C2m?2?16S2m?1?S2m?215 R2m?3?64C2m?2?C2m?363 S2m?1 序号 (6) (9) (13) … C2m?2 序号 (10) (14) … R2m?3 T1 T2 S1 S2 S4 S8 … T4 T8 … C1 C2 C4 … R1 R2 … (11) T16 … 计算到R2需要计算17次函数值f(x)。

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