概率论五六章习题详解（王志刚版）

概率论与数理统计 习题五

1 .已知E(X)?1，D(X)?4，利用切比雪夫不等式估计概率

P?X?1?2.5?.

解： 据切比雪夫不等式

?2P?X??????1?2

?4P?X?1?2.5??1?2

2.59? . 252．设随机变量X的数学期望E(X)??，方程D(X)??，利用切比雪夫不等式估计P?|X??|?3??.

解：令??3?，则由切比雪夫不等式

2P?|X??|?3???D(X) ， 有 ?2?21P?|X??|?3????. 2(3?)93. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率.

解： 设X为6颗骰子所出现的点数之和；

Xi为第i颗骰子出现的点数，i?1,2,,6，

则X??X，且X,X,...,Xii?16126独立同分布，

分布律为：

1

?12?11???6666??1?，于是 ?6?17E(Xi)??k??

62k?1191E(X)??k??

66k?12i26所以D(Xi)?E(Xi)?E(Xi)

229149?? 6435? ，i?1,2,,6 127因此 E(X)??E(Xi)?6??21

2i?1D(X)??D(Xi)?6?i?16635 1235? 2故由切比雪夫不等式得：

P?|5?X?27??P?14?X?28?

?P??7?X?21?7? ?P?|X?E(X)|?7?

?1?P?|X?E(X)|?7?

D(X)?1?2

713559?1???1??.

4921414

2

9即6颗骰子出现点数之和在1527之间的概率大于等于 .

144. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.

解： 以Xi表示第i次炮击击中的颗数(i?1,2,,1000)

有E(Xi)?0.4 ，D(Xi)?3.6

据 定理：

1000??则P?380??Xi?420?

i?1??420?400380?400??()??()

3600360011??()??(?)

331?2?()?1

3?2?0.6293?1 ?0.2586 .

5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g. 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.

解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i?1,2,,100， 且它们之间独立同分布，

3

于是一盒螺丝钉的重量X??X，

ii?1100且由E(Xi)?100，D(Xi)?10知

E(X)?100?E(Xi)?10000，D(X)?100，

由中心极限定理有：

?X?1000010200?10000?P(X?10200)?P???

100?10??X?10000??P??2? ?100??X?10000??1?P??2?

?100??1??(2)

?1?0.97725?0.02275 .

6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布. （1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.

解： 设Xi为第i个加数的取整舍入误差， 则?Xi?为相互独立的随机变量序列， 且均服从??0.5,0.5?上的均匀分布，则

E(Xi)????xdx?0

?0.50.5 4

1D(Xi)????xdx?

?0.51220.52（1） 因n?1200很大，

1200由独立同分布中心极限定理对该误差总和

?Xi?1i，

?1200?P??Xi?15? ?i?1??1200???Xi?15??i?1?P???

1200??1200?12??12????121200??2P?Xi?1.5? ??1200i?1????2(1??(1.5)) ?0.1336 .

即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .

(2) 依题意，设最多可有n个数相加，则应求出最大的n，

?n?使得P??Xk?10??0.9

?k?1?由中心极限定理：

?n???nP??Xi?10??P??Xi?i?1???i?1n?1012n??? 12???2?(10

n)?1?0.9 . 125

即?(10n)?0.95 12n?1.64 12查正态分布得10102)?446.16 即n?12(1.64取n?446，最多可有446个数相加 .

7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.

解 以X表示1年死亡的人数 依题意，XB(3000,0.001)

注意到

P?保险公司亏本??P?2000X?30000?

其概率为

?P?X?15?15?3000?0.001P?X?15??1??()

3000?0.001?0.999?1??(6.932) ?0 .

即保险公司亏本的概率几乎为0 .

8. 假设X1,X2,...,Xn是独立同分布的随机变量，已知

6

E(Xik)??k (k?1,2,3,4;i?1,2,,n).

1n2证明：当n充分大时，随机变量Zn??Xi近似服从正态分布.

ni?1证明：由于X1,X2,...,Xn独立同分布，则X1,X2,...,Xn也独立同分布

kE(X由i)??k (k?1,2,3,4;222i?1,2,,n)

4i22i有E(X)??2，D(X)?E(X???E(X??

2i2i ??4??2

21nE(Zn)???E(Xi2)??2

ni?11nD(Zn)?2??D(Xi2)?(?4??22)n

ni?1因此，根据中心极限定理：

Un?Zn??2(?4??22)nN(0,1)

2即当n充分大时，Zn近似服从N(?2,(?4??2)n) .

9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.

（1）写出X的概率分布；

（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.

求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.

解 （1）XB(100,0.2)，

kk100?kPX?k?C0.20.8??所以100k?0,1,2,,100

7

E(X)?np?20 ，D(X)?np?(1?p)?16

（2）P?|4?X?30?

?14?20X?2030?20??P????

1616??16??(2.5)??(?1.5) ??(2.5)??(?1.5)?1

?0.994?0.933?1?0.927 .

10 . 某厂生产的产品次品率为p?0.1，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？

解：设每盒中装n只产品，合格品数 X~B(n,0.9)，

E(X)?0.9n，D(X)?0.09n

则P?X?100??1?P?X?100?

100?0.9n?1??()?0.95

0.3n100?0.9n??1.65 所以0.3n解得n?117，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。

11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用 中心极限定理：

（1）计算同时用电户数在9030户以上的概率？

（2）若每户用电200瓦，问：电站至少应具有多大发电量，才能以0.95

8

的概率保证供电？

解 以X表示用电高峰时同时用电的户数 （1）依题意，XB(10000,0.9)，又E(X)?9000，D(X)?900，

于是据 定理：

P?(X)?9030??P??10000?90009030?9000??900?900??

??(1003)??(1)

?1?0.8413 ?0.1587

（2） 设电站至少具有x瓦发电量，才能0.95的概率保证供电，则因为要：

P?200X?x??P??x??X?200??

??x?9000??P?X?9000?200??3030?

?????(x?18000006000)?0.95

查表得：

x?18000006000?1.65 得x?1809900

即电站具有1809900瓦发电量，才能以0.95的概率保证供电 . （B）

9

1、设随机变量X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn,相互独

1n2立，且都与X的分布相同，求当n??时，Yn??Xi依概率收敛的极

ni?1限 .（答案：）

2、设X1,X2,Xn,相互独立，且分布相同，E(Xik)??k(k?1,2,3,4)1n2存在，则根据独立同分布的中心极限定理，当n充分大时，Zn??Xini?112近似服从正态分布，求分布参数. （答案：?2,

2?4??2n）

3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量，其平均值为50kg，标准差为5kg. 若用最大载重量为5吨的卡车承运，利用中心极限定理说明，每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977(?(2)?0.977)？（答案：98） 习题六 1.设X1,X2,,X8是来自(0,?) 上均匀分布的样本，??0末知，求样

本的联合密度函数 解:

?1?80?x1,x2,,x8??f(x1,x2,,x8)???

?其他?02. 设总体X服从参数为?的泊松分布，其概率分布律为：

10

?i??P(X?i)?ei!(i?0,1,)

求：样本X1,X2,...,Xn的联合分布律为： 解：

P?X1?i1,X2?i2,...,Xn?in? ??P?X?ik?

k?1n??k?1n?ike?n?i?0,1,2,, kn?(ik)!k?1i?1,2,,n .

3．若总体X2N(?,?2)，其中?已知，但?末知，而X1,X2,,Xn为

它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量.

n1n1n122X(X??)(X?X)?i（1）?i ；（2）?i ；（3） ； ni?1ni?1n?1i?1X?3X??n ；n ； （6）（4）（5）??X?5n 12(Xi?X)?n(n?1)i?1解： （1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数?，所以不是统计量 .

4. 总体X的一组容量为10的样本观测值为：

0,0.2?,0?.25,F10(x). 0.?3,，求经验分布函数?0解 :将样本观测值重新排序为：

?1??0.7??0.3??0.1?0?0.15?0.2?0.25?1?2，所以

11

经验分布函数为：

??0x??1?0.2?1?x??0.7F(x)????0.4?0.7?x??0.310?

??0.81?x?2??1x?25. 来自总体X的一组样本观测值为：

x i 102 104 106 ni 2 3 5 求样本均值X，样本方差S2和样本标准差S.

解：x?104.6，s2?2.71，s?1.646 .

6. 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值在50.8到53.8之间的概率.

解： 由XN(52,6.3236)知

X?526.36?X?522.12N(0,1) 故所求概率为

P?50.8?X?53.8??P??50.8?52X?5253.8?52?2.12???2.122.12??

?P???1.14?X?52??2.12?1.71??

??(1.71)??(?1.14) ??(1.71)?1??(1.14)

12

X

?0.9564?1?0.8729 ?0.8293 .

7. 设随机变量X与Y相互独立，且XN(?,?2),Y?2?2(n)，证明

X??t?t(n) .

Yn证明：由于XN(?,?2)，则

N(0,1),

X??

?X??X??t?? 据t分布的定义，Yn?Yt(n)n.

?22EX??XDX??8. 若对总体有，，取X的容量为n的样本，样本

均值为X，问n多大时，有

P(X???0.1?)?0.95

解： 由XX???2N(0,1)知 N(?,)，n?nX???0.1n)

P(X???0.1?)?P(?n?2?(0.1n)?1?0.95

即?(0.1n)?0.975

查表得0.1n?1.96，即n?385 . 9. 设总体X

N(150,400)，YN(125,625)，并且X，Y相互独立，

13

现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X，Y，求

PX?Y?0 .

?(X?Y)?2525???? 解： PX?Y?0?P?205205????????(?1.75) ?0.0401 .

10. 设总体X，Y都服从正态分布N(?,?)，并且X，Y相互独立，

2X，Y分别是总体X和Y的容量为n的样本均值，确定n的值，使PX?Y?0?0.01 .

解 由于

??X?Y2?2n于是，

?n(X?Y)N(0,1) 2??n??n?PX?Y???P?X?Y??

2???2?????n??2?1???

2???0.01.

nn?2.58，n?13.3128，取n?14 . 即?()?0.995，查表得2211. 设总体X

N(0,1)X1,X2,,X6为X的一个样本，设，

14

Y?(X1?X2?X3)2?(X4?X5?X6)2，求常数C，使(Y?2)分布.

解 由于X1,X2,,X6独立同分布

所以

X1?X2?X3N(0,3),X4?X5?X6N(0,3)

X1?X2?X3N(0,1),X4?X5?X633N(0,1)

于是(XX221?2?X3)?(X4?X5?X6)=

3??X1?X2?X32X4?X5??(3)?(X62?3)??

?Y21?Y22

其中Y2212Y223?(1),3?(1) 所以13(Y21?Y22)?13??(X1?X2?X3)2?(X4?X25?X6)?? 123Y?(2)

即C?13 .

12. 设X1,X2,,X10为来自总体N(0,0.09)的样本，P?10???X2?i?1.44?i?1? . 解 设总体为X，则由XN(0,0.09)可知

X0.3N(0,1)，Xi0.3N(0,1)，i?1,2,,10, 由定理 可知

15

求

1102??2?Xi?2(10),

0.3i?12利用?分布表，可得

2?102?P??Xi?1.44? ?i?1??11021.44??P?2?Xi?2?

0.3??0.3i?1?P??2?16? ?0.10 .

13. 设X1,X2,,X5是总体X25N(0,1)的一个样本，若统计量

U?c(X1?X2)X?X?X2324t(n)，试确定c与n .

解 由于Xi独立同分布(i?1,2,3,4,5),所以

X1?X22N(0,1),X32?X42?X52?2(3),且两者相互独立,由t分布

定义知U?X1?X22(X32?X42?X52)3t(3)

3故c? , n?3 .

214. 设总体X2(X?X)122Y?N(0,?) ，X1,X2 是样本，求

(X1?X2)2的分布.

(X1?X2)2U2X1?X2X1?X2,V??2， 解 记U?，则有Y?2(X1?X2)V2?2? 16

22X?XN(0,2?),X?XN(0,2?) 由于12122222UN(0,1),VN(0,1),U?(1),V?(1) . 则

下面证明U和V相互独立.

因为U，V都服从标准正态分布N(0,1)，因此只要证明U，V互不相关，即cov(U,V)?0即可.由于E(U)?0,E(V)?0，因此，

cov(U,V)?E(UV)?E(U)E(V)?E(UV)

1?2E?(X1?X2)(X1?X2)? 2?1?2E(X12?X22) 2??122??E(X)?E(X12)??0. 2?2?U2这样Y?2V15. 设总体XF(1,1).

N(?1,?2),YN(?2,?22),从二总体中分别抽取样本,

得到下列数据:

2n1?8 , x?10.5,s12?42.25 ； n2?10 , y?13.4,s2?56.25，

?22求概率P(2?4.40) .

?1S12S22解 由于F?22?1?2F0.05(7,9)?3.29

故P(F?3.305)?0.05 .

F(7,9)

17

?22S12?1242.25?4.40) 从而P(2?4.40)?P(2?2??1S2?256.25?P(F?3.305) ?1?P(F?3.305) ?1?0.05 ?0.95 .

B

1. 设有N个产品，其中有M个次品，进行放回抽样，定义Xi如下：

?1,第i次取得次品,Xi??

0,第i次取得正品.?求样本X1,X2,...,Xn的联合分布.

解: 因为是放回抽样，所以X1,X2,...,Xn独立同分布，

P?Xi?1??MM,P?Xi?0??1?.则X1,X2,...,Xn的联合分布为 NNnnxin??xiP?Xi?x1,,Xn?xn??(MN)?(1?MN)i?1i?1.

2．设总体Xn?2N(?,)，X1,X2,...,Xn是样本，证明：

nE([?(Xi?X)2]2)?(n2?1)?4.

i?1n(n?1)S2222(n?1)S?(X?X)?(n?1)?i证: 由和

?2i?1得

18

?2?22(X?X)?ii?1n?2?2(n?1) .

22使用?分布期望和方差的公式，E(?)?n?1,D(?)?2(n?1)，于是，

2??n?2????(Xi?X)??n??E([?(Xi?X)2]2)??4E??i?12????? i?1??????????22??4E?(??)??

??(D(?)???E(?)??)

224???4?2(n?1)?(n?1)?(n?1)? . ??42223.设X1,X2,...,X9是来自正态总体的简单随机样本，

Y1?(X1?X2??X6)6,Y2?(X7?X8?X9)3,

19S??(Xi?Y2)2,Z2?2(Y1?Y2)S .

2i?72证明统计量Z服从自由度为2的t分布.

22??2证: 因为D(X)??为末知，而E(Y1)?E(Y2)，D(Y1)?，D(Y2)?.

63?2?2?2??.故 由Y1与Y2的独立性，E(Y1?Y2)?0，D(Y1?Y2)?632U?Y1?Y(?2)N(0,1).

由正态总体样本方差的性质知，2S2?2?2(n).

又由Y1与Y2独立知，Y1与S独立，Y2与S独立，于是Y1?Y2也与S独立.从而，由t分布随机变量的构造知

19

222

Z?2(Y1?Y2)S?U

?22t(2).

20

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