电磁感应中的双杆双动导轨滑轨能量动量问题大综合

问题3：电磁感应中的“双杆问题”

电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，涉及到电磁感应、安培力、牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。要求学生综合上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，因此是较难的一类问题，也是近几年高考考察的热点。 下面对“双杆”类问题进行分类例析 1.“双杆”向相反方向做匀速运动

当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

[例5] 两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示，不计导轨上的摩擦。 （1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小。

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。

解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E1=E2=Bdv

由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：

因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。

由以上各式并代入数据得N

（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，代入数据得 Q=1.28×

10-2J。

2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速

当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

[例6] 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动中始终不接触，求： （1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？

解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动。

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有 根据能量守恒，整个过程中产生

的总热量

（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：

，

此时棒所受的安培力： ，所以棒的加速度为

由以上各式，可得 。

3. “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。

[例7]（2003年全国理综卷）如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势 ，回路中的电流 ，杆甲的运动方程

时为0）等

。由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量

于外力F的冲量 。联立以上各式解得 ，

代入数据得

点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设甲、乙速度分别为v1和v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为 E1＝Blv1 ，E2＝Blv2 由右手定则知两电动

势方向相反，故总电动势为E＝E2―E1＝Bl（v2－v1）。 分析甲、乙两杆的运动，还可以求出甲、乙两杆的最大速度差

：开始时，金属杆甲在恒力F作用下做加速运

动，回路中产生感应电流，金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动，但此时甲的加速度肯定大于乙的加速度，因此甲、乙的速度差将增大。根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时甲、乙两杆所受安培力增大，导致乙的加速度增大，甲的加速度减小。但只要a甲>a乙，甲、乙的速度差就会继续增大，所以当甲、乙两杆的加速度相等时，速度差最大。此后，甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。

设金属杆甲、乙的共同加速度为a，回路中感应电流最大值Im。对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有：F=2ma；BLIm=ma。

由闭合电路欧姆定律有E=2ImR，而 由以上各式可解得

4.“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。

[例8]（2004年全国理综卷）图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1 y1与x2 y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。

解析：设杆向上的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电

磁感应定律，回路中的感应电动势的大小 ① 回路中的电流 ② ③

电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为方向向上，作用于杆x2y2的安培力为

④

⑤

方向向下，当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有

解以上各式得

作用于两杆的重力的功率的大小

⑥ ⑦

⑧电阻上的热功率

⑨

由⑥⑦⑧⑨式，可得

⑩

问题4：电磁感应中的一个重要推论——安培力的冲量公式

感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BLI。

在时间△t内安培力的冲量，式中q是通过导体

截面的电量。利用该公式解答问题十分简便，下面举例说明这一点。

[例9] 如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L的区域内，有一个边长为a（a

A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（v0+v）/2 B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（v0+v）/2 C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（v0+v）/2

D. 以上情况A、B均有可能，而C是不可能的

解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为vx。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场

的过程，据动量定理可得：

对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：

由上述二式可得，即B选项正确。

[例10] 光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：BLv=UC=q/C 而对导体棒ab利用动量定理可得：－BLq=mv－mv0

由上述二式可求得：

问题5：电磁感应中电流方向问题

[例11]（06广东物理卷） 如图所示，用一根长为L质量不计的细杆与一个上弧长为

，下弧长为的金属线框

的中点联结并悬挂于O点，悬点正下方存在一个上弧长为且

<<

、下弧长为的方向垂直纸面向里的匀强磁场，

先将线框拉开到如图所示位置，松手后让线框进入磁场，忽略空气阻力和摩擦。下列说法正确的是（ ）

A. 金属线框进入磁场时感应电流的方向为：a→b→c→d→a

B. 金属线框离开磁场时感应电流的方向为：a→d→c→b→a

C. 金属线框dc边进入磁场与ab边离开磁场的速度大小总是相等 D. 金属线框最终将在磁场内做简谐运动

分析：金属线框进入磁场时，由于电磁感应，产生电流，根据楞次定律判断电流的方向为：a→d→c→b→a。金属线框离开磁场时由于电磁感应，产生电流，根据楞次定律判断电流的方向为 a→b→c→d→a 。根据能量转化和守恒，可知，金属线框dc边进入磁场与ab边离开磁场的速度大小不相等。如此往复摆动，最终金属线框在匀强磁场内摆动，由于

<<

，单摆做简谐运动的条件是摆角小于等于10度，故最终在磁场内做简谐运动。答案为D。

小结：本题考查了感应电动势的产生条件，感应电流方向的判定，物体做简谐运动的条件，这些是高中学生必须

掌握的基础知识。感应电动势产生的条件只要穿过回路的磁通量发生变化，回路中就产生感应电动势，若电路闭合则有感应电流产生。因此弄清引起磁通量的变化因素是关键，感应电流的方向判定可用楞次定律与右手定则，在应用楞次定律时要把握好步骤：先明确回路中原磁场的方向及磁通量的变化情况，再依楞次定律确定感应电流的磁场方向，然后根据安培定则确定感应电流的方向。线圈在运动过程中的能量分析及线框最终的运动状态的确定为此题增大了难度。

练习：[06四川卷] 如图所示，接有灯泡L的平行金属导轨水平放置在匀强磁场中，一导体杆与两导轨良好接触并做往复运动，其运动情况与弹簧振子做简谐运动的情况相同。图中O位置对应于弹簧振子的平衡位置，P、Q两位置对应于弹簧振子的最大位移处。若两导轨的电阻不计，则（ ） A. 杆由O到P的过程中，电路中电流变大 B. 杆由P到Q的过程中，电路中电流一直变大 C. 杆通过O处时，电路中电流方向将发生改变 D. 杆通过O处时，电路中电流最大

解答：D

问题6：电磁感应中的多级感应问题

[例12] 如图所示，ab、cd金属棒均处于匀强磁场中，cd 原静止，当ab向右运动时，cd如何运动（导体电阻不计）（ ）

A. 若ab向右匀速运动，cd静止； B. 若ab向右匀加速运动，cd向右运动；

C. 若ab向右匀减速运动，cd向左运动

分析：这是多级电磁感应问题，ab相当于一个电源，右线圈相当于负载；左线圈相当于电源，cd相当于负载。ab运动为因，切割磁感线产生感应电流为果，电流流过右线圈为因，右线圈中形成磁场为果，右线圈磁场的磁感线通过左线圈，磁场变化时为因，左线圈中产生感应电流为果，感应电流流过cd为因，cd在左磁场中受安培力作用而运动为果。故A、B、C均正确。

小结：分析电磁感应现象中的多级感应问题，要正确处理好因果关系，步步为营，紧扣闭合回路及回路中的磁通量的变化这一关键，对于线圈问题还应注意线圈的绕向。 练习：在匀强磁场中放一电阻不计的平行金属导轨，导轨跟大线圈磁力线垂直于导轨所在平面。欲使

所包围的小闭合线圈

相接，如图所示。导轨上放一根导线ab，

产生顺时针方向的感应电流，则导线的运动可能是

（ ）

A. 向右运动 B. 加速向右运动 C. 减速向右运动 D. 加速向左运动

分析：此题可用逆向思维的方法分析。欲使N产生顺时针方向的感应电流，感应电流在面向里，由楞次定律可知，有两种情况：一是里，且磁通量在减小；二是

中有顺时针方向的逐渐减小的电流，其在

中的磁场方向垂直纸中的磁场方向亦向

中有逆时针方向的逐渐增大的电流，其在中的磁场方向为向外，且磁通量在增

大，对于前者，应使ab减速向右运动；对于后者，应使ab加速向左运动，故CD正确。

问题7：电磁感应中的动力学问题

[例13]（2005年上海）如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距1m，导轨平面与水平面成θ=370角，下端连接阻值为R的电阻。匀强磁场的方向与导轨平面垂直。质量为0.2kg、电阻不计的导体棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并且接触良好，它们间的动摩擦因数为0.25。 （1）金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小。

（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小。 （3）在上问中，若R=2Ω，金属棒中电流方向由a到b，求磁感应强度的大小与方向。（g=10m/s2，sin370=0.6，cos370=0.8）

分析：

（1）金属棒开始下滑时初速度为零，根据牛顿第二定律有：代入数据得：

（2）设金属棒达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡，则此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率

V=

（3）设电路中电流强度为I，两导轨间金属棒的长度为L，磁场的感应强度为B，则I=，P=I2R，由以上两

式得 B=

磁场的方向垂直导轨平面向上。

小结：此题为电磁感应知识与力学、电路知识的综合问题，此类题目常以导轨运动为背景，解决此类题的关键是对金属导体作出正确的受力分析，并通过运动状态的动态分析来寻找过程的临界状态，得出速度、加速度的极值条件，找到解题的突破口，然后综合运用力学及电学规律分析和解决实际问题。 练习：（06重庆卷）两根相距为L的足够长的金属直角导轨如题下图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速率向下V2匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）

A. ab杆所受拉力F的大小为μmg＋B. cd杆所受摩擦力为零

C. 回路中的电流强度为答案：AD

问题8：电磁感应中的电路问题 [例14] 如图所示，在磁感强度为

D. μ与V1大小的关系为μ＝

的匀强磁场中有一半径为的

金属圆环。已知构成圆环的电线电阻为环上滑动的金属棒

电阻为

，电阻

，以O为轴可以在圆

。如果

棒

以某一角速度匀速转动时，电阻的电功率最小值为，那么

棒匀速转动的角速度应该多大？（其它电阻不计） 分析：

棒的感应电动势e=BL2w/2，等效电路如图所示，当棒端处于圆环最上端时，即时，

圆环的等效电阻最大，其值干路中的最小电流

电阻R1的最小功率P0=

小结：电磁感应现象常与恒定电路相结合构建综合题，分析此类问题时一般遵循“三步曲”即：用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向，找准等效电源；正确画好等效电路，区分内、外电路，路端电压与电动势；灵活运用闭合电路欧姆定律，串、并联电路的性质及电功、电功率、电热等计算公式求解相关物理量。

电磁感应中的双动式导轨问题

一、等间距水平导轨，无水平外力作用（安培力除外，下同）

例1 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为。导轨上面横放着两根导体棒

和

，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量皆为

，电阻皆为

，回路中其余部分的电阻可

不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为开始时，棒

静止，棒

有指向棒

的初速度

。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，

。若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？

（2）当解析

棒的速度变为初速度的棒向

时，棒的加速度是多少？

棒受到

棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量变小，于是产生感应电流。

棒则在安培力的作用下向右做加速运动。只要

与其运动方向相反的安培力而做减速运动，于

棒的速度，回路总有感应电流，

棒的速度大

棒继续减速，棒继续加速，直到两棒速度相同后，回路面积保

持不变，不产生感应电流，两棒以相同的速度做匀速运动。 （1）从开始到两棒达到相同速度的过程中，两棒的总动量守恒，有

，根据能量守恒定律，整

个过程中产生的焦耳热 。

（2）设

棒的速度变为时，棒的速度为，则由动量守恒可知得，

此时棒所受的安培力。

由牛顿第二定律可得：棒的加速度。

二、不等间距水平导轨，无水平外力作用 例2 如图所示，光滑导轨

、

等高平行放置，

、、

间宽度为是质量均为

间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于的金属棒，现让

从离水平轨道高处

竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)

棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

解析

下滑进入磁场后切割磁感线，在

电路中产生感应电流，

、

各受不同的磁场力作用而分、

不再受磁场力作用，各

别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，自以不同的速度匀速滑动。

(1)由于

自由下滑，机械能守恒：、

①

，故它们的磁场

串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度

② 、

各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当

、

运动趋于稳定，此时有：

力为：

在磁场力作用下，为零(

时，电路中感应电流

)，安培力为零，

所以 、

③

受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

④ ⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：三、等间距水平导轨，受水平外力作用

例3 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离

，两根质量均为

的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导

的平行金属杆甲、乙可在。在

时刻，两杆

导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力经过

，金属杆甲的加速度为

作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。

，求此时两金属杆的速度各为多少？

解析 设任一时刻两金属杆甲、乙之间的距离为，速度分别为

，杆乙移动距离

，回路面积改变

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势：回路中的电流：杆甲的运动方程：

时为0）等于外力F

和

，经过很短时间

，杆甲移动距离

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量变化（的冲量：

联立以上各式解得

代入数据得

＝8.15m/s

＝1.85m/s

四、竖直导轨问题

例4 如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同

量Ft?mv1?mv2。联立以上各式解得v1据得v1?8.15m/s1F2RR?[1?2(F?ma)] v2?1[F1?2(F?ma)]，代入数222mBF2mBIv2?1.85m/s

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例8、如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

a

/

a e b c bc/ h / g d d/ f 解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1， 导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。对导体棒ef由动量定理得：?2BLI?t?2mv1?2mv0 对导体棒gh由动量定理得：BLI?t?mv2?0。由以上各式可得：v1?3、磁场方向与导轨平面不垂直

例9、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，aeb B a 和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水F 2 c 1 平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体d e θ 棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为

f θ B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，

电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求： （1）水平拉力F的大小；

（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。

解析（1）1棒匀速：F?BIL2棒匀速：BIL?mgtan? 解得：F?mgtan?

（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平均感应电流为I，据动量定理， 对1棒：Ft?BILt?mv1?0；对2棒：mgsin??t?BILcos??t?mv2?0 联立解得：v2?v1cos?

匀速运动后，有：E?BLv1?BLv2cos?，I?E 解得：v1?2mgRtan?

2RB2L2(1?cos2?)三、轨道滑模型

例10、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘

的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨

上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm

??12v0,v2?v0。 33

(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的内能为多少? 解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm。导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑动摩擦力F2，则

B2L2vmE F?F1?F2?0，F1?BIL,I?,E?BLvm，即F1?RR以PQ棒为研究对象，PQ静止，在竖直方向上受重力mg、竖直向上的支持力N和安培力F3，则

B2L2vmN?F3?mg,F3?F1,F2??N，得F2??(mg?)，将F1和F2代入解得

RB2L2vmmgR0?(1??)(g?)，得vm?22

mRBL(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S，在这段过程中，经过的时间为t,PQ棒中的平均

电流强度为I1，QPbC回路中的平均感应电动势为E1，则

E1?EqR??。设系统增加的内能为?E，由功能关系得：,???SLB,I1?1,q?I1t，得S?tRBLmgqRm3g2R212? FS?mvm??E，则?E?44BL22BL电磁感应中动量定理的运用

动量定律I＝?P。

设想在某一回路中，一部分导体仅在安培力作用下运动时，安培力F为变力，但其冲量可用它对时间的平均值进行计算，即I＝F?t，

而F＝BIL（I为电流对时间的平均值）故有：BIL?t=mv2－mv1 .而It=q ,故有q=

mv2?mv1

BL理论上电量的求法：q=I?t。

这种方法的依据是电流的定义式I=q/t该式的研究对象是通电导体的某一截面，若在t时间内流过该截面的电量为q，则流过该切面的电流为I＝q/t，显然，这个电流应为对时间的平均值，因此该式应写为I= q/t ，变形后可以得q＝It，这个关系式具有一般性，亦即无论流经导体的电流是恒定的还是变化的，只要电流用这段时间内的平均值代入，该式都适用，而平均电流的求解，在电磁感应问题中最为常见的思路为：对某一回路来说，据法拉第电磁感应定律，得E=

??，显然该感应电动势也为对?tE（RR其时间的平均值，再由I＝

为回路中的总电阻）可以得到I＝

综上可得q＝

??。 R?t????B?s。若B不变，则q＝＝ RRR电量q与安培力的冲量之间有什么联系？可用下面的框图来说明。

从以上框图可见，这些物理量之间的关系可能会出现以下三种题型： 第一：方法Ⅰ中相关物理量的关系。 第二：方法Ⅱ中相关物理量的关系。

第三：就是以电量作为桥梁，直接把上面框图中左右两边的物理量联系起来，如把导体棒的位移和速度联系起来，但由于这类问题导体棒的运动一般都不是匀变速直线运动，无法使用匀变速直线运动的运动学公式进行求解，所以这种方法就显得十分巧妙。这种题型难度最大。 2在解题中强化应用意识，提高驾驭能力

由于这些物理量之间的关系比较复杂 ，只能从理论上把握上述关系还不够，还必须通过典型问题来培养学生的应用能力，达到熟练驾驭的目的。请看以下几例：

（1）如图1所示，半径为r的两半圆形光滑金属导轨并列竖直放置，在轨道左侧上方MN间接有阻值为R0的电阻，整个轨道处在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两轨道间距为L，一电阻也为R0质量为m的金属棒ab从MN处由静止释放经时间t到达轨道最低点cd时的速度为v，不计摩擦。求： （1）棒从ab到cd过程中通过棒的电量。 （2）棒在cd处的加速度。

分析与解

有的同学据题目的已知条件，不假思索的就选用动量定理，对该过程列式如下：

mgt－BILt=mv －0 显然该式有两处错误：其一是在分析棒的受力时，漏掉了轨道对棒的弹力N，从而在使用动量定理时漏掉了弹力的冲量IN；其二是即便考虑了IN，这种解法也是错误的，因为动量定理的表达式是一个矢量式，三个力的冲量不在同一直线上，而且IN的方向还不断变化，故 我们无法使用I=Ft来求冲量，亦即无法使用前面所提到的方法二。 为此，本题的正确解法是应用前面提到的方法一，具体解答如下： 对应于该闭合回路应用以下公式：

(2)如图2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈 A.完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2 B.完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2 C.完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2 D.以上情况均有可能 分析与解

这是一道物理过程很直观的问题，可分为三个阶段：进入和离开磁场过程中均为加速度不断减少的减速运动，完全进入磁场后即作匀速直线运动，那么这三个过程的速度之间的关系如何呢？乍看好象无从下手，但对照上面

的理论分析，可知它属于第三类问题。首先，由于进入磁场和离开磁场两段过程中，穿过线圈回路的磁通量变化量Δφ相同，故有q0=q=Δφ/R；其次，对线框应用动量定理，设线框完全进入磁场后的速度为v′，则有： 线框进入磁场过程：

（3）在水平光滑等距的金属导轨上有一定值电阻R,导轨宽d电阻不计,导体棒AB垂直于导轨放置,质量为m ,整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中,磁感应强度为B.现给导体棒一水平初速度v0,求AB在导轨上滑行的距离.

(4)如图3所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。它们的电阻均为R，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。杆1以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为：

A.1:1 B.1:2 C.2:1 D.1:1 分析与解：

本题的一个明显特点就是已知杆1的初速度v0，求为使两杆不相碰，最初摆放两杆时的最少距离问题。分析后易见，两杆的运动都不是匀变速运动，初速v0与最初摆放两杆时的最少距离之间的联系比较隐蔽，若能对前面的理论分析比较熟悉，易知该题仍属于上面提到的第三类问题。简解如下：

杆2固定时杆1作加速度减小的减速运动，最小距离s1对应于当杆1至杆2处时，速度恰好减为零。故有 综上可得：S1:S2=2:1。

通过理论与实践的有机结合，使学生加深了对本知识块地理解，提高了驾驭知识的能力，有效的解决了这个难点。

变式训练一: 如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求： (1)ab、cd棒的最终速度；(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

解析 下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，、、

各受不同的磁场力作用而分不再受磁场力作用，各自以

别作变减速、变加速运动，电路中感应电流逐渐减小，当感应电流为零时，不同的速度匀速滑动。

(1)自由下滑，机械能守恒： ①

由于力为：

、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度 ②

，故它们的磁场

在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流

为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：所以 ③

、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得： ④ ⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

变式训练二:如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则（1）此时b的速度大小是多少？（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。

解析 （1） 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，

于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：

，

，代入数据可解得：

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