奥数讲座-第十九讲 奇数偶数分析

奥数讲座

第一讲 一般复合应用题 第二讲 和差、和倍问题 第三讲 差倍、年龄问题 第四讲 盈亏问题 第五讲 鸡兔同笼问题 第六讲 容斥原理 第七讲 植树问题 第八讲 方阵问题 第九讲 平均数问题 第十讲 行程问题（一） 第十一讲 行程问题（二） 第十二讲 数的整除 第十三讲 分解质因数 第十四讲 求因数个数

第十五讲 最大公因数和最小公倍数

第十六讲 余数问题 第十七讲 周期问题 第十八讲 尾数与平方数 第十九讲 奇偶分析 第二十讲 数 列 第二十一讲 幻方和数阵 第二十二讲 一笔画 第二十三讲 分数应用题 第二十四讲 比和比例 第二十五讲 还原问题 第二十六讲 牛吃草问题

第十九讲 奇偶分析

2009年04月06日 星期一 下午 04:40

1、两个质数之和是99，求这两个质数之积。 2×97=194

2、两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？ 1111111111×9999999999=11111111108888888889 10个数字是奇数

3、在如上右图所示的“十字形”表中，已填入两个数字1与8，问在其余的格子中能否填满整数，使得横行任相邻二数左边减右边所得之差都相等，使纵列任相邻二数下面减上面所得之差也相等。

办不到。先看横行，中间格中一定是偶数，但纵列满足不了。 4、1+2+3+4+??+2001+2002是奇数还是偶数？

2002÷2=1001个奇数，1+2+3+4+??+2001+2002的和是奇数

5、能不能在式子：1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9 = 10 的每个方框中，分别填入加号和减号，使等式成立？

1—9中共5个奇数，他们的和（差）一定是奇数，不能等于10。

6、若X、Y、Z是满足 X2 + Y2 = Z2 的自然数，则 X、Y、Z中至少有一个是偶数？

X2 = Z2－Y2 =（Z＋Y ）×（Z－Y）如果Z和Y都是奇数，那么（Z＋Y ）和（Z－Y）一定是偶数，X就一定是偶数，所以X、Y、Z中至少有一个是偶数。

7、如右图，在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来填在这个方格中，例如A=5+3=8。问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？

偶数多

8、一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。也就是： 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、??

问这串数的前1000个数中（包括第1000个数）有多少个偶数？

奇、奇、偶、奇、奇、偶、??、奇、奇、偶 1000÷3=333??1 333个偶数

9、任意交换某个三位数的数字得一个新的三位数，某同学将原三位数与新的三位数相加，得和数为999，求证：这个同学的计算一定有误。

分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+9+9=27是奇数，矛盾．

10、如右图，将任意6个整数填入2×3的方格中，证明，一定存在一个矩形，它的四个角上的四个数字之和为偶数。

证明：2×3的方格中有三个至少含有四个数的矩形，这三个矩形四个角上的数字之和正好等于方格中6个数之和的两倍，是偶数。如果这三个矩形四个角上的数字之和都是奇数，那么其和必是奇数，矛盾。

11、如右图，某展览会有25个展室，相邻的两个展室之间都有门相通，有个小朋友从A室开始，打算依次而又不重复地看过每一展室之后，仍回到A室，试问这个小朋友的打算能实现吗？

不能。

12、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17，1967，1983，问原来写的三个整数能否是2、2、2？

17，1967，1983----17，1967，1951---17、1935、1951??原来写的三个整数一定是3个奇数

13、写出一串数1、9、8、9、??，自第5个数起，每个数字都等于它前面四个数字之和的个位数字，求证这样一直写下去，总不会出现相连的四个数字为2、0、0、6。

(奇、奇、偶、奇、奇)、(奇、偶、??、(奇、奇、偶、奇、奇)

14、某班共25位同学，坐成五行五列，每个座位的前后左右都叫它的“邻座”，要让这25位同学中的每一位都换到他的邻座上去，是不是能办得到？

我们把每一个黑、白格看作是一个座位。从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上。因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。

从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。

15、扑克牌中的J、Q、K分别表示11、12、13，甲取13张红心牌，乙取13张草花牌，分别洗和后，轮流各出一张牌，红心与草花配对，共配成13对，两两求和，再相乘得积，你能找到一种“洗和”、“配对”的办法，使得两两之和的乘积是个奇数吗？

要想使得两两之和的乘积是个奇数，那么两两之和一定是奇数，那么一定是1个奇数和1个偶数配对，1---13有7个奇数6个偶数，红心与草花配对，共14个奇数12个偶数，所以一定会有奇数与奇数一对的情况，那么两两之和的乘积一定是偶数。

16、有7个杯子全部都口朝下地置于桌上，每次翻动其中的6个杯子，求证：无论翻动多少次，都永远不能出现杯口全部朝上的状态。

7只杯口都朝上的茶杯,使7只杯子的杯口全部朝下,每个杯子翻动的次数为奇数,所以翻动的总次数也为奇数. 而每次翻转6只,无论翻动多少次,翻动的总次数必为偶数.奇数≠偶数,所以办不到. 结论:当杯子数为奇数,每次翻转数是偶数时,是办不到的;其他情况可以办到.

17、某市小学生竞赛，共30道题，评分标准是，基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道减1分，请说明，如果有1989名同学参加竞赛，则所有参赛同学所得分数总和一定是奇数。

如果全对，得15＋5×30=165分（奇数），不答，少了5－1=4分（偶数），答错少了5＋1=6分（偶数）。奇数－偶数－偶数－偶数??=奇数，所以每位学生的得分一定是奇数，1989名同学所得分数总和一定是奇数。

18、如图，能否用1个“田字形”纸片和15个“T ”字形纸片恰拼成一个8×8的正方形棋盘？

染色。将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘，那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘。

19、如图2，能否在6×6的正方形棋盘格中写上1～36这36个自然数，使得任意的如⑴、⑵、⑶、⑷四种形状的四个格子中，放置的四个数之和都是偶数？若能办到，请给出一种填数法。若不能办到，试说明理由。

解答：将1～36这36个自然数随意填在6×6正方形棋盘格的36个小方格内，填法太多，要想用试验法找到满足要求的填法，比较麻烦，下面我们倒着来想这个问题。如果能找到一种填法，使题中的要求得到满足，那么在图1中，一定有一个图三的十字形图形，当它的五个小方格中的数分别用a1、a2、a3、a4、a5表示时，可得到下面的四个等式：

（图三）

a1＋a2＋a3＋a4=偶数 （1） a1＋a2＋a3＋a5=偶数 （2）

a1＋a3＋a4＋a5=偶数 （3） a2＋a3＋a4＋a5=偶数 （4）

将（1）、（2）两式相减，等号前面是a4、a5的差，等号后面是两偶数相减，这说明a4、a5的差是偶数，所以a4、a5要么同是奇数，要么同是偶数。

同样，（1）、（3）两式相减，可以得出a2与a5同是奇数或同是偶数。 （1）、（4）两式相减，可以得出a1与a5同是奇数或同是偶数。

这一来，a1、a2、a4、a5同是奇数或同是偶数。再看（1）式，当a1、a2、a4、a5同是奇数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也应是奇数.当a1、a2、a4、a5同是偶数时，为保证a1、a2、a3、a4之和是偶数，a3也是偶数.这就说明a1、a2、a3、a4、a5这五个数要么同是奇数，要么同是偶数。

另外图三那样的十字形图形，除了不能出现在图一的6×6棋盘格的四个角外，其他地方都可以出现。这一来，图一除掉四个角之外的32个小方格中的数要么都是奇数，要么都是偶数。但1至36这36个自然数中最多只有18个数同是奇数，或同是偶数，不可能有32个数同是奇数或同是偶数，这说明满足要求的填法不存在。

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