利息计算在数学中的应用

毕业论文（设计）

论文题目：

浅谈金融数学中的利息计算

学生姓名： 学 号： 所在院系： 专业名称： 届 次： 指导教师：

叶津 1005010241 数学与计算科学系 数学与应用数学

2014届 向 伟

淮南师范学院本科毕业论文（设计）

诚信承诺书

1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目《

》是本人在指导教师指导下独

立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；

2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明来源；

3. 毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况；

4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；

5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。

学生（签名）：

日期： 年 月 日

目 录

前言 ...................................................................... 2 1利息的基本概念 .......................................................... 6

1.1累积函数、单利、复利 .............................................. 6 1.2贴现函数、名利率和名贴现率 ........................................ 9 2利息的基本计算 ......................................................... 10

2.1几种计算方法 ..................................................... 10 2.2方法案例分析 ..................................................... 13 3利息计算方法的实际应用 ................................................. 15

3.1摊还法的介绍 ..................................................... 15 3.2实例分析 ......................................................... 17 参考文献： .............................................................. 115

浅谈金融数学中的利息计算

陈述学生：叶津（指导教师：向伟） （淮南师范学院数学与计算科学系）

摘要: 金融数学是一门现代数学科学与计算技术科学在金融范畴的应用，亦是新兴的

交叉学科。本文介绍了金融数学中利息的基本概念，例如累积函数、单利、复利、贴现率等等；讨论了利息计算的常用方法，并通过实例加以说明；最后，介绍了摊还法的基本原理以及实际应用。

关键词：利息；单利；复利；贴现率；摊还法

Introduction to calculation of interest of financial

mathematics

Student: Ye Jin (Instructor : Xiang Wei)

（Huainan normal university mathematics and computing sciences）

Abstract: Financial mathematics is a modern mathematics science and computing

technology in the application of financial category, also is the emerging interdisciplinary. This paper introduces the basic concepts of financial mathematics interest, such as the accumulation function, simple interest, compound interest, the discount rate, etc. The commonly used method of calculating interest are discussed, and explained by an example; Finally, this paper introduces the amortization method of the basic principle and practical application.

Key word：interest; simple interest ;compound interest; discount rate; amortization

前言

在写此论文之前，我也查找了往年的一些资料，发现在《几个有关利息计算中的数学原理》李连喜老师就为我们详细介绍了复利和连续复利这两种常见计算方法，《几种常见的利息计算方法》中管孝双老师也按照存取方式的分类讲述了不同利息的计算方法，也有石砾老师在《实际利率的计算问题》就推算并证明的出的n年定期存款业务和按揭贷款业务中实际利率的计算，还有戴立新教授在《银行利息计算的改革之我见》也提到了银行机构在商业化经营中所采取的利息计算模式，包括利率计算和计息天数的计算。另外，胡秀香女士也通过借贷行为产生的利息问题进行了讨论，并得出国家应制定更完善的计算体制等等。那么本论文就是将金融理论与数学知识结合起来共同探讨利息计算问题的过程，通过简单的介绍让大家能够明白一些利息的概念，以及在生活中的实际应用。

1 有关利息计算的基本概念

1.1累积函数、单利、复利

近几年来，应用数学和计算机科学进一步飞速发展，数学已更全面的渗透到世界经济各方面，例如金融、商业交易与合作等等众多领域。其中在金融方面，它与数学密不可分。说到金融，和人们的生活联系的最为紧密的要数“利息”，利息，它的初始定义有许多种，从不同的角度就有不同的定义：一，从债权债务关系方面，利息是指在借与贷关系中借钱的人想要获得资金的使用权力从而付给债权人的薪酬；二，从更为简单的借贷行为关系看，由于借款人在一段时间内拿走和使用了贷款人的一部分资金，所以也说利息就是借款人交给贷款人的补偿；三，换到投资方面来说，一定量的资本金额通过一段时间的投资过后得到的价值的增加量就是利息。《金融数学引论》一书中这样记录利息：总量函数A(t)在时间[t1,t2]内的利息，记为It,t2，即

1It,t2=A(t2)?A(t1)，特别的，当t1?n?1 ,t2?n (n?N), In= A(n)?A(n?1)

1(n?N),其中In是第n个时间段内的利息

那么，金融活动中的利息包含了一些概念，下面将一一介绍。

首先看定义（累积函数）：设1个货币单位的本金在t(t?0)时刻的价值为a(t),那么当t改动时，我们就说a(t)为累积函数。那么，从定义中，我们可以看到两点，第一，当t?0时，a(0)=1;第二，这个累计函数a(t)应当是递增的，一般来说，递减的话意味着产生的是负利息，在金融问题讨论中是没有意义的。综合上面简述，可以得到累积函数的四种类型，一是常数函数a(t)≡1,二是一般的线性函数，三是二次函数，四是指数函数。

累积函数，一种关于货币价值的累积方法，而货币价值改变的振幅就是利率--度量利息计算的基本方式，在一定时间区间[t1,t2]内总量函数a(t)的改变量（增加量）与期初金额的商值，表示为it1,t2=

A(t2)?A(t1)It1,t2=,特别地，当t1?n?1,t2?n (n?N)A(t1)A(t1)时，记in=

A(n)?A(n?1)In=(n?N)，且有A(n)=A(n?1)(1?in)。

A(n?1)A(n?1)我们来看两个例题：

例一：设总量函数为A(t)?t2?3t?5.试计算累积函数a(3)和第4个时段的利息I4 解：根据题意得，将t?0代入总量函数中，得A(0)?5

A(t)t2?3t?5? a(t)? A(0)5 In=A(n)?A(n?1)

=(n2?3n?5)?((n?1)2?3(n?1)?5) =2n?2

32?3?3?524? 所以 a(3)?，I4?2?4?2?10

55例二：计算下面两种总量函数的i4和i6 （1）A(t)?100?4t 解： i4=

A(4)?A(3)4==3.57%

A(3)112

A(6)?A(5)4 ==3.33%

A(5)120 i6=

（2）A(t)?100(1?0.1)t

A(4)?A(3)100(1?0.1)4?100(1?0.1)3 解：i4===10%

100(1?0.1)3A(3)

A(6)?A(5)100(1?0.1)6?100(1?0.1)5 i6===10%

100(1?0.1)5A(5) 其次，要介绍的是单利和复利。（1）在一个特定单位计息期内，如果投资一个货币单位后得到的利息是常数，那么相对应利息计算的这一种方法就叫做简单利息计算方式，其相对应的利息就叫做单利。由定义易知，在单利计算中，有这样的累积函数

a(t)?1?i?t,t?Z.（2）在一个单位的计息期内，如果一个货币单位得到的利率为常

数，那么相对应的利息计算的这一种方法就叫做复合利息计算方式，其相对应的利息叫做复利。由定义易知，在复利计算中，有这样的累积函数a(t)?(1?i)t，t?Z。这里也要注意区分单利和复利，短期内两种方式所计算的利息基本相同，又由于单利方式关注的是绝对增量的变化而复利方式关注的是相对增量的改变，因此当货币金额足够大时，两种方式计算的利息差异将很大，利息差随金额增加而增大。特别声明，在日常生活中，我们所接触的一般都是用复利方式计算所得的利息。

看两个例题，更能清楚的认识两种计算方式的不同。

例三：试计算500元经过两年半的累计达到615元得对应年单利率。问：年利率为

7.8%的500元积累多长时间达到630元？

解：设年单利率为i

500(1?2.5i)?615 i?9.2% 设500需要积累t年

（1?t?7.8%)?630 500 t?3年4个月

例四：投资500元，三年在复利方式下会产生利息300元。计算4000元也以相同的实利率投资五年的终值。

解：设实利率为i

500[(1?i)3?1]?300 i?17% A(5)?4000(1?i)5?8769.79元

1.2 贴现函数、名利率、名贴现率

（1）贴现函数：若一个货币单位对于t(t?0)时刻在0单位时刻的价值记为a?1(t)，当t变动时，就称a?1(t)为贴现函数。根据前篇讲的累积函数，我们知道贴现函数是它的倒数函数。那么得到下面两个公式：

在单利方式下，a?1(t)?(1?it)?1 (t?0) 注，t是单利率 在复利方式下，a?1(t)?(1?i)?t (t?0) 注，t是复利率

（2）贴现率：计息期?t1,t2?内，利息收入除以期末货币总量商的值被叫做在时间区间?t1,t2?内的贴现率，记为dt1,t2，即dt1,t2=记为贴现因子。下面补充两个结论：

①贴现率d与利率i：i?A(t2)?A(t1)It1,t2=。另外，我们将v?(1?i)?1A(t1)A(t1)di d??i 1?d1?i②在任何一个计息期的贴现率d和贴现因子v中，同一期的期末利息率用贴现因子贴现给期初的值就是贴现率，即d?iv；二者有互补关系：d?v?1；更进一步分析还可以得到：i?d?id

（3）在日常生活的金融业务中，不仅仅局限于以一年为计息单位，还有一月，一季度，半年等利息计算期，概念名利率和名贴现率由此而生。

i(m)(m?N)换算了m，那么这个i(m)就①名利率：利息在单位计息期内按照利率m是m换算名利率，也叫做挂牌利率。通过定义可以容易得出利率i与m换算名利率i(m)

i(m)mi(m)m) 也可以表示为：i?(1?)?1 或者的关系： 1?i?(1?mmi(m)?m[(1?i)?1]

1m②同上，不难理解p换算名贴现率d(p)(p?N)在相同计息期内与贴现率d的关

d(p)pd(p)p) 也可以这样表示：d?1?(1?) 或者系： 1?d?(1?ppd(p)?p[1?(1?d)]

（p）③在一样的单位计息期内，p换算名贴现率d与m换算名利率i(m)之间的换算关

1p系：

i(m)md(p)?p)?(1?) (1?mp抽象的概念公式理解起来更困难一些，现在看两个例题：，

例五：现有如下不同种五年期的投资方法：方法A，7%的年利率，隔半年计算利息一次；方法B，7.01%的年利率，一年计算利息一次。试比较两种投资方法的收益，从而决定投资选择。

解法1:比较两种方法等价的年实利率

已知方式A的半年换算名利率为iA?(1?7%2)?1?7.1225% 2 而方式B的年实利率iB?7.01%?iA，故应该选择方式A

解法2：比较两种方式实际收益。对方式A和方式B，一个货币单位的本金经过5年投资后其价值分别为 aA(5)?(1?7)?1.4106 2aB(5)?(1?7.01%)5?1.4032

显然aA(5)﹥aB(5)，故应选择方式A.

例六：在如下两种情况下计算投资100元在第2年的终值，第一种,季换算名利率为6%，第二种，每四年换算一次的名贴现率为6%

i(4)4?2)?112.65 元 解：第一种，终值为100?(1?4

第二种，终值为100?[(1?4d

11()44?2)]?114.71 元

2 有关利息的基本计算

2.1几种计算方法

（1）等时间法（未知时间问题）

一个关于利息的问题包括四个基本的量：原始投资的本金、投资时间、利率、本金在投资期末的最终值，其中任意三个量的大小都能够决定第四个量的大小，另外在计算利息的时候，我们解求值方程最有力工具为时间图，如下:

上图所表达的意思就是某个人先获得(或是借贷)500元，按分期付款偿还.第一、

\ ?\表示的是比较日期。（注：二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号

比较日就是不同时间段的货币量没有办法直接区分大小而必须将这些量贴现计算到一个共同日期，比较日即是这个共同日期。）

有时会有这样的状况发生，需要找到一个时刻，使在这个时刻上的一次付款等于在不同时刻的几次付款。

例七：假设5%的实际利率，预定在第2, 3, 8年末分别付款100元、200元、和500元，请通过计算后得到一个一次付款800元的时间，令之与前几次付款的金额相同。

解：设在t时刻付款

800vt?100v2?200v3?500v3 其中 v?1ln0.75236?5.832 t??1.05ln1.05

注：总结上面问题可以得到：如果在时刻t1,t2,…,tn分别付出金额s1,…sn,计

算出时间t，使在该时间付出和上述分次付款相等。那么它的求值方程为:

?n?t ??si?v?s1vt1?s2vt2?????snvtn ?i?1??n?n?ti?ln??siv??ln??si???i?1?t??i?1 lnn这种方法求t也叫精确方法。在生活当中，想要简便计算，那么t 可以通过近似计算每个付款的加权平均这一方法，其中权就是每次付款的金额，所以

t?s1t1?s2t2?????sntn 也为等时间法，可以证明 t?t，换句话说，就是用等时间法

s1?s2?????sn的现时值小于真实的现时值来证明。 （2）未知利率问题

①直接对价值方程进行指数或对数计算法：

例八：季度转换率是多少才能够让1000元在6年内增加到1600元？ 解：设季度转换利率为i(4)，：有

i(4)4?6)?1600?i(4)?7.91% 1000(1?4 ②代数法：

例九：已知第2年底的2000元加上第4年底的3000元得现金总额为4000元，计算年利率。

解：设年利率为i，那么得到价值方程为

4000?2000v2?3000v4 ， v?(1?i)?1 也可以这样表示： 3v4?2v2?4?0 ，v?(1?i)?1 解出方程，得 v2?0.868517 ③线性插值的递推或迭代法

例十：假设目前投入资金1000元，3年后再投入资金2000元，要想在10年后得到5000元，计算半年度转换利率。

i?7.30﹪

解：设半年换算名利率为i(2). 则：

i(2)20i(2)14)?2000(1?)?5000 1000(1?22

通过线性插值的计算方法，就可以得到： i(2)?0.064356?6.4356﹪

小总结：此类问题的一般提法是，已知一系列的投资或收入——资金流：x1,x2,…，

xn,分别代表t1,t2,…，tn时刻的投资。那么求解这一资金流的实际利率，换言之就是

tn?tix(1?i)?0 或?xivt?0 收益率。其求值方程是：?inini?1i?1

2.2 有关方法案例分析

生活中与利率的机构非银行莫属了，那么对于度量时间的方法也有不同，最常见的分以下三种：(1)(精确法): 1年按365天,投资时间=实际投资天数/365;

(2)(普通法):假设一个月是30天,1年是360天,此时求解两个已知日期

之间天数的关系式为

360(Y2?Y1)?30(M2?M1)?(D2?D1)

(3) (利息准则之银行):投入资金时间=实际投资的天数除以360。依照

国外大多数银行的做法，计息方式采用整数时期计算复利，分数时期计算单利。如果求1单位本金在m?x时间内的最终积累的价值，其中m为整数、x为分数，0?x?1,于是得：

a(m?x)?(1?i)m(1?xi)

类似有 a?1(m?x)?vm(1?xd)

下面我们来看看各种不同的实例：

例十一：有一种投资方式可以使第4年底收益2000元，第10年底收益5000元，那么问:前2年每年初投入2000元，第3年初再投入一部分，那么6﹪的季换算名利率，求出第3年初投入的现金额。

解：由题意得：i(4)?6﹪，则i?(1?6%4)?1?6.14% 4 设第3年初投入金额x，比较日为第3年初，获得价值方程 2000(1?i)2?2000(1?i)?x?2000v2?5000v8

解得 x?504.67 元

例十二：在所给定的利率情况下，如下的两种支付金额方式相同：1.第5年年底付款200元，第10年年底付款500元。 2.第5年年底一次性付款400.94元。此外现在以相同的利息率投入金额100元再加上第5年年底投入的120元现金，这些投资在第10年年底的累积值是P.求出P.

解：根据两种支付方法，比较日即是第5年，得到价值的方程： 200?500v5?400.94 v5?0.40188 所以

P=100(1?i)10?120(1?i)5?917.762

例十三：2年定期存款的年利率为10%，在提前支取时储户可以有两种选择：方式A：利率降为8%；方式B：原利息率不改变，扣除3个月利息的金额。试对以下两种情况，计算出何种方式对储蓄用户最好：（1）存到6个月就取出；（2）存入一年半时提前支取

解：设初始本金1个货币单位，并分别用IA和IB表示两种方式的利息金额。 （1）存到6个月就取出，则 IA=(1?0.08)?1?0.0392

12 IB =(1?0.10)?1?0.0241

很明显有IA＞IB，因此对于储蓄用户来说方式A较好。 （2）若存入一年半时提前支取，则 IA=(1?0.08)?1?0.1224 IB=(1?0.10)?1?0.1265

543214

显然有IA＜IB，因此对储蓄用户来说方式B较好。

例十四：现有如下的投资经历：原始投资100000元，全部资金总额在前两年用来投资13周的短期国债，假设均以贴现方式来报价；在第3年初实行组合投资，这个投资的利息力函数为?t?1。那么在五年以后新增长的金额总量是最初原始投资的1?t1.6倍，探讨13周短期国债的可承受的折价价钱是多少。

解：设国债以名贴现率d(4)折价售出，那么这个资金在第2年年底的最终价值是

d(4)?8（1-)元 100000a(2)元?1000004 用后3年的投资收益额，得第5年年底的最终价值是

100000a(5)元?100000a(2)exp(??sds)元251?5 100000a(5)元?100000a(2)()?200000a(2)元

1?2d(4)?8100000a(5)元?200000(1?)元4 又由题设知

100000a(5)?100000a(0)(1?1.6)?260000

d(4)?8) 即 2.6?2(1?4 解得 d(4)d(4)?3.23% =12.9%，4 因此，100美元的债券可以接受折扣的价格是96.77元。

3 利息计算方法的实际应用

3.1摊还法的介绍

（1）关于摊还法，很重要部分都要计算每一次还款后未结贷款余额。所以，首先先来讨论如何计算未结贷款余额。说到底，这个未结算贷款余额也就是指在贷款业务中，每一次分期还款之后，借款人没有偿还的债务在那时的价值。通常有两种计算方法：预期法和追溯法。预期法和追溯法的区别不是很大，通常情况下，知道全部还款金额和还款的具体时间，就用预期法求值；当还款次数未定又或者是还款金额未定，那么最佳方法就是追溯法了。

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