东北大学高数试题上
更新时间:2023-10-08 03:34:01 阅读量: 综合文库 文档下载
一、高等数学试题 2007/1/14
二、填空题(将正确答案填在横线上,本大题共6小题, 每小题4分, 共24分)
1.lim(1?sin3x)x?012x?________. 2.方程x5 – 5x – 1 = 0在(1, 2)内共有______个根.
? 3.
??(x2?27?1)sin2xdx?_________.
4.
arctanx ?x(1?x)dx?________.5.球体半径的增长率为0.02m/s,当半径为2 m时,球体体积的增长率为_________.
n!xn6. 幂级数?n的收敛半径R? .
n?0n?三、计算题(6分?4 = 24分)
?x?lntd2y1.设?,求2. 3y?tdxt?1?2.求lim?1??1??. x?0x2xtanx??3.求
?x24?x?2dx.
??4.已知
?(?1)n?1n?1un?2,
?un?12n?1?5, 求?un
n?1四、(10分)设y = xe?x (0 ? x < +?),求函数的极大值,函数曲线的拐点,并求曲线与直线x = 2, x = 1, y = 0所围
成曲边梯形的面积及此平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积. 五、(8分) 将函数f(x)?1展开成(x?1)的幂级数.并给出收敛域。 2x?4x?3x?x2,0?x?1六、(8分)设f(x)??适当选取a, b值,使f (x)成为可导函数,令?(x)??f(t)dt,并求出
0x?1,?ax?b,?(x)的表达式.
七、(6分)设f (x)具有二阶连续导数,且f (a) = f (b), f ?(a) > 0, f ?(b) > 0, 试证:???(a, b),使f ??(?) = 0. 答案:一、1.(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1.e 2.1 3.
32? 4.(arctanx)2?C 5. 0.32? 6.e. 2三、1. 9. 2.
1x12. 3. 2arcsin?x4?x?C. 4.8. 3221?2, 拐点?2,2e?e四、极大值y(1)?23??513??A??,面积,体积V???2?4?。 2ee4??ee?五、y?2x. 22x?1?x3,??3六、a = 2, b = ?1, ?(x)???x2?x?1,?3?
二、高等数学试题 2008/1/14
x?1.
x?1二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共计16分)
1. y3?e2x?sin(xy)?0在x?0处的切线方程是 .
2. 一个圆锥形容器,深度为10m,上面的顶圆半径为4m,则灌入水时水的体积V对水面高度h的变化率
为 .
3.曲线y?x3?6x2?12x?4的拐点为 . 4.f(x)?1展开成x ? 2的幂级数为 1?x?3?x2, 0?x?1;??2三、(7分)设 f(x)?? 试研究函数f(x)在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.
1?, 1?x?2.??x四、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分). 1. limx?0ln(1?2sinx).
1?x?1?x1x2. lim?x?0?sinx??. x???d2y?x?ln1?t23. 设?, 计算2.
dx??y?arctant 4. 计算积分
?ln(x?1121?x2)dx.
5. 计算积分
?1?x2dx. 2xx3x5x2n?1??????????在收敛域上的和函数. 6. 求幂级数x?352n?122五、(7分)由曲线y?0,x?8,y?x围成曲边三角形OAB,其中A为y?0与x?8的交点,B为y?x与x?8的交点.在曲边OB上求一点,过此点作y?x的切线,使该切线与直线段OA,AB所围成的三角形面积为最大.
六、(7分)求心形线r?a(1?cos?)与圆r?3acos?所围图形公共部分. 七、(7分)设f (x)是(??, +?)内的可微函数,且满足: (1) f (x) > 0 x ? (??, +?),
(2)存在0 < ? <1, 使得| f ?(x)| < ? f (x), x ? (??, +?).
2任取a0 ? (??, +?), 定义an = ln f (an?1), (n = 1, 2, ???), 证明
?(an?1?n?an?1)绝对收敛.
八、(4分)设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f??(x)?0,证明答案:一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.
?baf(x)dx?(b?a)f(a?b). 2?41(?1)n2?h. 3. (2,12). 4. ?n?1(x?2)n. 二、1. y?x?1. 2. 253n?0311?xd2y1?t222ln??四、1.2. 2.1, 3. , 4. 5. xln(x?1?x)?1?x?C2321?xdxt(?1 < x < 1), 6. y?C1cos2x?C2sin2x? 五. (12xcosx?sinx. 3916256,). 3952
六. ?a。
4
八.提示:f(x)在x? 七。提示:两边求导解微分方程。
a?b处的一阶Taylor公式为 2
三、高等数学试题 2009/1/16
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共计15分)
1??(cosx)x21. 已知f(x)???a?x?0在x?0处连续,则a = . x?02. 设函数f (x)可导,y = f (sin2x),则dy = .
3.函数f (x) = ex的3阶麦克劳林公式为 . 4.质点以速度tsint2(米?秒)做直线运动,则从时刻t1??2(秒)到t2??(秒)内质点所经过的路程等于___
(米).
5.以y1 = cos2x, y2 = sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为____.
1?2xsin?三、(8分)设函数 f(x)??x??xsinxx?0x?0,求f ?(x).
四、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分). 1. limx(x????22?arctanx).
2.
?x24?xdx.
d2y3. 设函数y = y(x)由y = 1 + xe确定,求2.
dxy
4. 设函数f (x)连续,且
??x3?10f(x)dx?x,求f (7).
(?1)n?12n5. 判断级数?的敛散性,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?
n?100n?1五、(8分) 设f(x)?1在[?1, 1]上收敛,试证:当a = a = 0时,级数axf()收敛。 01??nnn?0n?1n??2?xe?x,x?0六、(8分)设函数f(x)??,计算?f(x?1)dx.
0?1?x,x?0七、(8分)在抛物线y = – x2 + 1(x > 0)上求一点P, 过P点作抛物线的切线,使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小.
(x?1)2(x?1)3(?1)n(x?1)n??????在其收敛域上的和函数。 八、(8分) 求幂级数(x?1)?23n九、(6分)设函数y =f(x)在(?1, 1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0, (1)证明对于(?1, 1)内任一x ? 0, 存在惟一的? (x) ? (0, 1),使 f (x) = f (0) + xf ?[? (x)?x]
成立;
(2)求lim?(x).
x?0答案:一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D
1x2x3??o(x3). 4.. 二、1. a?e. 2. dy?sin2xf?(sinx)dx. 3. f(x)?1?x?226?1235.y ??+ 4y = 0.
11?2xsin?cos,x?0?xx?xx4?x2?C, x?0 四、1.1. 2. 2arcsin?三、f?(x)??sinx?xcosx,22?0x?0??1d2ye2y(3?y)3
f(7)?3. , 4. ,5.条件收敛 五. y = x + 3x + 1. ?2312dx(2?y)六.
332?2e?1。 七. P(,) 233 八.lnx (0 < x ? 2)
四、高等数学试题 2010/01/16
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共计24分)
1?x?1. 若函数f(x)??(1?x)??ax?0在x?0处连续,则a = .
x?02. 函数 f(x)??x3在(0,)内的极小值为 . ?sinx?222x?03.函数f (x)在(??, ??)是可导的偶函数,且lim为 . 4.若
f(3?x)?f(3)?1, 则y = f (x)在点(?3, f (?3))处的切线斜率
2x?x0f(t)dt?14x,则f (1) =___. 2?5.若f (x)在[???,]上连续,则?2?[f(x)?f(?x)]sin2xdx?
?2226.设f (x)是以2为周期的函数,其表达式为f(x)???2,?1?x?0,则f (x)的Fourier级数在x = ?1处收敛于2?x,0?x?1,____________。
三、计算下列各题(本题共6小题,每小题6分,共计36分).
dyx2a2x2a?x?arcsin (a > 0), 求. 1. 若y?dx22a2. 求极限lim(x?xsin).
x??23. 计算不定积分(arcsinx)dx.
231x?4. 计算定积分
?50x?1dx. 3x?13?d2y?x?2cost,5.若?,求2
3dx?t???y?2sint, 46.如果y = f (x)满足?y?1?x2x?x2?x?o(?x),且f (1) = 1, 求f (x).
四、(8分)摆线??x?a(t?sint),(a > 0)的第一拱(0 ? t ? 2?), 求(1)该摆线的弧长;(2)该摆线与x轴围成的平
?y?a(1?cost),1的和。 ?2nn?1?0面图形绕x轴旋转一周所得立体的体积.
五、(8分)设f (x) = x + x, x ? [?? , ?), 将 f (x)展开成Fourier级数, 并求级数
a2
?六、(4分)若f (x)在[0, a]上连续,且
?0f(x)dx?0,证明至少存在一点??(0, a),使得f(?)??f(x)dx?0.
答案:一、1. A. 2. B. 3. A. 4.C. 5. D
二、1. e. 2. 三、1.
?3. 3. 2. 4.2. 5.0 6. . 6214, 3. x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C, 4.6, 5. 6. 63a2?x2. 2.
2x?x2
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