专题一(课时2)复数的四则运算

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宁师中学高二数学（理科）培优治拐导学稿

专题一 课时(2)复数的四则运算

一、知识归纳

1、推导复数的加减法法则：若z1＝a+bi，z2＝c+di，则

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 2、复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

3、共轭复数:实部相同虚部互为相反数的两个复数 叫共轭复数，记作Z即Z=a-bi 4、除法运算规则：(a+bi)÷(c+di)=

a?bic?di

将

a?bi?biac?bd?adc?di的分母有理化得：(a+bi)÷(c+di)=ac?di=c2?d2?bcc2?d2i 点评：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的

3?2的对偶式3?2，它们之积为1是有理数，而

(c+di)·(c－di)=c2

+d2

是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法 5、i的正整数指数幂运算：

i 4n ? 1 ， i4n ?1 ? i ，i4 n?2 ? -1 ，i4n ?3 ? -i 。 二、例题点评

例1、已知：? ??1?3i,求证：（1） 1? ? ? ? 2 0 ; （2） ?3?1.

22?例 2.复数z满足(1?2i)?z?4?3i,求z.

三、巩固练习：

1．下面四个命题中正确的命题个数是

①0比－i大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③x+yi=1+i的充要条件为

x=y=1 ④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 A.0

B.1

C.2

D.3

2．(1－i)2

·i等于( ).

A.2－2i B.2+2i C.－2 D.2 3．已知复数z与(z+2)2－8i均是纯虚数,则z等于( ). A.2i B.－2i C.i

D.－i

4．已知复数z=3+4i且z(t－i)是实数,则实数t等于( ).

A.

334

B.

43 C.－

43 D.－4

5、设复数ω=－12+

32i,则1+ω等于( ).

A.－ω

B.ω2

C.－

1? D.

1?2

6、复数(1+1i)4的值是( ). A.4i B.－4i C.4 D.－4

7、若(3－10i)y+(－2+i)x=1－9i,求实数x、y的值.

8、若z∈C,且(3+z)i=1(i为虚数单位),试求复数z.

9．设z=－1+(

1?i1?i)2003,则z=__________.

310、已知

(1?i)1?i=a+3i,则a等于( ).

A.－i B.－5i

C.－2－3i

D.2－3i

11、复数

(?1?3i)5的值是( ).

1?3i A.－16

B.16 C.－1 D.144－

34i

12、复数(1+1i)4的值是( ). A.4i B.－4i C.4 D.－4

13．

1?3i(3?i)2等于( ).

A.

131314?4i B.－

4?4i C.2+

3－

32i D.－

122i

14、已知复数z满足1?z1?z=i,则1+z等于( ).

A.1－i

B.1+i C.1+

12i

D.1－

12i

15、已知z=1+i.(1)设ω=z2

2+3(1－i)－4,求ω;(2)如果z?az?bz2?z?1=1－i,求实数a、b的值.

16、已知z=?21?3i,求1+z+z2+…+z

2003

的值.

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