锐角三角函数

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第28章：锐角三角函数

一、基础知识

1.定义：如图在△ABC中，∠C为直角，

我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；sinA= sinA?a c把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；cosA?b ca b把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA 。tanA?把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cosA。cosA?2、三角函数值

（1）特殊角的三角函数值 角度 0° 三角函数 sinA 0 30° 45° 60° 90° 1 b a1 23 23 32 23 2cosA 1 12 221 0 tanA 0 3 不存在 （2）锐角三角函数值的性质。 锐角三角函数的大小比较：

在0??A?90?时，随着A的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小. 即：sinA是增函数，cosA减函数。

1锐角三角函数值都是正数。 ○

2当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。 ○

3、 同角、互余角的三角函数关系：

1、同角三角函数关系：sinA?cosA?1.tan??22sin?cos?；cot??；tan??cot??1 cos?sin?2、互余锐角的三角函数关系：sinA?cosB?cos(90??A)，cosA?sinB?sin(90??A)。

解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过

程，叫做解直角三角形。

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直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型 已知条件 一条边和一个锐角 斜边c和锐角A 直角边a和锐角A B=90°-A，b=acotA，c?两条边 两条直角边a和b 解法 B=90°-A，a=csinA，b=ccosA，s=csinAcosA 2asinA，s?12acotA 2c?直角边a和斜边c a2?b2，由tanA?a1，求角A，B=90°-A，S=ab b2a122，求 角A，B=90°-A，S=ac?a c2b?c2?a2，由sinA?知识梳理：

二、精典例题

第一部分：锐角三角函数的运算

一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：

例1：如图所示，则sinD???,cosD???,sinE???,cosE???。 [考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的概念 [参考答案]sinD=

313213213313，cosD=，sinE=，cosE=。 13131313例2：在Rt?ABC中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角A的正弦值和余弦值（）

（A）都没有变化 （B）都扩大4倍 （C）都缩小4倍 （D）不能确定

[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义和性质，通过计算可以知道正弦值和余弦值，只与直角三角形中锐角的大小有关。 [参考答案].故应选A.

例3：已知：?A为锐角，并且sinA?5，则cosA的值为 . 12第 2 页 共 30 页

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[考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义。 [参考答案] cosA?12 13例4：（08年密云一模）6．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为

Ａ．A 5 5 Ｂ．25 5

1 Ｄ．2 2 [考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义

[参考答案] D

Ｃ．

O B

例5：.某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹

角最小为a,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为 (如图1-15-23.小明想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光, 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β 的相应数据:∠α=24 °36′,∠β=73°30′,小明又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1) 当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图), 帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m) 以下数据供计算中选用

sin24°36′=0.416 cos24°36′=0.909 tan24°36′=0.458 cot24°36′=2.184 sin73°30′=0.959 cos73°30′=0.284 tan73°30′=3.376 cot73°30′=0.296

[考点透视]本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得BC、CD的长

[参考答案] .解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=

,∠CDB=∠α, ∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα.

在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β, ∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ

∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD(tanβ-tanα).

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∴CD=≈0.57(m).

∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.458≈0.26(m). 答:BC的长约为0.26m,CD的长约为0.57m.

[说明]求解时应特别注意发挥数形结合的作用.

例6：已知2+3是方程x2?5xsin??1?0的一个根，求cos?的值（?为锐角）.

[考点透视]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径． [参考答案] cos??13。 5二、特殊角的正弦余弦值：

例7：求下列各式的值：

cos45000?4sin45?cos30 （1）sin45?cos60； （2）. 00sin60?sin902020[考点透视]本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90°=1。 [参考答案]（1）3，（2）-2

4例8：（08年顺义一模）19．已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE． 求sin?ACE和tan?ACE的值．

[考点透视]本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用。 解：过点E作EF?AC于点F， ∵四边形ABCD是正方形， EADAEDBC∴?BAD?90?,?D?90?,AC平分?BAD，

F AD?DC． ∴?CAD?45?，AC?∵E是AD中点， ∴AE?DE?2AD．

BC1AD．??????????1分 25x．

设AE?DE?x，则AD?DC?2x，AC?22x，CE?在Rt△AEF中，EF?AE?sin?CAD?22x，AF?EF?x．??2分 22∴CF?AC?AF?22x?23x?2x．????????????3分 22第 4 页 共 30 页

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2xEF102∴sin?ACE?，????????????????4分 ??CE105x2xEF12 tan?ACE???．????????????????5分 CF332x2

三、解直角三角形

例9（08年平谷二模）19．如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30?.再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60?，求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计，结果精确到1米;可能用到的数据3?1.73,2?1.41）

[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用

解：19． 解：依题意∠F=30°，∠BEC=60°.∴∠FBE=∠BEC-∠F=60°-30°=30°.∴EF=EB=20. 在Rt△BEC中∵∠BCE=90°,∴sin∠BEC=CB.∴CB?sin?BEC?BE=sin60°×20=103?17.

BE答：宣传条幅BC的长约为17米.

例10一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．

[考点透视]主要考察解直角三角形中方向角的应用

解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12点到达C点，

且有 PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；

于是，在△ABP中，有 N AB＝PB＝AP cos45°

P 22?k. ＝k ?22在△PBC中，又有

BC＝PB tan30° A ＝ 所以 AC＝

236k??k， 236B C 2632?6k?k?k. 26632?632?66可知船的航行速度为 v?． ?424第 5 页 共 30 页

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第二部分：锐角三角函数的应用

一、锐角三角函数的应用

例1 1．如图所示，设A城气象台测得台风中心在A?城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km?的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？

(08年门头沟二模)18．如图，小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的 仰角为60?；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得 塔顶B的仰角为30?，求塔BC的高度．

[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用

BEx3?解: 设BE=x米．在Rt△BDE中，∵ tan30?， ∴．∴ DE=3x． ?DEDE3∵ 四边形ACED是矩形，∴ AC=DE=3x，CE=AD=18．在Rt△ABC中， ∵ tan60??x?18BC， ∴?3∴ x=9．∴ BC=BE+CE=9+18=27(米)． AC3x

例2 （08年平谷一模）17．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27?0.45，cos27?0.89，tan27?0.51）

???[考点透视]主要考察解直角三角形中仰角俯角的应用 解：作CD?AC交AB于D,

则∠CAB?27?．??????????????????????????1分 在Rt△ACD中，CD＝AC·tan∠CAB ································································ 2分

＝4×0.51＝2．04（米） ······························································· 3分 所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险． ············································· 4分

4m 二楼 A

C

4m

一楼 二、综合问题

例3 （08年顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1

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30°45°4m

27°

B

ADEBC 龙文学校 教师一对一

www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ 米，参考数据：2?1.414,3?1.732,6?2.449）

[考点透视]主要考察解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应用

解：过点A作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，∵∠ABF=45°，AB=20，∴

AF?AB?sin45??20?2?102．∴ 2BF?AF?102．在Rt△AEF中，∠EAF=90°-∠E=90°-30°=60°．∴EF?AF?tan60??102?3?106．∴BE?EF?BF?106?102?10(6?2)?10(2.449?1.414)?10.4（米）．

答：整修后需占用地面的宽度BE的长约为10.4米．

30°

E

例4 18. 已知：如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，AD=5，CD=6，tanB=3，

求：梯形ABCD的面积。

CBAD45°BFCDA[考点透视]：解直角三角形在四边形中的应用，解此类问题通常是构建直角三角形，然后利用解直角三角形解

答。

解：过D做DM⊥BC于M，过A做AN⊥BC于N则∠DMC=∠ANB=90°∴四边形ANMD为矩形

∴ AD=MN=5 ∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD， ∠ADC=120°∴∠DCB=60° AN=DM， 在Rt△CDM, ∠CDM=30°,CD=6∴ CM=3 , DM=3

3 在Rt△ABN, tanB=3=

梯形

∴k=

3 ∴S

AN设AN=3k , BN=k∵DM=AN=33 BN(AD?BC)DM(5?3?5?3)33393?9??= ABCD

222

注：关于解直角三角形的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌

握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．

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三．适时训练

（一）精心选一选

1．（08年通州一模）7. 如图, AB是⊙O的直径, CD是弦, 且CD⊥AB, 若BC=8,

AC=6, 则sin∠ABD的值为 A.

4343 B. C. D. 34552223 B．cosB= C．tanB= D．tanB= 33322．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）

A．sinB=

3．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（11113333，） B．（-，） C．（-，-） D．（-，-） 222222224．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．?某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）

A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米 5．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，?使午间光线不能直接射入室内（如 图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（ ）

A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．

1.8m D．1.8cot80°m

sin80?6．如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则山的高BC大约是(精确到0.01)( ).

A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m

7．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30?°和60°，则塔高CD为（ ）

A A．200m B．180m C．150m D．100m 8、（08年西城二模）. 在Rt?ABC中,?C?90,sinA=A.

?3,则cosB=（ ）. 5BC9、（07年昌平一模）5.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（ ）

A. B. C. D.

10、（07年昌平二模）7．已知在?ABC中，?A、?B都是锐角，

5433 B. C. D. 3545

?3?1sinA??cosB??0，则?C的度数是 ????2?2?Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90° 11、（07年朝阳一模）7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

24，则tanB的值为 5第 8 页 共 30 页

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A．

4334 B． C． D． 345512、.如图,测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度,选M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°, 在比例尺为1:50 000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm, 则山顶P的海拔高度为( )

A.1 732m; B.1 982m; C.3 000m; D.3 250m

13（07年海淀二模）6.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：

如图2，假设赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量 ∠A的度数，则AB等于（ ） A.

ACcosAACsinA B. C. D. cosAACsinAAC14（07年怀柔一模）7、根据右图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是

A、0.43 B、0.26 C、0.90 D、223

15（07年怀柔二模）7、一架飞机在800米的高度观察到底面上一导航灯的俯角为?，则此时飞机与该导航灯的距离是 A、

800800800800米 B、米 C、米 D、米

tg?ctg?cos?sin?

（二）细心填一填

16．(08年宣武一模)10、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10㎝，sinA=答案：（8）

17．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．答案：1

18．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．答案：4，则BC的长为 ㎝。52 319．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，?这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（?保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）答案： 17米

20．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，?需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽

a=3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m．答案：183米

2

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龙文学校 教师一对一

www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ 21（07年延庆二模）3. 在ΔABC中，∠A和∠B都是锐角，且sinA?小关系是 。答案： ∠C>∠B>∠A

21，cosB?，则ΔABC三个角的大

22

三、认真答一答

22．如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC. (1)求证:AC=BD;

(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.

答案.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中, ∵tanB=,cos∠DAC=, 又tanB=cos∠DAC,

∴ =,∴AC=BD.

(2)解:在Rt△ADC中,由sinC=,可设AD=12k,则AC=13k,由勾股定理,得CD=5k,又由(1)知BD=AC=13k, ∴

13k+5k=12,解得k=

, ∴AD=8.

23．.已知,如图,A、B、C 三个村庄在一条东南走向的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°, 今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地,试求绿化用地的面积.(结果精确到0.1km2,sin28°=0.469 5,cos28°=0.882 9, tan28°=0.531 7,cos28°=1.880 7)

答案:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°, ∴∠ADB=45°,∴BD=AB=2km. 在Rt△BCD中, ∵cot

∠BCD=,∠DCB=28°, ∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28°≈3.75(km).

∴S△ACD=

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AC·BD≈5.76(km2). ∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为2.6km2.

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24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切值;提供数据:

)

答案:如图,作EG⊥FB于G,DH⊥FB于H,记堤高为h,则EG=DH=h. 由tan∠DAH=1:1=1, 得∠DAH=45°.

∴h=DH=ADsin∠DAH=8sin45°=8× 由tan∠F=EG:FG=1:2, 得FG=2EG=2h= ∴FA=FH-AH=(FG+GH)-AH=(

+ED)-, =

, ∴AH=DH=,

+1.6,

∴海堤断面增加的面积S梯形FADE=(ED+FA)·h≈6.4

×1.41+16≈25.0(m2)

∴工程所需土方=96×S梯形FADE≈96×25.0=2 400=2.4×103(m3). 答:完成这工程约需土方2.4×103m3.

25（08年延庆一模）18．如图7，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ACB=45°，翻折梯形ABCD，使

点C重合于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12， 求：（1）CE的长；（2）∠BAE的正切值． AD

F

答案：∵翻折梯形ABCD

∴∠ACE=∠EAC=45°，AE=EC

∴∠AEB=∠AEC=90° ……………1分 B 过D做DM⊥BC交BC于M，则∠DMB=90° ∴四边形AEMD为矩形 ∴ AD=ME=3

∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD

∴∠ABC=∠DCB AE=DM， …………2分 在△ABE和△DMC ∠AEB=∠DMC =90°

AB=CD AE=DM

∴ △ABE≌△DMC ∴BE=CM

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EC 龙文学校 教师一对一

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∴BE=CM =(12-3)÷2=4.5 ……………………3分

∴CE=7.5 ……………………4分

在△BAE中，tan∠BAE=

BEBE4.53???…………………5分 AECE7.55图7

26（08年通州二模）22. （本小题满分4分） 一筑路工程需要测量某河段的宽度.如图①，一测量员在河边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得?ACB?68. （1）求所测之处的河宽（sin68?0.93,cos68?0.37,tan68?2.48.）； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形.

22．（1）在Rt?BAC中，?ACB?68，∴AB?AC?tan68?100?2.48?248（米）

答案：所测之处的河宽约为248米（2）表述无误，从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即得满分.

27（09年海淀一模）19、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；

C（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长. OB答案（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°. ∴ ∠EAB+∠E=90°. ????????1分 EAD ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， C∴ ∠EAB+∠BAD =90°.

OB∴ AD是⊙O的切线. ????????2分

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.

∵ AE=2AO=6, AB=4, DA??????∴ BE?AE2?AB2?25. ???????????????????3分

∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,

∴ cos?BAD?cos?E. ???????????????????4分 ∴

即ABBE?.ADAE425?.AD6

∴ AD?

125. ???????????????????5分 5第 12 页 共 30 页

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28（08年昌平区二模）18．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭B ＝B 子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC60°，观测小树尖D的仰角∠DAE．．．

＝45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．(结果精确到 D D0.1．2?1.41，3?1.73)

答案．解：根据题意得：∠C=∠E=90°.

在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°,

C ∴ ∠D=∠DAE=45°. C ∵ DE=2,

∴ AE=DE=2. ???????????????? 1分

∵ A为CE的中点,

∴ AC=AE=2. ?????????????????? 2分 在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°, ∴tan?BAC?BC?3. ????????????? 3分 ACAA EE ∴BC=23. ??????????????????? 4分 ∴BC≈2×1.73≈3.5 .

答：小亭子高约为3.5米. ??????????????? 5分

?的中点，DP?AC,垂足为点P. 29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC（1）求证：PD是⊙O的切线.

（2）若AC=6, cosA=

答案.（1）证明：如图：连接 OD，AD. ∵D为弧BC的中点， ∴弧CD = 弧BD. ∴?1??2?∵?2?PCD得分 3，求PD的长. 5AOB1?PAB. 21?BOD， 2∴?PAB??BOD.

∴PA∥DO . ?????????????????????1分 ∵DP⊥AP， ∴∠P=90°.

∴∠ODP=∠P=90°. 即 OD⊥PD. ∵点D在⊙O上，

第 13 页 共 30 页

1PCDE2AOB 龙文学校 教师一对一

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∴PD是⊙O的切线. ?????????????????????2分 （2）连结CB交OD于点E. ∵AB为⊙O直径 ， ∴∠ACB =∠ECP=90°. ∵∠ODP=∠P=90°， ∴四边形PCED为矩形.

∴PD = CE，∠CED = 90°.???????????????????3分 ∴OD⊥CB.

∴EB = CE. ???????????????????????4分 在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，

∴cosA =

AC. AB3， 5∵AC = 6 , cosA = ∴AB = 10 . ∴BC = 8 . ∴CE=PD=

1 BC = 4. ??????????????????????5分 2得分 30．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为 上 一点，AB=10，AC∶BC=3∶4．

（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC长； （2）当点P为 的中点时（如图②），求PC长．

答案：(1)在⊙O中，如图①∵AB是直径， ∴∠ACB＝90゜．∵点P与点C关于AB对称, ∴PC⊥AB，且CD＝DP．∴由三角

形面积得：CD?AB?∴由勾股定理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝AC?BC ∵AB＝10，AC:BC?3:4，

6?8∴PC?4.8 ．

10＝2CD＝9.6．(2) 过点B作BE⊥PC于点E，连结PB由(1)得AC＝6，BC＝8．∵点P为 的中点，∴∠ACP＝∠BCP＝45°在Rt△BEC中，可求得CE＝BE＝42

∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴

BCBE?ACEP

．∴EP

?AC?BE6?42??32．∴PC＝CE＋EP＝42?32?72．

BC8

31（08年大兴区一模）如图，某人在A处测得电视塔尖点C的仰角为60?，沿山坡向上走到P处，测得点C的仰

11角为45?，已知OA?100米，山坡坡度为（即tan?PAB?）且点O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的

22第 14 页 共 30 页

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www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ 高度以及此人所在位置点P到OB的距离．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）.

答案．解：由题意知，CO?OB，

过P作PE⊥OB于点E，

PF⊥CO于点F，?????????1分 ∴∠FOE=∠OEP=∠PFO=90° ∴PFOE为矩形. ∴PF=OE，FO=PE.

在Rt△AOC中，AO=100， ∠CAO=60°，

∴CO=AO·tan60°=1003（米）????????????????????????2分 ∵tan∠PAB=

PE1? AE2∴设PE=x,AE=2x. ??????????????????????????????3分 ∴PF=OE=OA+AE=100+2x PE=OF= x

∴FC=OC－OF=1003?x

在Rt△PCF中，由题意知∠CPF=45°，

∴FC=PF. ??????????????????????????????????4分 ∴100?2x?1003?x， 解得x?100(3?1)（米）. 3100(3?1)米．??????????????5分 3答：电视塔OC高为1003米，点P到OB距离为

32. 如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连

接BC．

E（1）求证：BE为⊙O的切线； C（2）如果CD=6，tan∠BCD=

1，求⊙O的直径的长． 2OMB

A

答案（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，

∴CD⊥AB. ??????????????? 1分 ∴∠AMC＝90°. ∵BE∥CD，

∴∠AMC＝∠ABE. ∴∠ABE＝90°，

D第 15 页 共 30 页

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即AB⊥BE.

又∵B是⊙O上的点，

∴BE是⊙O的切线. ???????????????? 2分

（2）∵M是CD的中点，CD=6， 1 ∴CM=CD=3.

2 在Rt△BCM中，

∵tan∠BCD= ∴

BM1=, 32BM1=, CM23∴BM=. ?????????????? 3分

2又∵AB是⊙O的直径， ∠ACB＝90°.

∵CM⊥AB于M，

∴Rt△AMC∽Rt△CMB.

∴

AMCM, ?CMBM∴CM2?AM?BM.

3∴32?AM?.

2∴AM=6. ????????????????? 4分 315∴AB=AM+BM=6+=. ??????????????? 5分

22即：⊙O的直径的长为

15. 233（08年大兴区二模）17.如图,电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45?角，

?A?60?，CD?4m，BC?(46?22)m，则电线杆AB的长为多少米？

答案 解：延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F， ∵∠DCF=45°，又CD=4，∴CF=DF=22，

由题意知AB⊥BC， ∴∠EDF=∠A=60°，∴∠DEF=30°∴EF=26，BE=BC+CF+FE=66.在Rt△ABE中，∠E=30°，所以AB=BEtan30°=66?6

3?62（m）.∴电线杆AB的长为32米.

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34（本题满分5分）如图，AB 是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，（1）求证：CD是半⊙O的切线； （2）若OA

AC?CD.

?2，求AC的长.

答案．（1）连结OC ∵OA=OC，∠A=30°∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60° 又∵AC=CD，∴∠A=∠D=30°.∴∠OCD=180°

－60°－30°=90° ∴CD是半⊙O的切线（2）连结BC∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ABC中，∵cosA=AC=23

3AC AC=ABcosA=4×?23∴

2AB

35（08年东城区二模）20. 如图，A，B两镇相距60km，C镇在A镇的北偏东60方向，在B镇的北偏西30方向． C镇周围20km的圆形区域内为文物保护区，有关部门规定，该区域内禁止修路．现计划修筑连接A，B两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？(3?1.7)

答案：作CD?AB于D，由题意知：∠CAB?30∠CBA?60

????北 C 60 ?北

30?

A 20

B

∠ACB?90??∠DCB?30?．?在Rt△ABC中，BC?中，CD?1AB?30． 在Rt△DBC2BCcos30??30?3 =153?153?20,答：这条公路不经过该区域． 236. 如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E。过点D作DF⊥AC，垂足为点F.（1）判断DF与圆O的位置关系，并证明你的结论；

A （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H。若等边△ABC的边长为4，求FH的长（结果保留根号）。 D

B F E O H (第21题图)

C

答案：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB=

40，∠ACB=45， 3AD=2，求DC的长. 过点A作AE⊥BC于E，AF∥DC,交BC于F. 在Rt△AEB中，∠AEB=90°, tanB=

DAAE4AE4 ?tanB=∴=设AE=4x, 则BE3BE3第 17 页 共 30 页

CB 龙文学校 教师一对一

www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ BE=3x?AE2?BE2?AB2∴(4x)?(3x)?5 ∴x=1∴AE=4,BE=3

在Rt△AEC中, ∠AEC=90°,∠ACE=45°∴∠CAE=45°∴AE=EC=4?AF∥DC ,AD∥BC

∴四边形ADCF为平行四边形∴AF=CD,CF=AD?AD=2∴CF=2∴EF=CE-CF=4-2=2在Rt△AEF中, ∠AEF=90°,由勾股定理得AF=25∴DC=25.

37（08年房山区一模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．如图所示，一学生在点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在北偏东59的方向上，沿河岸向东前行20米到达B处，测得C在北偏东45的方向上，

请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan59?

答案：过点C作CD⊥AB于D．---------1分

???222531 ,tan31??,sin31??）

352北设CD=x，

在Rt△BCD中,∠CBD=45?, ∴BD=CD=x.--------------------------2分 在Rt△ACD中,∠DAC=31?,

DA东BAD=AB+BD=20+x，CD=x CCD∵tan?DAC?

AD3x∴?-------------------------------------------------------------------------4分 520?x∴x?30

答：这条河的宽度约为30米．-------------------------------------------------5分 38（08年房山区一模）19．（本小题满分5分）

如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交?O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连结AD、BE，

1E 若sinA?，∠BED=30°．

2B （1）求证：AD是⊙O的切线； A C F O （2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；

（3）若?O的半径R?2，试求CE的长．

D

答案：（1）连接OD．---------------------------------------------------------1分

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∵?BED?30?，

??AOD?60?，

∵sinA?1 2∴∠A=30? ∴∠A+∠AOD=90? ∴∠ADO=90?

∴ AD是⊙O的切线．--------------------------------------------------------------2分

（2）△DCE是等边三角形．理由如下： ?BC为?O的直径且AC?DE．

??CD?． ?CE?CE?CD．-----------------------------------------------------------------------------3分 ?BC是?O的直径，

??BEC?90?， ??BED?30?， ??DEC?60?，

?△DCE是等边三角形．-------------------------------------------------------------4分 （3）??O的半径R?2． ?直径BC?4

∵△DCE是等边三角形， ∴∠EDC=60? ∴∠EBC=60? 在Rt△BEC中，

CE， sin?EBC?BC?CE?BCsin60??4?3?23---------------------------------------------------5分 2

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39（08年丰台区一模）如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑50米到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑200米到离B点最近的D点，再跳入海中．若三名救生员同时从A点出发，他们在岸边跑的速度都是5米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．

B

答案：在△ABD中，?A?45?，?D?90?, AD?200． ∴

AD＝2002．????????????1Acos45? BD＝AD?tan45??200． AB?在△BCD中，

C

D分

CD?200?50?150

∴BC?BD2?CD2?2002?1502?250．?????2分

∴1号救生员到达B点所用的时间为

2002?1002（秒）?????????????3分 22号救生员到达B点所用的时间为

50250， ??10?125?135（秒）

523号救生员到达B点所用的时间为

200200．????????4分 ??40?100?140（秒）

52?135?140?1002，

∴2号救生员先到达营救地点B． ??????????5分

40（07年昌平二模）18．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量一棵银杏树AB的高，他们来到与银杏树在同一平地且相距18米的建筑物CD上的C处观察，测得银杏树顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.

A 求银杏树AB的高（精确到1米）.（可供选用的数据：2?1.4???,3?1.7）.

答案：?1?30,?2?45,?4??5??ABD??CDB?90 BD=18，????????1分

o

∴∠DCB=∠DBC=45 ∴CD =BD =18

∴四边形CDBM是正方形

第 20 页 共 30 页

CAC124M5MD3BBD

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www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ ∴CD=BM=CM=18????????2分 在Rt?ACM中

tan?1?AM CM?∴AM?CM?tan30?18?3?63????????3分 3∴AB?AM?BM?18?63????????4分

?AB?28（米）????????5分

答：银杏树高约28米.

41（07年昌平二模）24．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论； （2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；

（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.

A

EFE

BBCD

答案： （1）结论：AF=BE，??????? 1分

图1 连接AD

∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点 ∴AD=BD=DC=

AFCAEB图3 FDCD图2 1BC ， ∠ADB=∠ADC=90° 2 ∴∠B=∠C=∠1=∠2=45° ∴∠3+∠5==90° ∵∠3+∠4==90° ∴∠5=∠4 ∵ BD=AD ∴∠B=∠2

∴?BDE??ADF

∴BE=AF????????3分

（2）由（1）BE=AF 又∵AB=AC ∴AE=CF 在Rt?AEF中，EF?AE?AF

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222AFEBDC 龙文学校 教师一对一

www.lwgxh.com龙文学校个性化辅导资料 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ ∴EF2?BE2?FC2????????6分

（3）（1）中的结论BE=AF不成立??????????? 7分 ∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90° ∴∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90° ∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90° ∴∠B=∠2 ， ∠5=∠4 ∴?BDE∽?ADF

AE12453DFCAFAD3∴????????9分 ??tan30??BEBD3B 42（09大兴二模）23．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB上一点，连PD. (1)求点B的坐标； (2)当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标； (3)当∠CPD=∠OAB，且

答案：（1）作BQ⊥x轴于Q.∵四边形OABC是等腰梯形，∴∠BAQ=∠COA=60°在Rt△BQA中，BA=4， ∴BQ=AB·sin∠BAO=4×sin60°=23 AQ=AB·cos∠BAO=4×cos60°=2， ∴OQ=OA－AQ=7－2=5点B在第一象限内，∴点B的坐标为（5，23）

（2）若△OCP为等腰三角形，∵∠COP=60°， ∴△OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若△OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上， ∴点P的坐标为（4，0） 若△OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为（－4，0）∴点P的坐标为（4，0）或（－4，0）

（3）∵∠CPA=∠OCP+∠COP 即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP 而∠CPD=∠OAB=∠COP=60° OPOCBD5 ∴OP·AP=OC·AD∵??

ADAPAB855533∴BD=AB=，AD=AB－BD=4－= ∵AP=OA－OP=7－OP ∴OP（7－OP）=4×

28222BD5=，求这时点P的坐标. AB8 ∴∠OCP=∠DPA ∵∠COP=∠BAP∴△OCP∽△APD ∴

解得OP=1或6∴点P坐标为（1，0）或（6，0）

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图24-1 图24-2 图24-3

43（09昌平二模）18．如图，点P在半?O的直径BA的延长线上，AB?2PA，PC切半?O于点C，连结BC. （1）求?P的正弦值；

（2）若半?O的半径为2，求BC的长度.

C

答案：（1）证明：如图，连接OC． ∵PC切半?O于点C，

PACOB??PCO?90?．???????1分 D∵AB?2PA，

P?PA?OA?OB?OC．

AOBOC1在Rt△PCO中，sin?P?·············································································· 2分 ?．·

OP2（2）过点O作OD?BC于点D，则BC?2BD． ························································· 3分

1?sin?P?，

2??P?30?， ??POC?60?． ∵OC?OB，

??B??OCB?30?． 在Rt△OBD中，OB?2，

?BD?OB?cos30??3． ································································································ 4分 ?BC?23．

44、(8分)如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB=400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？

答案：不会穿过居民区。

过A作AH⊥MN于H，则∠ABH=45°，AH=BH

设AH=x，则BH=x，MH=

3x=x+400，∴x=2003+200=546.1＞500∴不会穿过居民区。

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45、(10分)如图，点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段

AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角； (1)若二次函数y=－x2－

5kx+(2+2k－k2)的图象经过A、B两点，求它的解析式。 2 (2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由。

答案：tanα·tanβ=k2―2k―2=1 ∴k1=3（舍），k2=－1 ∴解析式为y=―x2+

5x―1 2（2）不在。

46．（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线

上．那么点C，A，E在同一条直线上；

①在图1中，作?ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；

得分

②猜想：线段BF，CE的关系，结论是： .

得分 （2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2, 连结CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明,若不成立，请说明理由.

C

B得分 CBD

AD图2

A 图1 E 答案：（1）①画图．???????????????1分

E1 ②结论是：BF⊥CE，BF=CE．?????3分

2（2）如图.

CF1①证明BF=CE.

2∵BF为∠ABF的平分线,∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABF=45°.

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BADHE 龙文学校 教师一对一

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∵DF⊥BF, ∴∠F=90°．

∵点B,A,D在同一条直线上, ∴△BFD为直角三角形. ∴cos∠FBD=∴BF=

BF. BD2BD． 2又∵Rt△ABC≌Rt△EDA, ∴BC=AD,BA=DE. 设BC=AD=a,BA=DE=b, ∴BD=a+b. ∴BF=

2?a?b?． ??????????????????????4分 2过E作EH∥BD交CB的延长线于H. ∵∠CBA=90°, ∠ADE=90°， ∴∠CBA=∠ADE． ∴CH∥DE．

∴四边形BHED为矩形. ∴BH=DE=b,HE=BD=a+b. ∴CH=a+b．

∴△HCE等腰直角三角形.

由勾股定理,得CE=2?a?b?．????????5分 ∴BF=

1CE． ?????????????????????????6分 2②证明BF⊥CE．

∵Rt△CHE是等腰直角三角形, ∴∠HCE=∠HEC=45°. ∵∠FBC=45°,

∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°

∴BF⊥CE. ??????????????????????????7分 ∴BF⊥CE, BF=

1CE仍然成立. 2

47.已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点. （1）求m，n的值；

（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C

的解析式；

（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD

为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：：（1）∵抛物线的对称轴为x??2，

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∴m??4． ----------------------------1分 ∵抛物线与x轴只有一个交点 ，

∴ m2?4n2?0 ．

∴ n?4． ---------------------------2分 （2）∵m??4 ，n?4， ∴y??x?4x?4． ∴y??(x?2)．

∴抛物线C的解析式为 y?x?1 ． ---------------------------3分 222 （3）假设点D存在，设D(a,b)． 作DH?y轴于点H，如图． 则DH?︱a︱，BH?︱b－1︱． 由△DPB为等边三角形，

得Rt△DHB中，∠HBD=60°．

PD2D4HBOD1D3xyDH ∴tan60??．

BHa3? ∴．

b?1 ∴a?3(b?1)．

∵D(a,b)在抛物线C上 ， ∴b?a?1． ∴b?3(b?1)?1． ∴b?2或b?22221． 323． 3231231,),D4(?,) ． --------------------7分 3333 ∴a??3或a?? ∴满足条件的点存在，分别为 D1(3,2),D2(?3,,2),D3(48．已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点

E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x.

（1）用x的代数式表示△AEF的面积； （2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE

重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围.

答案：(1)解：在等边△ABC中

作AD⊥BC于D，交EF于H ∴ BD=DC=BC?a

又∵ tan?ABD? tan60°=

AD BD12 ∴ AD=3a ???1分 ∵ EF∥BC

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??AEF∽?ABC

AHEF ∴ =

ADBC

AH3a=

x 2a ∴ AH=

3x ????????????2分 2 ∴ S△AEF=

1AH×EF 213232

x=x ????????????3分

422 S△AEF=

(2) 解：①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时 y=

32

x (0＜x≤a ） ??????????4分 4

②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A′处时，

A′F交BC于M， A′E交BC于N，连结AA′交EF于H， 交BC于D AHx ∴ =

AD2aAHx ∴ =

HD2a?x 又 ∵ AH= A′H

A'Hx ∴ =

HD2a?xA'Hx ∴ '=

AD2x?2a ∴

S?A'EFS?A'MNx?2?=?? ????????????5分 ?2x?2a?第 27 页 共 30 页

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32xx24 =

S?A'MN?2x?2a?2 ∴ S△A’MN=

3?2x?2a?2 4 ∴ S四边形MFEN=

323?2x?2a?2 ?????????????6分 x-44 ∴ y=-

332x?23ax?3a2 (a＜x＜2a ） ????????7分 449．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交 ⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若⊙O的半径等于4，tan?ACB?4，求CD的长. 3答案：（1）直线BD与⊙O相切．

证明：如图3，连结OB．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分

∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D， B3 ∴ ∠2=∠CBD． A1D2C∵ AB∥OC ，

O∴ ∠2=∠A ．

∴ ∠A=∠CBD．

∵ OB=OC，

图3 ∴ ?BOC?2?3?180?，

∵ ?BOC?2?A，

∴ ?A??3?90?．

∴ ?CBD??3?90?．

∴ ∠OBD=90°．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 ∴ 直线BD与⊙O相切． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 （2）解：∵ ∠D=∠ACB ，tan?ACB?，

∴ tanD?．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分

在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，tanD?， ∴ sinD?，OD?45OB?5． sinD434343∴ CD?OD?OC?1．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分

50．已知：PA?2，PB?4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB 的两侧.

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB的大小.

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答案：（1）①如图11，作AE⊥PB于点E． - - - - - - - - - - - - -1分 ∵ △APE中，∠APE=45°，PA?2，

2?1， 22 PE?PA?cos?APE?2??1．

2 ∵ PB?4，

∴ BE?PB?PE?3．- - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

∴ AE?PA?sin?APE?2?∴ AB?DP'APEBCAE2?BE2?10．- - - - - - - - - - - - -3分

②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P?AB， 可得△PAD≌△P?AB，PD?P?B,PA?P?A．

∴ ?PAP?=90°，?APP?=45°，?P?PB=90°．

图12 ∴ PP??2PA?2．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 ∴ PD?P?B?PP?2?PB2?22?42?25．- - - - - - - - - - - - - -5分

解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的 延长线交PB于G． D 在Rt△AEG中，可得 CAG?AEAE10， ??cos?EAGcos?ABE3GAB12EG?，PG?PB?BE?EG?． PFE33图13 在Rt△PFG中，可得PF?PG?cos?FPG?PG?cos?ABE?1010，FG?． 515- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分

在Rt△PDF中，可得 PD?PF2?(AD?AG?FG)2 =(10210102)?(10??)?20?25． 5315- - - - - - - - - - - - - - - - -5分

（2）如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P?AB， PD 的最大值即为P?B的最大值.

∵ △P?PB中，P?B?PP??PB，PP??2PA?2，PB?4，

且P、D两点落在直线AB的两侧，

∴ 当P?、P、B三点共线时，P?B取得最大值（见图15）.

此时P?B?PP??PB?6，即P?B的最大值为6.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分 此时∠APB=180°－?APP?=135°.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7分

DD

CC

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