机械工程控制基础系统数学模型chapter2

系统的数学模型

第二章 系统数学模型数学模型：描述系统特性，揭示变量之间的关系数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学 表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 机械工程控制中数学模型有多种形式: 时域中有：微分方程、差分方程和状态方程； 复数域中有：传递函数、结构图； 频域中有：频率特性等。 本章主要内容： 列写微分方程的一般方法； 非线性微分方程的性线化； 传递函数的概念、方框图及其简化

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 数学模型：描述系统特性，揭示变量之间的关系 建立数学模型的方法 分析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应 的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的 数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理 线性系统与非线性系统：能用性线微分方程描述的系统是线性系统否则 是非线性系统。 线性定常系统： 线性时变系统：.. 非线性定常系统： o (t ) 3 x x . o 2 (t ) 7 xo (t ) 4 xi (t ) 5 xi (t )

线性系统的叠加原理： 线性系统在多个输入的作用下， 其总输出等于各个输入单独作用 下所产生的输出之和。

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 微分方程：时域中描述系统动态特性的数学方程 列写微分方程式的一般方法：

1、确定系统的输入量、输出量。(注意：输入量包括给定输入量和扰动量)2、按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的物理定 理写出各个环节的微分方程；(负载效应，非线性系统的线性化) 3、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程； 4、变换成标准形式。将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关 的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列；

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 典型所遵循的物理定律 机械系统： 质量元件：

弹性元件：

阻尼元件：

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 典型所遵循的物理定律 电网络：

1 容性元件： u (t ) i (t ) dt C

di (t ) 感性元件：u (t ) L dt

阻性元件： u (t ) Ri(t )

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第二章 系统数学模型微分方程举例 第一节 系统微分方程

例2-1:试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出 输入为f,输出为x。 2、根据牛顿第二定律列出原始微分方程

3、整理

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第二章 系统数学模型微分方程举例 第一节

系统微分方程

例2-2:试列出如图所示机械系统的微分方程。J —旋转体转动惯量；K1 —扭转刚度系数 B1 —粘性阻尼系数

1、明确系统的输入和输出 输入为T,输出为x(t)。 2、列出原始微分方程

T K ( o )K ( o ) J B1 rf.. .

f m x B2 x k 2 xx r3、消除中间变量，并整理得：.. .

..

.

( J m r ) x ( B1 B2 r ) x k2 r 2 x rT2 2

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第二章 系统数学模型微分方程举例 第一节 系统微分方程

例2-3:试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出 输入为ui(t),输出为uo(t)。

L

R

ui(t)2、列出原始微分方程

i(t)

C

uo(t)

di 1 ui (t ) L iR i (t )dt dt C 1 uo (t ) i (t )dt 或 C

R-L-C无源电路网络

i C

duo dt

3、消除中间变量，并整理得：

d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

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第二章 系统数学模型微分方程举例 第一节 系统微分方程

例2-4:试列出如图所示机械系统的微分方程。 1、明确系统的输入和输出 输入为ui,输出为uo。 2、列出原始微分方程 1 i1 R1 (i1 i2 )dt ui C1i2 R2 1 1 i2 dt (i1 i2 )dt C2 C1uiR1 u1

R2

i1

C1

i2

C2

uo

负载效应

本例中如果看成两个RC电路,不考虑后一 级RC电路的负载作用,结果就错误了。

1 i2dt uo C23、消除中间变量，并整理得：

d 2uo duo R1C1 R2C2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) u 2 ui 2 dt dt

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第二章 系统数学模型微分方程举例 第一节 系统微分方程

例2-4:直流电机驱动力系统。 1、明确系统的输入和输出 输入为ua,干扰输入为ML,输出为ω。 2、列出原始微分方程 电枢回路电压平衡方程为:

ua Ra ia L

dia ed dt

ed k d cd为电动机的反电势系数

ua Ra ia L

dia kd dt

2.1.1

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力矩平衡方程为: 设J为转动部分折算到轴上的总的转动惯量,M为电动机的电磁力矩,则电 机转子运动方程为: d J M ML dt M与电流i成正比:J

M k mia中间变量

Km为电动机电磁力矩常数。ia 1 J d ML km k m dt

d k m ia M L dt

电枢回路电压平衡方程为 3、消除中间变量：

dia ua Ra ia L kd dt

1 J d d( ML ) km k m dt a 1 J d ua Ra ( M L ) L kd km k dt dt

系统的数学模型

1 J d d( ML ) km k m dt a 1 J d ua Ra ( M L ) L kd km k dt dt4、整理得：

Ra JRa d L dM L LJ d 2 ua ML kd 2 km k dt km dt km dt5、标准形式：

Ra LJ d 2 JRa d Ra 1 L dM L ua ML 2 kd km kd dt km kd Ra km kd dt km kd dtd 2 d dM L TaTm 2 Tm Cd ua CmTa Cm M L dt dt dt

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第二章 系统数学模型微分方程的增量化表示 第一节 系统微分方程

例2-5:直流电机驱动力系统。

d 2 d dM L TaTm 2 Tm Cd ua CmTa Cm M L dt dt dt若电机处于平衡状态，有：

Cd ua Cm M L

(静态数学模型}

电机处于平衡状态，对应的输入量和输出量分别表示为：

ua ua 0 ; M L M L0 ; 0

0 Cd ua 0 Cm M L 0

若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为： ua ; M L ,电机的平衡状态 被破坏，输出亦发生变化，其变化量为： ,这时，输入量和输出量可表 示为：

ua ua 0 ua , M L M L0 M L , 0

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d 2 ( 0 ) d ( 0 ) TaTm Tm ( 0 ) 2 dt dt d ( M L 0 M L ) Cd (ua 0 ua 0 ) CmTa Cm ( M L 0 M L ) dt化简并整理得：

d 2 ( ) d ( ) TaTm Tm ( 0 ) 2 dt dt d ( M L ) Cd (ua 0 ua 0 ) CmTa Cm ( M L 0 M L ) dt考虑到

0 Cd ua 0 Cm M L 0

于是有：

d 2 d d M L TaTm Tm Cd ua 0 CmTa Cm M L 2 dt dt dt

系统的数学模型

讨论：

d d dM L TaTm 2 Tm Cd ua CmTa Cm M L dt dt dt2

d 2 d d M L TaTm Tm Cd ua 0 CmTa Cm M L 2 dt dt dt1、增量方程与实际坐标方程形式相同； 2、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价；

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理 非线性方程线性化条件： 1、非线性函数是连续函数； 2、系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小； 非线性方程线性化方法： 1、确定预定工作点； 2、在工作点附近将非线性方程展开成Taylor组长数形式； 3、忽略高阶项； 4、表示成增量方程形式；

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第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理

例2-6:液压伺服机构。1、明确系统的输入与输出：输入 为x,输出为y 2、列写原始方程：设 P=P1-P2

m y c y Ap q A y m y c y Ap

.. ..

..

.

q q( x, p)

3、非线性方程线性化： ①、确定系统的预定工作点：设为(x0,p0,q0)②、展开成Taylor级数形式：

q q( x, p) q( x0 , p0 ) x

x x0 p p0

q x p

x x0 p p0

pp 1 ( K q x q) Kc

③、表示成增量化形式： q K q x K C p ④、P代入动态方程：..

. AK q 1 A2 . ( K q x A y) m y (c )y x p Kc Kc kc

系统的数学模型

第二章 系统数学模型第一节 系统微分方程 非线性微分方程在一定条件下可以线性化处理

讨论：1、非线性项线性化后得到的微分 方程是增量形式的微分方程。

y=f(x) y y ’

2、线性化的结果与系统预定的工 作点有

关式作点不同所得的线性 方程的系数不同。 3、非线性项线性化后必须满足连 续性和小偏差的条件。

y0

A

x

0

x0

x

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