北京市丰台区2016年中考二模数学试题

丰台区2016年初三统一练习（二）

数学试卷

2016. 06

考

生

须

知

1. 本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和考试号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个

．．是符合题意的．

1. 截止到2015年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人. 将

110 000 000用科学记数法表示应为

A. 6

10

×

110 B. 7

10

×

11 C. 8

10

×

1.1 D. 8

10

×

.11

2. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是

A. 点A与点D

B. 点B 与点D

C. 点B与点C

D. 点C与点D

3. 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则

向上一面的数字大于4的概率是

A.

2

1

B.

3

1

C.

3

2

D.

6

1

4. 京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介. 在下面的四个京剧脸谱中，不是

．．轴对称图形的是

A B C D

5. 将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于

A. 90°

B. 75°

C. 60°

D. 45°

6. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，

则坡面AB的长度是

A. 10m

B. 103m

C. 15m

D. 53m

B D

C

7. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是2甲S =0.96，

2乙

S =1.12，2丙S =0.56，2丁S =1.58. 在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8. 如图，经过刨平的木板上的A ，B 两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是

A. 两点确定一条直线

B. 两点之间线段最短

C. 垂线段最短

D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

9. 商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销

售，销售金额y （元）与销售量x （件）的函数关系的图象

如图所示，则降价后每件商品销售的价格为

A. 5元

B. 10元

C. 5.12元

D. 15元 10. 一个观察员要到如图1所示的A ，B ，C ，D 四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB ，

BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成. 为记录观察员的行进路线，在AB 的中点M 处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x ，观察员与定位仪器之间的距离为y ，若观察员匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为

A. A →D →C →B

B. A →B →C →D

C. A →C →B →D

D. A →C →D →B

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11. 分解因式： x 3－4 x 2＋4 x = ．

12. 已知射线OM . 以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交

于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，

画射线OB ，如图所示，则∠AOB = °.

13. 关于x 的不等式ax ＜b 的解集为x ＞-1，写出一组满足条件的

实数a ，b 的值：a =______，b =______．

14. 我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》

里有一道著名算题： 图1 图2 B

一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，

正好分完. 如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为 . 15. 北京市2010-2015年机动车保有量统计如图所示.

根据统计图中提供的信息，预估2016年北京市 机动车的保有量约________万辆， 你的预估理由是______________．

16. 如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy ，三颗棋子A ，O ，B 的位置分别是（-1，1），

（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C ，使A ，O ，B ，C 四颗棋 子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的 棋子C 的位置的坐标：

．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，

第29题8分）

17. 计算：1214.30sin322

1

02-+-+?--）（）（π．

18. 已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．

19. 已知关于x 的一元二次方程0132

=-++m x x 有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；

（2）若m 为负．整数．．，求此时方程的根． 20. 如图，△ABC 是等边三角形，AC BD ⊥于

点D ，E 为BC 的中点，连接DE ． 求证：DE =DC ．

21. 2016年5月29日，北京园博园迎来了“挑战100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共100公里，

采用10人×10公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共

12公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的1.2倍，结果提前10分钟到单位．问

王刚原来每小时跑多少公里？

22. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，

-3-2-1-1-2-3

1

2

3

3

21

y x

O

A B

O E

D

C

B

A D

C A

E

B

DE ∥AC ，CE ∥BD .

（1）求证：四边形OCED 是矩形；

（2）若AD =5，BD =8，计算tan ∠DCE 的值．

23. 已知反比例函数y ＝

x k （k ≠0）的图象经过点A （－1，6）． （1）求k 的值；

（2）过点A 作直线AC 与函数y ＝x

k 的图象交于点B ，与x 轴交于点C ， 且AB ＝2BC ，求点B 的坐标．

24. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 交⊙O 于点C ，E 为 BC ⌒ 的中点，连接AE 交BD 于点F ，作AB FG ⊥，

垂足为G ，连接AD ，且BAE D ∠2=∠．

（1）求证：AD 为⊙O 的切线； （2）若cos D =53，AD = 6，求FG 的长．

25. 阅读下列材料： 日前，微信发布《2016微信春节大数据报告》显示，2016年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”.

报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍. 除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包. 其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%.

作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配.

根据以上材料回答下列问题：

（1）2016

（2）选择统计表或．统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．

26. 有这样一个问题：探究函数x

x y 12-=的图象与性质. 小宏根据学习函数的经验，对函数x

x y 12-=的图象与性质进行了探究. 下面是小宏的探究过程，请补充完整：

D

（1）函数x

x y 1

2-=的自变量x 的取值范围是___________；

（2）下表是y 与x 的几组对应值.

求m ，n 的值；

（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.

根据描出的点，画出该函数的图象；

（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（一条即可）：________________.

27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐

标为（

3，0）．

（1）求点B 的坐标及m 的值；

（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；

（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若

)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线2

1

=

x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．

28. 在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB =90°. 点D 为AC 90°得到线段DF ，

连接EF ，CF ．过点F 作FH FC ⊥，交直线AB 于点H ．

（1）若点E 在线段DC 上，如图1，

①依题意补全图1；

②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上一点，如图2，且CE =的面积请求出∠

FCH CFE Δ,15=,20∠CFE =12°，请写出求△FCH 的面积的思路.（可以不写．．．．出计算．．．结果．．

）

29. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （0，－1）. 点P 是平面内任意一点，直线PA ，

PB 与直线4x =分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆恰好经过点C （2，0）

，则称此时的点P 为理想点．

（1）请判断P 1（－4，0），P 2（3，0）是否为理想点；

（2）若直线3x =-上存在理想点，求理想点的纵坐标；

（3）若动直线(0)x m m =≠上存在理想点，直接写出m 的取值范围.

丰台区2016年初三统一练习（二）

数学参考答案

E F 图 2 图 1 F E B C D A E D B

C A

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11. x (x -2)2

. 12. 60. 13.1,1a

b

（答案不唯一）. 14. 100,3100.

3

x y y x

15.预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据. 16.1234(2,1),(1,2),(1,1),(0,1).C C C C

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式 1

421232

=-?

++ -------- 4分 = -------- 5分

18. 解：原式2222244()2x xy y x y y =-+---

234y xy =- -------- 3分

(34)y y x =-

∵43x y =，∴340y x -=. ∴原式=0. -------- 5分

19. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根,

∴94(1)m ?=--450m =+>，即5

4

m >-. -------- 3分 （2）∵m 为负整数，∴1m =-.

∴方程为2320x x ++=，即(1)(2)0x x ++=.

解得121,2x x =-=-. -------- 5分

20．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠C ＝60°. -------- 1分

∵BD AC ⊥于点D ， ∴∠BDC ＝90°. ∵E 是BC 中点，

∴1.2

DE BC CE == -------- 3分

∴△DEC 是等边三角形. -------- 4分 ∴.DE DC = -------- 5分

21. 解：设王刚原来每小时跑x 公里，

则现在每小时跑1.2x 公里. -------- 1分 由题意，得12121. 1.26

x x =+ -------- 2分

解得 12x =. -------- 3分 经检验，12x =是所列方程的解，并且符合实际意义.

-------- 4分

答：王刚原来每小时跑12公里. -------- 5分

22.（1）∵DE ∥AC ，CE ∥BD

∴四边形OCED 是平行四边形. -------- 1分 ∵四边形ABCD 是菱形, ∴ AC BD ⊥. ∴90DOC ∠=?.

∴平行四边形OCED 是矩形. -------- 2分 （2） ∵四边形ABCD 是菱形，BD =8,

∴142

OD BD ==，CD =AD =5. -------- 3分 ∴223CO CD OD =-=. ∵四边形OCED 是矩形,

∴DE =OC =3，CE =OD =4. -------- 4分 ∵90E ∠=?,

∴在Rt △DEC 中，3tan 4

DE DCE EC ∠==. -------- 5分

23.解：（1）由题意，得 6.k -=解得 6.k =- -------- 1分

（2）①当点B 在第二象限时，如图1.

过点A 作AE ⊥x 轴于E , 过点B 作BF ⊥x 轴于F . ∴AE ∥BF . ∴BF CB AE CA =.

∵AB ＝2BC, ∴13

CB CA

=.

∵AE ＝6,

∴BF ＝2.

当y =2时，6

2,

x =-

解得x =-3.

∴B (-3，2). -------- 3分 ②当点B 在第四象限时，如图2，同①可求点B (1，-6). 综上所述，点B 的坐标为(-3，2)或(1，-6).

-------- 5分 O

E

D

C

B

A

图1 x

y 1 2

3 4

5 –1 –2 –3 –4 –5 1 2

3

4 5

6

7 8 –1 –2 –3 C O A F

E x

y 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 1 2

3 4 5 6 7 8 –1

–2 –3 –4 –5 –6 –7

B C

O

A

F

E

24.证明：连接AC .

∵AB 是O 的直径

∴90ACB ∠=.

∴90CAB B ∠+∠=?.

∵E 为BC 的中点,

∴CAE EAB ∠=∠.

∴2CAB EAB ∠=∠.

∵BAE D ∠2=∠,

∴CAB D ∠=∠. ------- 1分

∴90B D ∠+∠=?.

∴90DAB ∠=?.即AB AD ⊥.

又∵AB 是直径,

∴AD 是O 的切线. ------- 2分

（2）∵在Rt △ACD 中, 3cos 5DC D AD ==，6AD =, 18.5DC ∴= ------- 3分 ∵在Rt △ABD 中,

3cos 5

AD D BD ==，6AD =, ∴10BD =.

∵CAF EAB ∠=∠,90ACB ∠=,AB FG ⊥，

∴CF FG =. ------- 4分

设CF FG x ==.

∵AB FG ⊥，

∴GFB D ∠=∠. ∴3cos 5FG GFB FB ∠=

=. ∴53

FB x =. ∵10DC CF FB ++=. ∴1851053

x x ++=. 解得125x =.∴125

FG =. ------- 5分

25. 解：（1）16.16； ------- 1分

（2）统计表如下：

2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量

和音视频的通话时长统计表

D

2015年 10.1亿个 1.05亿分钟 2016年 80.8亿个 4.2亿分钟

5分

26. 解：（1）0x ≠.

------- 1分

（2）38,23

m n ==. ------- 3分 （3 （4①当x ②函数的图象与y 轴无交点,图象由两部分组成. ③关于原点成中心对称. …… （写出一条即可） ------- 5分

27．（1）将()3,0A 代入，得1m =． -------1分

∴抛物线的表达式为223y x x =--．

∴B 点的坐标()1,0-． -------2分

（2）y 的取值范围是45y -≤<． -------5分 （3） 当x =

21时，y =4

15-. 代入1y kx =+得 219-=k . 当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1.

结合图象可得， k 的取值范围是1=k 或192

k . -------7分

28．解：（1）①补全图形，如图1所示. ----1分 ②FH 与FC 的数量关系是：FH FC =．----2分

证明：延长DF 交AB 于点G .

∵ABC △中，AC=BC ，90ACB ∠=?， x

y O x y 1 1 O 2 3 4 5 --4-3 -2 -1 -1 2 3 4 5 -4-3 -2 E D A

∴∠A=∠B=45°. ∵∠FDE=90°, ∴∠A=∠AGD=45°. ∴AD=DG .

∵点D 为AC 的中点， ∴AD=DC. ∴DC=DG . ∵DE=DF ,

∴DC - DE =DG - DF ，即EC =FG ． ∵∠EDF =90°，FH FC ⊥，

∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2．

∵DEF △等腰直角三角形，

∴∠DEF =∠DFE = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ．

∴ CF =FH ． ----5分

(2)求解思路如下：

a .画出图形，如图3所示.

b .与②同理，可证△CEF ≌△FGH ，可得CF =FH ；

从而得出

FCH 是等腰直角三角形；

c . 作P EF CP 于⊥，由2CE

可得CP 的长； d .在Rt △CPF 中，由sin12

CP CF

,可求CF 的长,进而求出FCH 的面积. ----7分

29．（1）1(4,0)P -是理想点,2(3,0)P 不是理想点. ----2分 （2）解法1:

设MN 与x 轴交于点F ，设理想点的纵坐标为0y ，则0(3,)P y -.

∵(0,1)A ，∴0

113AP y y x -=

+. 令4x =，得04(1)13y y -=

+，即04(1)

(4,1)3

y M -+. 同理04(1)

(4,1)3

y N +-

-. ∵设G 是MN 的中点，∴04(4,)3y G -.17

()23

M N MG y y =-=，2FC =.

在Rt GFC ?中，222GC FG FC =+，

A

F

C

E

P D

H

B

G

∴22047

()()433y =+.

解得0y =

，即理想点的纵坐标为.----6分 解法2:连接PO 并延长交MN 于点G .

∵MN ∥y 轴， ∴

OA PO GM PG =，OB PO GN PG =， 即OA OB GM GN

=. ∵OA OB =，∴GM GN =，即点G 是MN 的中点. 设直线3x =-与x 轴交于E , MN 与x 轴交于点F . ∵OA PO GM PG =，EO PO EF PG

=， ∴OA GM EO EF

=,即137MG =. ∴73MG =. ∴73

CG MG ==.在Rt △CFG 中，CF =2,由勾

股定理得FG =.∵PE EO FG FO =，

∴PE =∴理想点的纵

坐标为 (3) 44003m m 或-≤<<≤. ----8分

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