第三章 基本初等函数

第三章 基本初等函数

3.1一次函数

一、知识点归纳

1、一次函数（线性函数）的定义： 2、一次函数的性质 ⑴定义域为R，值域为R.

⑵单调性： ⑶奇偶性： ⑷直线y?kx?b与x轴的交点为 ，与y轴交点为 .

二、经典习题

1、函数y??a?4?xa2?a?5?3a的图象是经过一、二、四的直线，则实数a?

2、无论a为何值时，直线y?x?3m与y??x?5的交点不可能在第 象限. 3、如果函数y?f?x?的图象与函数y?2?x的图象关于坐标原点对称，则函数y?f?x?的表达式为 4、定义最小值函数minf?x?;g?x?;h?x?值取f?x0?;g?x0?;h?x0?数W?x?的最大值.

5、一次函数f?x???1?a?x?2a?3在区间??2,2?恒正，则a的范围是 6、当t??0,1?时，不等式xt?x?1恒成立，则x的取值范围是 7、关于x的不等式?2m?n?x?m?5n?0的解集为为xx?3，则不等式mx?n?0的

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??表示对于定义域内任意的自变量x0，函数

中的最小者.设函数W?x??min?4x?1;x?2;?2x?4?，求函

??解集为

8、已知f?x??x?1，关于x的方程f2?x??mf?x??1?0有四个实数解，则实数m的取值范围是

3.2二次函数

一、知识点归纳

1、二次函数的定义： 2、二次函数解析式的常见表示

⑴一般式： ⑵顶点式： ⑶交点式（双根式）： 3、二次函数的性质

⑴函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是 ，抛物线的对称轴是直线 .

⑵当a?0时，抛物线开口向上，函数在 处取最小值 ，且在区间 上是减函数，在 上是增函数；

当a?0时，抛物线开口向下，函数在 处取最大值 ，且在区

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间 上是增函数，在 上是减函数；

⑶二次项系数a除决定抛物线开口方向外，还决定开口的大小及凸性，即：a越大开口越小，a?0下凸函数，a?0上凸函数.

⑷若二次函数y?ax2?bx?c(a?0)是偶函数，则 .

⑸对于二次函数y?f?x?若有f?a??f?b?，则对称轴为

⑺二次函数y?ax2?bx?c(a?0)，当??b?4ac?0时，图象与x轴有两个交点，设其为A?x1,0?，B?x2,0?，则线段AB的长度 .

2x?1x?1?x?1??x?1?1??⑻特值关系：f?1??f??1??2f?0??2a ；x??； ????22?2??2?4、二次函数，一元二次方程和一元二次不等式

二次函数 ??0 ??0 ??0 22y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2?bx?c?0x1,x2(x1?x2) （a?0）的根 x1?x2??b 2a无实根 一元二次不等式 ax2?bx?c?0（a?0）的解集 一元二次不等式 第3页

ax2?bx?c?0（a?0）的解集 、一元二次方程根的分布

根 的 分 布

x1?x2?k

k?x1?x2

x1?k?x2

x1，x2??k1,k2?

x1，x2有且仅有一个在

?k1,k2?内

要 条 件

图 象

ya?0f(k)?0?Oxx21kxx??b2a

yf(?k)?0a?0Okx1x2xx??b2ay a?0

Okx1?x2xf(k)?0 ya?0 ?f(k1)?0f(k2)?0

?Oxk1x21k2xx??b2aya?0?f(k1)?0Oxk1k21x?2xf(k2)?0第4页

5充

6、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值

设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0?1(p?q)． ⑴当a?0时（开口向上）

⑵当a?0时(开口向下)

2第5页

3.8幂函数

一、知识点归纳

1、定义：一般地，形如y?x?(??R)的函数称为幂函数，其中a为常数. 2、基本性质

⑴所有幂函数在?0,???都有定义，即在第一象限内一定有图象，并且图象都通过点?1,1?. ⑵如果??0，则幂函数的图象经过原点，并且在区间?0,???上是增函数.

⑶如果??0，则幂函数在区间?0,???上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于??时，图象在x轴上方无限地逼近x轴. ⑷当?是奇数时，幂函数为奇函数；当?是偶数时，幂函数为偶函数. 3、幂函数的图象（y?x?(??Q)）

??p q??0 0???1 ??1 p为奇数 奇函数 数 q为奇p为奇数 非奇非偶 q为偶 数 p为偶数 第31页

偶函数 q为奇数 第一象减函数 限性质 增函数（上凸） 增函数（下凸） 定点?1,1? 二、经典习题

1、若?a?1??13??3?2a?，则实数a的范围是

?132、已知定义在??1,0??0,1?上的幂函数f?x??x?，若不等式f?x??x成立，则在

????2,?1,0,1,2?的条件下，?可以取值的个数为 个.

?133、若x?e,1，并且a?lnx，b?2lnx，c?lnx，则a，b，c三者之间的大小关

??系为

x2?4x?54、若函数f?x??2，则f????与

x?4x?4213?2?f???2??的大小关系为 ??5、若x?x，则x的取值范围是 6、已知幂函数f?x??t?t?1x3??7?3t?2t25是偶函数，且在区间?0,???上是增函数，则该

幂函数的解析式为

?t?t?

7、已知过点2,2的幂函数f?x??x(t?N?)，若f?2?a??f?a?1?，则实数

??2?1a的取值范围是

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