湖北省黄冈中学2014-2015学年上学期高一期中数学试题

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湖北省黄冈中学2014年高一秋季期中考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题:大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A??x?N|x?6?,则下列关系式错误的是( )

A.0?A

12

B.1.5?A

C.?1?A

D.6?A

2. 函数y??1?x??log3x的定义域为( )

A.???,1?

B.?0,1?

C.?0,1?

D.0,1

??3. 设集合U?R,集合A?x|x?2x?0,则eUA等于( )

A.x|x?0或x?2

?2?

??

B.x|x?0或x?2

??C.?x|0?x?2? D.?x|0?x?2?

2??1?x,x?14. 设函数f(x)??2 ,则

??x?x?2,x?1?1?的值为( ) f???f(2)?

C.

A.

15 16

B.?27 16

8 9

D.18

5. 与函数y?10lg(x?1)相等的函数是( )

A.y?x?1 B.y?|x?1|

?x?1?C.y???

x?1??2x2?1D.y?

x?16. 已知0?a?b?1,则( )

A.3?3

baB.loga3?logb3 C.(lga)?(lgb)

222 D.()?()

1ea1eb7. 已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)?g(x)?2x?2x?1,则f(? 1)?( )

A.3

B.?3

C.2

D.?2

8. 函数y?ln(1?x)的图像大致为( )

1

9. 已知f:x?x2是集合A到集合B??0,1,4?的一个映射,则集合A中的元素个数最多

有( ) A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

210.设a?0且a?1 ,函数f(x)?logaax?x在?3,4?上是增函数,则a的取值范围( )

A.

11?a?或a?1 6411?a?或a?1 86 B.

11?a?或a?1 841或a?1 4C.

D.0?a?第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位

置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

11.已知幂函数f(x)?x?的图像过点?4,2?,则??_____________________. 12.计算27?13?lg0.01?lne?3log32?_____________________.

13.已知集合A??a,a2,4,B???a3,??????3ab?? ,2?且A?B,则a?b?_____________.

a??y

y=f(x) 0 2 5 x 14.设奇函数f(x)的定义域为??5,5?,若当

x??0,5?时,f(x)的图像如右图所示,则不

等式f(x)?0的解集是_____________________.

a2?2,y?f(x)是定义在R上的奇函数,15.设a为常数且a?0,当x?0时,f(x)?x?x若f(x)?a?1对一切x?0都成立,则a的取值范围为_____________________. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)记关于x的不等式的解集为T.

(1)若a?1,求ST和ST; (2)若S?T,求a的取值范围.

2x?a?0?a?0?的解集为S,不等式x?1?1 x 2

17.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b?R),若f1)(?1?且函数f(x) 的图像关于直线x?1对称. (1)求a,b的值;

(2)若函数f(x)在?k,k?1??k?1?上的最大值为8,求实数k的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x?1)?lgx. 2?x(1)求函数f(x)的解析式,并判断f(x)的奇偶性; (2)解关于x的不等式:f(x)?lg?3x?1?.

19.(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价

格P(元)与时间t(天)组成有序数对?t,P?,点?t,P?落在图中的两条线段上;该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示 第t天 4 36 10 30 16 24 22 18 2P65O102030tQ(万股) (1)根据提供的图像,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;

(2)根据表中数据,写出日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式; (3)用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求在这30天内

第几天日交易额最大,最大值为多少?

3

20.(本小题满分13分)已知指数函数y?g?x?满足:g(?3)?1,定义域为R的函数8f(x)?c?g(x)是奇函数.

1?g(x)(1)求函数g(x)与f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)的单调性并证明之;

(3)若关于x的方程f(x)?m在x???1,1?上有解,求实数m的取值范围.

21.(本小题满分14分)已知f(x)对任意的实数m,n都有:f(m?n)?f(m)?f(n)?1,

且当x?0时,有f(x)?1. (1)求f(0);

(2)求证:f(x)在R上为增函数;

(3)若f(6)?7,且关于x的不等式f(ax?2)?f(x?x)?3对任意的x???1,???恒

2成立,求实数a的取值范围.

4

黄冈中学2014年高一秋季期中考试数学试题

参考答案(附评分细则)

一、选择题: DBDAC BACCA 二、填空题:

11.

11 12.? 13.3 14.??2,0?62?2,5? 15.??1,0?

一、选择题

1.解析:A??0,1,2,3,4,5?,故选D

2.解析:1?x?0且x?0,解得0?x?1,故选B

3.解析:A?x|x?2或x?0,则eUA??x|0?x?2?,故选D

???1?4.解析:f(2)?22?2?2?4,f????f(2)?5.解析:y?10lg(x?1)?x?1(x?1),故选C

?1??1?15f???1????,故选A ?4??4?1626.解析:利用指数函数、对数函数的单调性可以判断C正确,ABD都错,故选C 7.解析:令x?1,得f(1)?g(1)?1,令x??1,得f(?1)?g(?1)?5

两式相加得:f(1)?f(?1)?g(1)?g(?1)?6,即2f(?1)?6,f(?1)?3 8.解析:函数的定义域为???,1?且在定义域上单调递减,故选C 9.解析:令x?0,1,4,解得:x?0,?1,?2,故选C

210.解析:令u(x)?ax?x,则y?logau,所以u(x)的图像如图所示

2当a?1时,由复合函数的单调性可知,区间?3,4?落在?0,??1? ?2a?或?11?1?或?3,故有a?1 ,???上,所以4?2aa?a?当0?a?1时,由复合函数的单调性可知,?3,4???所以

?11?,? ?2aa?111111?3且?4解得?a?,综上所述a?1或?a?,故选A 2a6464a?二、填空题

11.解析:4?2,解得??12.解析:原式=

1 2111?2??2?? 3265

13.解析:由集合元素的互异性可知:?a?a且a?0,所以a?0

b 所以A???a,a,4?,B??a,1,2b,故a?1且4?2

?? 所以a?1,b?2,故a?b?3

14.解析:由奇函数的图像关于原点对称可知f(x)?0的解集为??2,0??2,5?

15.解析:当x?0时,f(x)?0,则0?a2?1,解得?1?a?1,所以?1?a?0

a2a2?2,则f(x)??f(?x)?x??2 当x?0时,?x?0,f(?x)??x??xx 由对勾函数的图像可知,当x?a2?a??a时,有f(x)min??2a?2

所以?2a?2?a2?1,即a2?2a?3?0,解得?3?a?1,又a?0 所以?3?a?0,综上所述:?1?a?0

三、解答题

16.解: (1)T??0,2?

当a?1时,S??0,1?

1分 2分 6分

8分

ST??0,2?

4分,ST??0,1?(2)因为a?0,所以S?x|x?x?a??0??x|0?x?a? 则?0,a???0,2?,所以a?2 又a?0,所以0?a?212分

10分

?? 17.解:(1)由题意可得:f(1)?a?b??1且? 解得:a?1,b??2

2 (2)f(x)?x?2x??x?1??1

2b?1 2a6分

4分

因为k?1,所以f(x)在?k,k?1?上单调递增 所以f(x)max?f(k?1)??k?1??2(k?1)?8 解得:k??311分 又k?1,所以k?312分 18.解:(1)令t?x?1,则x?t?1

27分 9分

6

所以f(t)?lgt?1t?1 ?lg2??t?1?1?tx?1(?1?x?1) 1?x2分

所以f(x)?lg3分

注:若没写定义域或定义域错误扣一分 因为f(x)的定义域关于原点对称

1?x?1?x??1?x?且f(?x)?lg?lg???lg?????f(x)

1?x1?x1?x????所以f(x)是奇函数 (2)lg6分

7分

?1x?1x?1?lg(3x?1)??3x?1?01?x1?x1由3x?1?0得x??

3x?1??3x?1?(1?x)x?1x?1?3x?1,??3x?1??0,?0 1?x1?x1?x3x2?x3x2?x?0,?0即

1?xx?19分

x?3x?1??0?x?x?1??3x?1??0且x?1 即

x?1解得:x?0或

10分

1?x?1311分

又x??,所以原不等式的解集为??,0?33注:区间端点错一个扣一分

19. (1)当0?t?20时,设P?at?b

1?1????1?,1? ??3?12分

?b?2?b?21???由图像可知此图像过点?0,2?和(20,6),故?1, ?P?t?2

5?6?20a?2?a?5?

同理可求当20?t?30时,?P??1t?8 104分

?1t?2,0?t?20,t?N??5 ?P??1??t?8,20?t?30,t?N??10

7

注:少写一个或写错一个扣2分,区间写错或没写t?N扣1分

(2)设Q?ct?d,把所给表中任意两组数据代入可求得c??1,d?40, ?Q??t?40,0?t?30,t?N6分

(3)首先日交易额y(万元)=日交易量Q(万股)?每股交易价格P(元)

?12?(t?15)?1250?t?20,t?N??5?y???1?t?60?2?4020?t?30,t?N??10当0?t?20时,当t?15时,ymax?125万元当20?t?30时,y随t的增大而减小20.解:(1)设g(x)?ax,则g(?3)?a解得:a?2,所以g(x)?2x?38分

9分

10分

12分

故在30天中的第15天,日交易额最大为125万元.

1? 81分

c?2xc?1?0,所以c?1 所以f(x)?,令得f(0)?0x21?21?2x 经检验,当c?1时,f(x)?为奇函数,符合题意x1?21?2x所以f(x)?

1?2x(2)f(x)在R上单调递减

5分

3分

4分

证明如下:任取x1,x2?R,且x1?x2,则

x1x2x2x11?2x11?2x2?1?2??1?2???1?2??1?2? f?x1??f?x2????x1x2x1x21?21?2?1?2??1?2?1?2? ?x1?2x2?2x1?x2???1?2x2?2x1?2x1?x2??1?2??1?2?x1x2

2(2x2?2x1)2?2x1(2x2?x1?1)? ?x1x2?1?2??1?2??1?2x1??1?2x2?因为21?0,2xx27分

?0,所以?1?2x1??1?2x2??0

x2?x1而x1?x2,所以x2?x1?0,2?1,2x2?x1?1?08分

8

2?2x1(2x2?x1?1)所以?0,即f?x1??f?x2??0,f(x1)?f(x2) x1x21?21?2????所以f(x)在R上单调递减

9分

(3)由(2)知f(x)在??1,1?上单调递减,所以f??1??f(x)?f(1) 即f(x)在??1,1?上的值域为??,?

33?11???11分

要使得关于x的方程f(x)?m在x???1,1?上有解,则 实数m的取值范围为??,?33?11???13分

21.(1)解:令m?n?0,则f?0??2f?0??1,解得f?0??1 (2)证明:设x1,x2是R上任意两个实数,且x1?x2,则 令m?x2?x1,n?x1,则f(x2)?f(x2?x1)?f(x1)?1所以f(x2)?f(x1)?f(x2?x1)?1 由x1?x2得x2?x1?0,所以f(x2?x1)?1 故f(x2)?f(x1)?0,即f(x1)?f(x2) 所以f(x)在R上为增函数 (3)由已知条件有:

7分

3分

5分

f(ax?2)?f(x?x2)?f?ax?2?x?x2??1

2故原不等式可化为:fax?2?x?x?1?3 2?x??a?1?x?2?即f????2

??而当n?N时,f(n)?f(n?1)?f(1)?1?f(n?2)?2f(1)?2 ?f(n?3)?3f(1)?3????????nf(1)?(n?1) 所以f(6)?6f(1)?5,所以f(1)?2

2?x??a?1?x?2?故不等式可化为f????f(1)?9分

9

由(2)可知f(x)在R上为增函数,所以?x??a?1?x?2?1

2即x??a?1?x?3?0在x???1,???上恒成立

210分

令g(x)?x??a?1?x?3,即g(x)min?0成立即可

2(i)当

a?1??1即a??3时,g(x)在x???1,???上单调递增 2则g(x)min?g(?1)?1?(a?1)?3?0解得a??5,所以?5?a??3 (ii)当

11分

a?1??1即a??3时 2有g(x)mina?1?a?1?a?1?g()???(a?1)?3?0 ?22?2?2解得?23?1?a?23?1

而?3??23?1 ,所以?3?a?23?1 综上所述:实数a的取值范围是(?5,23?1)

13分 14分

注:(i)(ii)两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分,最后综上所述错误扣一分

10

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