湖北省黄冈中学2014-2015学年上学期高一期中数学试题

湖北省黄冈中学2014年高一秋季期中考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1． 已知集合A??x?N|x?6?，则下列关系式错误的是（ ）

A．0?A

12

B．1.5?A

C．?1?A

D．6?A

2． 函数y??1?x??log3x的定义域为（ ）

A．???,1?

B．?0,1?

C．?0,1?

D．0,1

??3． 设集合U?R，集合A?x|x?2x?0，则eUA等于（ ）

A．x|x?0或x?2

?2?

??

B．x|x?0或x?2

??C．?x|0?x?2? D．?x|0?x?2?

2??1?x,x?14． 设函数f(x)??2 ，则

??x?x?2,x?1?1?的值为（ ） f???f(2)?

C．

A．

15 16

B．?27 16

8 9

D．18

5． 与函数y?10lg(x?1)相等的函数是（ ）

A．y?x?1 B．y?|x?1|

?x?1?C．y???

x?1??2x2?1D．y?

x?16． 已知0?a?b?1，则（ ）

A．3?3

baB．loga3?logb3 C．(lga)?(lgb)

222 D．()?()

1ea1eb7． 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)?g(x)?2x?2x?1，则f(? 1)?（ ）

A．3

B．?3

C．2

D．?2

8． 函数y?ln(1?x)的图像大致为（ ）

1

9． 已知f:x?x2是集合A到集合B??0,1,4?的一个映射，则集合A中的元素个数最多

有（ ） A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

210．设a?0且a?1 ，函数f(x)?logaax?x在?3,4?上是增函数，则a的取值范围（ ）

A．

11?a?或a?1 6411?a?或a?1 86 B．

11?a?或a?1 841或a?1 4C．

D．0?a?第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位

置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．已知幂函数f(x)?x?的图像过点?4,2?，则??_____________________． 12．计算27?13?lg0.01?lne?3log32?_____________________．

13．已知集合A??a,a2,4,B???a3,??????3ab?? ,2?且A?B，则a?b?_____________．

a??y

y=f(x) 0 2 5 x 14．设奇函数f(x)的定义域为??5,5?，若当

x??0,5?时，f(x)的图像如右图所示，则不

等式f(x)?0的解集是_____________________．

a2?2，y?f(x)是定义在R上的奇函数，15．设a为常数且a?0，当x?0时，f(x)?x?x若f(x)?a?1对一切x?0都成立，则a的取值范围为_____________________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）记关于x的不等式的解集为T．

（1）若a?1，求ST和ST； （2）若S?T，求a的取值范围．

2x?a?0?a?0?的解集为S，不等式x?1?1 x 2

17．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b?R)，若f1)(?1?且函数f(x) 的图像关于直线x?1对称． （1）求a,b的值；

（2）若函数f(x)在?k,k?1??k?1?上的最大值为8，求实数k的值．

18．（本小题满分12分）已知函数f(x?1)?lgx． 2?x（1）求函数f(x)的解析式，并判断f(x)的奇偶性； （2）解关于x的不等式：f(x)?lg?3x?1?．

19．（本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价

格P（元）与时间t（天）组成有序数对?t,P?，点?t,P?落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示 第t天 4 36 10 30 16 24 22 18 2P65O102030tQ（万股） （1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据，写出日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式； （3）用y（万元）表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内

第几天日交易额最大，最大值为多少？

3

20．（本小题满分13分）已知指数函数y?g?x?满足：g(?3)?1，定义域为R的函数8f(x)?c?g(x)是奇函数．

1?g(x)（1）求函数g(x)与f(x)的解析式； （2）判断函数f(x)的单调性并证明之；

（3）若关于x的方程f(x)?m在x???1,1?上有解，求实数m的取值范围．

21．（本小题满分14分）已知f(x)对任意的实数m,n都有：f(m?n)?f(m)?f(n)?1，

且当x?0时，有f(x)?1． （1）求f(0)；

（2）求证：f(x)在R上为增函数；

（3）若f(6)?7，且关于x的不等式f(ax?2)?f(x?x)?3对任意的x???1,???恒

2成立，求实数a的取值范围．

4

黄冈中学2014年高一秋季期中考试数学试题

参考答案（附评分细则）

一、选择题： DBDAC BACCA 二、填空题：

11.

11 12.? 13.3 14.??2,0?62?2,5? 15.??1,0?

一、选择题

1.解析：A??0,1,2,3,4,5?，故选D

2.解析：1?x?0且x?0，解得0?x?1，故选B

3.解析：A?x|x?2或x?0，则eUA??x|0?x?2?，故选D

???1?4.解析：f(2)?22?2?2?4，f????f(2)?5.解析：y?10lg(x?1)?x?1(x?1)，故选C

?1??1?15f???1????，故选A ?4??4?1626.解析：利用指数函数、对数函数的单调性可以判断C正确，ABD都错，故选C 7.解析：令x?1，得f(1)?g(1)?1，令x??1，得f(?1)?g(?1)?5

两式相加得：f(1)?f(?1)?g(1)?g(?1)?6，即2f(?1)?6，f(?1)?3 8.解析：函数的定义域为???,1?且在定义域上单调递减，故选C 9.解析：令x?0,1,4，解得：x?0,?1,?2，故选C

210.解析：令u(x)?ax?x，则y?logau，所以u(x)的图像如图所示

2当a?1时，由复合函数的单调性可知，区间?3,4?落在?0,??1? ?2a?或?11?1?或?3，故有a?1 ,???上，所以4?2aa?a?当0?a?1时，由复合函数的单调性可知，?3,4???所以

?11?,? ?2aa?111111?3且?4解得?a?，综上所述a?1或?a?，故选A 2a6464a?二、填空题

11.解析：4?2，解得??12.解析：原式=

1 2111?2??2?? 3265

13.解析：由集合元素的互异性可知：?a?a且a?0，所以a?0

b 所以A???a,a,4?，B??a,1,2b，故a?1且4?2

?? 所以a?1,b?2，故a?b?3

14.解析：由奇函数的图像关于原点对称可知f(x)?0的解集为??2,0??2,5?

15.解析：当x?0时，f(x)?0，则0?a2?1，解得?1?a?1，所以?1?a?0

a2a2?2，则f(x)??f(?x)?x??2 当x?0时，?x?0，f(?x)??x??xx 由对勾函数的图像可知，当x?a2?a??a时，有f(x)min??2a?2

所以?2a?2?a2?1，即a2?2a?3?0，解得?3?a?1，又a?0 所以?3?a?0，综上所述：?1?a?0

三、解答题

16.解： （1）T??0,2?

当a?1时，S??0,1?

1分 2分 6分

8分

ST??0,2?

4分，ST??0,1?（2）因为a?0，所以S?x|x?x?a??0??x|0?x?a? 则?0,a???0,2?，所以a?2 又a?0，所以0?a?212分

10分

?? 17.解：（1）由题意可得：f(1)?a?b??1且? 解得：a?1,b??2

2 （2）f(x)?x?2x??x?1??1

2b?1 2a6分

4分

因为k?1，所以f(x)在?k,k?1?上单调递增 所以f(x)max?f(k?1)??k?1??2(k?1)?8 解得：k??311分 又k?1，所以k?312分 18.解：（1）令t?x?1，则x?t?1

27分 9分

6

所以f(t)?lgt?1t?1 ?lg2??t?1?1?tx?1(?1?x?1) 1?x2分

所以f(x)?lg3分

注：若没写定义域或定义域错误扣一分 因为f(x)的定义域关于原点对称

1?x?1?x??1?x?且f(?x)?lg?lg???lg?????f(x)

1?x1?x1?x????所以f(x)是奇函数 （2）lg6分

7分

?1x?1x?1?lg(3x?1)??3x?1?01?x1?x1由3x?1?0得x??

3x?1??3x?1?(1?x)x?1x?1?3x?1，??3x?1??0，?0 1?x1?x1?x3x2?x3x2?x?0，?0即

1?xx?19分

x?3x?1??0?x?x?1??3x?1??0且x?1 即

x?1解得：x?0或

10分

1?x?1311分

又x??，所以原不等式的解集为??,0?33注：区间端点错一个扣一分

19. （1）当0?t?20时，设P?at?b

1?1????1?,1? ??3?12分

?b?2?b?21???由图像可知此图像过点?0,2?和(20,6)，故?1, ?P?t?2

5?6?20a?2?a?5?

同理可求当20?t?30时，?P??1t?8 104分

?1t?2,0?t?20,t?N??5 ?P??1??t?8,20?t?30,t?N??10

7

注：少写一个或写错一个扣2分，区间写错或没写t?N扣1分

（2）设Q?ct?d，把所给表中任意两组数据代入可求得c??1,d?40， ?Q??t?40,0?t?30,t?N6分

（3）首先日交易额y（万元）=日交易量Q（万股）?每股交易价格P（元）

?12?(t?15)?1250?t?20,t?N??5?y???1?t?60?2?4020?t?30,t?N??10当0?t?20时，当t?15时，ymax?125万元当20?t?30时，y随t的增大而减小20.解：（1）设g(x)?ax，则g(?3)?a解得：a?2，所以g(x)?2x?38分

9分

10分

12分

故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元.

1? 81分

c?2xc?1?0，所以c?1 所以f(x)?，令得f(0)?0x21?21?2x 经检验，当c?1时，f(x)?为奇函数，符合题意x1?21?2x所以f(x)?

1?2x（2）f(x)在R上单调递减

5分

3分

4分

证明如下：任取x1,x2?R，且x1?x2，则

x1x2x2x11?2x11?2x2?1?2??1?2???1?2??1?2? f?x1??f?x2????x1x2x1x21?21?2?1?2??1?2?1?2? ?x1?2x2?2x1?x2???1?2x2?2x1?2x1?x2??1?2??1?2?x1x2

2(2x2?2x1)2?2x1(2x2?x1?1)? ?x1x2?1?2??1?2??1?2x1??1?2x2?因为21?0,2xx27分

?0，所以?1?2x1??1?2x2??0

x2?x1而x1?x2，所以x2?x1?0，2?1，2x2?x1?1?08分

8

2?2x1(2x2?x1?1)所以?0，即f?x1??f?x2??0，f(x1)?f(x2) x1x21?21?2????所以f(x)在R上单调递减

9分

（3）由（2）知f(x)在??1,1?上单调递减，所以f??1??f(x)?f(1) 即f(x)在??1,1?上的值域为??,?

33?11???11分

要使得关于x的方程f(x)?m在x???1,1?上有解，则 实数m的取值范围为??,?33?11???13分

21.（1）解：令m?n?0，则f?0??2f?0??1，解得f?0??1 （2）证明：设x1,x2是R上任意两个实数，且x1?x2，则 令m?x2?x1,n?x1，则f(x2)?f(x2?x1)?f(x1)?1所以f(x2)?f(x1)?f(x2?x1)?1 由x1?x2得x2?x1?0，所以f(x2?x1)?1 故f(x2)?f(x1)?0，即f(x1)?f(x2) 所以f(x)在R上为增函数 （3）由已知条件有：

7分

3分

5分

f(ax?2)?f(x?x2)?f?ax?2?x?x2??1

2故原不等式可化为：fax?2?x?x?1?3 2?x??a?1?x?2?即f????2

??而当n?N时，f(n)?f(n?1)?f(1)?1?f(n?2)?2f(1)?2 ?f(n?3)?3f(1)?3????????nf(1)?(n?1) 所以f(6)?6f(1)?5，所以f(1)?2

2?x??a?1?x?2?故不等式可化为f????f(1)?9分

9

由（2）可知f(x)在R上为增函数，所以?x??a?1?x?2?1

2即x??a?1?x?3?0在x???1,???上恒成立

210分

令g(x)?x??a?1?x?3，即g(x)min?0成立即可

2（i）当

a?1??1即a??3时，g(x)在x???1,???上单调递增 2则g(x)min?g(?1)?1?(a?1)?3?0解得a??5，所以?5?a??3 (ii)当

11分

a?1??1即a??3时 2有g(x)mina?1?a?1?a?1?g()???(a?1)?3?0 ?22?2?2解得?23?1?a?23?1

而?3??23?1 ，所以?3?a?23?1 综上所述：实数a的取值范围是(?5,23?1)

13分 14分

注：（i）(ii)两种情况少考虑一种或计算错一种扣两分，最后综上所述错误扣一分

10

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