第六章 静电场

第六章 静电场

一．选择题

1．一带电体可作为点电荷处理的条件是：[ ]

（A）电荷必须呈球形分布； （B）带电体的线度很小；

（C）带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计； （D）电量很小。

2．在没有其它电荷存在的情况下,一个点电荷q1受另一点电荷 q2 的作用力为f12 ,当放入第三个电荷Q后,以下说法正确的是：[ ]

(A) f12的大小不变,但方向改变, q1所受的总电场力不变； (B) f12的大小改变了,但方向没变, q1受的总电场力不变；

(C) f12的大小和方向都不会改变, 但q1受的总电场力发生了变化； (D) f12的大小、方向均发生改变, q1受的总电场力也发生了变化。 3．下列几个说法中哪一个是正确的？[ ]

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； （B）在以点电荷为中心的球面上，由该点荷所产生的场强处处相同；

???（C）场强方向可由E?F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试

验电荷所受的电场力；

（D）以上说法都不正确。

4．有一带正电荷的大导体，欲测其附近P点处的场强，将一电量为q0（q0>0）的点电荷放在P点，测得它所受的电场力为F，若电荷量q0不是足够小，则[ ]

（A）F/ q0比P点处场强的数值大； （B）F/ q0比P点处场强的数值小； （C）F/ q0与P点处场强的数值相等； （D）F/ q0与P点处场强的数值哪个大无法确定。

5．点电荷Q被曲面S所包围，从无穷远处引入另一点电荷q至曲面外一点，如图所示，则引入前后： [ ]

（A）曲面S上的电通量不变，曲面上各点场强不变； （B）曲面S上的电通量变化，曲面上各点场强不变； （C）曲面S上的电通量变化，曲面上各点场强变化；

（D）曲面S上的电通量不变，曲面上各点场强变化。 6．已知一高斯面所包围的体积内电量代数和

（A）高斯面上各点场强均为零；

（B）穿过高斯面上每一面元的电通量均为零； （C）穿过整个高斯面的电通量为零； （D）以上说法都不对。

7．一点电荷，放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：[ ]

（A）将另一点电荷放在高斯面外； （B）将另一点电荷放进高斯面内；

（C）将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； （D）将高斯面半径缩小。

8．若匀强电场的场强为E，其方向平行于半径为R的半球面的轴，如图所示，则通过此半球面的电通量?e为 [ ]

（A）?RE （B）2?RE. （C）?RE. （D）2?R （E）?RE/2

9．半径为R的“无限长”均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小E与距轴线的

距离r的关系曲线为：[ B ]

E (A) O E (C) O R E∝1/r r R E∝1/r r E (B) O E (D) O R E∝1/r r R E∝1/r r 22?qi?0，则可肯定 [ ]

?2212210．如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1、带电量Q1，外球面半径为R2、带电量Q2，则在内球面里面、距离球心为r处的P点的场强大小E为：[ ]

（A）

Q1?Q2.

4??0r2（B）

Q14??0r12?Q2. 24??0r2 （C）

Q14??0r2.

（D）0.

11．有两个点电荷电量都是+q，相距为2a.今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示，设通过S1和S2的电场强度通量分别为φ1和φ2，通过整个球面的电场强度通量为φs，则 [ ]

（A）?1??2,?s?q/?0. （B）?1??2,?s?2q/?0. （C）?1??2,?s?q/?0. （D）?1??2,?s?q/?0.

12．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心0点荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为 [ ]

（A）

1a处，有一电量为q的正点电2q4. ?q. （B）

4??06q3??0. （D）q. 6?0（C）

13．一均匀带电球面，电荷面密度为σ，球面内电场强度处处为零，球面上面元ds的一个带电量为σds的电荷元，在球面内各点产生的电场强度： [ ]

（A）处处为零； （B）不一定都为零； （C）处处不为零； （D）无法判定。 14．图中所示为一沿X轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为??(x?0)和??(x?0)，则OXY坐标平面上点（0 , a）处的场强E为[ ]

???（A）0 （B）i 2??0a

+? Y (0, a) -? O X （C）?????i （D）(i?j) 4??0a4??0a15．静电场中某点电势的数值等于 ： [ ]

（A）试验电荷q0置于该点时具有的电势能； （B）单位试验电荷置于该点时具有的电势能； （C）单位正电荷置于该点时具有的电势能；

（D）把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功。

16．在点电荷+q的电场中，若取图中P点处为电势零点，则M点的电势为[ ]

（A）

q4??0a?q4??0a. （B）

q8??0a?q8??0a. +q a P a M

（C）

. （D）. 17．如图所示，两个同心球壳，内球壳半径为R1，均匀带有电量Q；外球壳半径为R2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，则在内球壳里面，距离球心为r处的p点的场强大小及电势分别为： [ ]

（A）E?0,U?Q4??0R1Q4??0(.

（B）E?0,U?11?). R1R2（C）E?Q4??0rQ4??0r2,U?Q4??0rQ.

（D）E?,U?24??0r2.

18．图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势（位）面，由图可看出：[ ]

（A）EA?EB?EC,UA?UB?UC. （B）EA?EB?EC,UA?UB?UC. （C）EA?EB?EC,UA?UB?UC. （D）EA?EB?EC,UA?UB?UC.

19．一电量为?q 的点电荷位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示，现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 [ ]

(A) 从A到B，电场力作功最大； (B) 从A到各点，电场力作功相等； (C) 从A到D，电场力作功最大； (D) 从A到C，电场力作功最大。

D A

?q ? O C B

20．在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q和-3q。今

将一电量为+Q的带电粒子从内球面处由静上释放，则该粒子到达外球面时的动能为[ ]

（A）

Qq4??0RQq8??0R. （B）

Qq2??0R.

（C）. （D）

3Qq.

8??0R21．边长为0.3m的正三角形abc，在顶点a处有一电量10-8C的正点电荷，顶点b处有一电量为10-8C的负点电荷，则顶点c处的电场强度的大小E和电势U为：[ ]

（A）E=0，U=0. （B）E=1000V/m,U=0. （C）E=1000V/m,U=600V. （D）E=2000V/m,U=600V.

22．当带电球面上总的带电量不变，而电荷的分布作任意改变时，这些电荷在球心处产生的

?电场强度E和电势U将 [ ]

??（A）E不变，U不变； （B）E不变，U改变；

??（C）E改变，U不变； （D）E改变，U也改变。

23．有N个电量均为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则地分布，另一种是均匀分布。比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的 Z轴上任一点zp的场强与电势，则有 [ ] （A）场强相等，电势相等； （B）场强不等，电势不等； （C）场强分量Ez相等，电势相等； （D）场强分量Ez相等，电势不等。

xpOy24．在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与

点电荷q距离为r的P?点的电势为 [ ]

（A）

q4??0r. （B）11(?). 4??0rRq （C）

qq11. （D）(?).

4??0(r?R)4??0Rr25．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？ [ ]

（A）在电场中，场强为零的点，电势必为零； （B）在电场中，电势为零的点，电场强度必为零； （C）在电势不变的空间，场强处处为零； （D）在场强不变的空间，电势处处为零。 二．填空题

1．半径为R的不均匀带电球体，电荷体密度分布为?=Ar，式中r为离球心的距离（r≤R），A为一常数，则球体上的总电量Q= ?AR 。 2．真空中，一边长为a的正方形平板上均匀分布着电荷，总电量为q；在其中垂线上距离平板d处放一电量为qo的点电荷。在 d >> a 条件下，qo所受的电场力可写成qo q/(4??0d2)。

3．两个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度分别为+σ和+2σ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度分别为： EA = ?3?/(2?0) EB = ??/(2?0)

EC = 3?/(2?0) (设方向向右为正)。

4．真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为Q（Q＞0）。今在球面上挖去非常小块的面积△S（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去△S后球心处电场强度的大小E= Q?S/(16?2?0R4) ，其方向为 由圆心a4qdq0O点指向?S 。

5．一闭合面包围着一个电偶极子，则通过此闭合面的电场强度通量Φe= 0 。

6．在点电荷+q和-q的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S1、S2、S3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是：Φ1= q/?0 ，Φ2= 0 ，Φ3= ?q/?0 。

7．真空中两个正点电荷，带电量都为Q，相距2R。若以其中一点电荷所在处O点为中心，以R为半径作高斯球面S，则通过

S +Q +Q b a · ? ? O · R 2R

?该球面的电场强度通量Φ= Q/?0 ；若以r0表示

高斯面外法线方向的单位矢量，则高斯面上a、b两点的电场强???度的矢量式分别为 Ea?0,Eb?r05Q/(18??0R2) 。

8．A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3，方向如图，则A、B两平面上的电荷面密度分别为?A= ?2?0E0/3 ，?B= AB4?0E0/3 。

9．一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为σ。该球面内、

E03E0E03?????R2?外的场强分布为E(r)= 0 （rR）（r表示从球心引出的矢径）。

10．把一个均匀带电量+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径

2为R（r1＜R＜r1）的高斯球面上任一点场强大小E由 Q/(4??0R) 变为 0 ；

?电势U由 Q/(4??0R) 变为 Q/(4??0r2) （选无穷远处为电势零点）。 11．在真空中，有一半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为?，设无穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势Uo? ?/(2?0) ，电场强度Eo? 0 。 12．一点电荷带电量q=10-9C，A、B、C三点分别距离点电荷10cm、20cm、30cm.若选B点的电势为零，则A点的电势为 45V ，C点的电势为 -15V 。

q2 O q1 q3 b 13．电量分则为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示。设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势U=

14．两同心带电球面，内球面半径为r1=5cm，带电量q1=3×10-8C；外球面半径为r2=20cm，带电量q2=-6×10-8C ，设无穷远处电势为零，则空间另一电势为零的球面半径r = 10cm 。 15. 如图所示，在带电量为q的点电荷的静电场中，将一带电量为q0的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，外力所作的功W?

18??0R(2q1?q2?2q3) 。

q0q11(?) 。 4??0rarb?16．在场强为E的均匀电场中，A、B两点间距离为d ，AB连线方

向与E方向一致。从A点经任意路径到B点的场强线积分

?AB???E?dl? Ed 。

17．AC为一根长2l 的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷，若电荷线密度分别为 ??和??，则棒的垂直平分线上距离棒l处P点的电势U1= 0 ；若现再在 C点处增加一个点电荷q，则P点处的电势变为U2=

q42??0l 。

18．静电场的环路定理的数学表示式为 ?L??E?dl?0 ，该式的物理意义是 单位正电荷在静电场中沿任意闭合路径绕行一周，电场力作功等于零， ，该定理表明，静电场是 有势场（或保守力场） 场。

19．如图所示，电量为q的试验电荷，在电量为+Q的点

电荷产生的电场中，沿半径为R的整个圆弧的3/4圆弧轨道由a点移到d点的整个过程，电场力作功为 0 ；从d点移到无穷远处的过程中，电场力作功为

qQ/(4??0R) 。

20．真空中有一半径为R的半圆细环，均匀带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O点处的电势U0= Q/(4??0R) ，若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做功W=

?qQ/(4??0R) 。

三、计算题

1．如图所示，一长为10cm的均匀带正电细杆，其带电量为1.5×10-8C.试求在杆的延长线上距杆的端点5cm处的P点的电场强度。(

14??0?9?109N?m2/C2)

解：设P点在杆的右边，选取杆的左端为坐标原点O，X轴沿杆的方向，如图，并设杆的长度为L， P点离杆的

端点距离为d，在x处取一电荷元dq=(q/L)dx，它在P点产生场强

dE?dqqdx? 224??0(L?d?x)4??0L(L?d?x) P点处的总场强为

E?q4??0L0(L?d?x)24?Ldx?q 4??0d(L?d)代入题目所给数据，得

?E?1.8?10N/C E的方向沿X轴正向。

2. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB半径为R，试求圆心O点的场强。

解：在O点建立坐标系如图所示， 半无限长直线A?在O点产生的场强：

?E1????(i?j) 4??0R半无限长直B?在0点产生的场强：

?E2??????i?j? 4??0R ∞ y ?四分之一圆弧段在O点产生的场强：

EABx?EABy??02????cos?d??(sin?sin0)4??0R4??0R2A ?E2 O B ???sin?d???(cos?cos0)4??0R4??0R2????E3?(i?j)

4??0R????E?E?E?E由场强叠原理，O点合场强为：123??E3 ?20?E1 x ∞ ???(i?j) 4??0R22或写成场强：E?EOx?EOy?2?，方向45。 4??0R

3. 半径为R1和R2（R1?R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量?和??，试求：（1）r?R1；（2）R1?r?R2；（3）r?R2处各点的场强。

解：利用高斯定律：??SE?dS?1?0?q。

iS内（1）r?R1时，高斯面内不包括电荷，所以：E1?0； （2）R1?r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE2?E2??l，则：?0?； 2??0r（3）r?R2时，利用高斯定律及对称性，有：2?rlE3?0，则：E3?0；

?E?0???E?r即：E???2??r0??E?0?

r?R1R1?r?R2 r?R2

4. 电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的p点的电势（设无穷远处为电势零点）。

解：设坐标原点位于杆中心O点，X轴沿杆向右的方向，如图所示,细杆的电荷线度??q/(2l)，在x处取电荷元dq??dx?qdx/(2l)，它在P点产生的电势

dqqdx dUp??4??0(l?a?x)8??0l(l?a?x)整个杆上电荷对P点产生的电势

Up?ldx ?8??0l?l(l?a?x)l?q?ln(l?a?x)|

?l8??0lq2l?ln(1?) 8??0laq

5. 图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为?，球层内表面半径为R1，外表面半径为

R2。设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势。

解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U1和球面以外的电荷产生的电势U2之和，即

U=U1+U2 (4?/3(r3?R1)?U1?qi/(4??0r)?

4??0rR13?2?(r?) 3?0r3为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势，在球面外取r??r??dr?的薄层，其电量为 dq???4?r?2dr?

它对该薄层内任一点产生的电势为dU2?dq/(4??0r?)??r?dr?/?0 则

U2??dU2?于是全部电荷在半径为r处产生的电势为

?2R13?2U?U1?U2?(r?)?(R2?r2)3?0r2?0

?R?22??rdr?(R?r)2??0r?2?0

?2R1322?(3R2?r?)6?0r

注：也可根据电势定义直接计算。

6. 如图所示，一半径为R的均匀带正电圆环，其电荷线密度为λ。在其轴线上有A、B两点，它们与环心的距离分别为OA?3R,OB?8R，一质量为m、带电量为q的粒子从A点

运动到B点，求在此过程中电场力所作的功。

解：设无穷远处为电势零点，则A、B两点电势分别为

UA?UB?2?02?0q由A点运动到B点电场力作功为

W?q(UA?Ub)?q(?R2?3R24?0 ?R??R2?8R26?0

??R??q??)?4?06?012?0

注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分算。

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