普通物理专题研究——研究生课程(力学)

普通物理专题研究力学部分

一、功和能 1. 作功和质点的动能定理 在牛顿力学范围内，作功与质点的动能增量之间的关系

可由牛顿第二定律直接导出。对选定的惯性系，牛顿第 二定律可写成： dvF m

将上式两边同时点乘质 点在空间的微小位移dr dv dr F dr m dr m dv mv dv dt dt

dt

积分可得： 1 2 1 2 A F dr 2mv 2 mv0,(质点的动能定理) F:质点所受的合外力；m:质点质量；v :质点速度。B

1 2 1 2 A F dr 2mv 2 mv0,(质点的动能定理)B

左边表示作用在质点上的合力的功，作功是用作

用在质点上的力与质点位移的标积定义的。因为 牛顿第二定律中的 v 是质点的速度，点乘的位 移 dr 必须是质点的位移， dv 才可以积分。 v 所以功的定义中关于位移的说法，应该是质点的

位移，详细例证见下面的讨论。

2. 关于功的定义的讨论 长期以来，不同教材对作功有不同定义，主要区

别在于对作功中的位移这个量有不同的说法。 ①质点位移； ②物体位移； ③力的作用点位移。 如果讨论的对象是质点，三种说法用于处理具体

问题得到的结果是一致的； 如果讨论质点组，差别就表现出来了。

例：关于人走路 一种观点：人能够走动是靠地面的摩擦力作用。这种

观点认为，从功和能的角度看，人由静止到移动，具有

一定的动能，一定是什么力对人作了功。地面对人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力对人作 功，获得动能。 另一种观点：从普遍的能量转化和守恒定律去分析：

人走动时动能的增量是从人的机体内部生物化学能转化 而来，人不吃饭则没有能量补充是走不动路的。再说人 如果抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩

擦力不作功。

两种观点反映出对功的定义的不同理解。

第一种观点是用人体位移来定义功，也就是用“物体位

移”来定义功。对于一个内部有相对运动的质点组，各 个质点没有共同的位移，所谓物体的位移是指质心的位 移。据质心定理： d vc Fi外 M dt M:质点组总质量；vc:质心的速度 用dRc 表示质心的位移，上式两边点乘以dRc d vc dRc Fi外 dRc M dt dRc M dt dvc Mvc dvc 1 2 1 Fi外 dRc Mvc Mvc20 2 2 上式左边不含保守内力功(质点组有非保守内力)

1 2 1 Fi外 dRc Mvc Mvc20 2 2 由质心的位移计算的“功”与质心动能变化关系

没有反应出机械能

与其他形式能量的转化，说明

按此计算功，不能全面和本质反映功能关系，这种定义不足取，还是用质点位移定义功为好。

在分析人走路时，认为地面摩擦力不作功是正确的。这

种观点是按质点位移计算功。地面静摩擦力是作用在人 脚上，脚没有提起也就没有位移，脚一旦提起，静摩擦

力消失，因此也不作功。 据功能原理

W非保=E-E0

人走动时获得的机械能增量是成对内部非保守力做功的

结果。而这些功正是生物化学能转化而来。至于人走动

时必须依靠地面的静摩擦力，仅仅是地面的静摩擦力为人的走动提供了条件(地面如果没有静摩擦力，人走动 要消耗体内更多能量，若有滑动摩擦力，则需克服滑动 摩擦力作功)。

关于用“力的作用点位移”来计算功也是一个不

确切的概念。例： dr作用点 dv F dr作用点 m dr作用点 m dv mv作用点 dv dt dt v 是质点的速度，而v作用点 是力的作用点的速度，因此不能积出质点动能的增量，可见这种功的 定义失去了意义。 有时质点有位移，作用点没有位移。 如人走路：脚(质点)有向上位移， 地面作用点，脚提起，作用点消失，落地时没 位移。

3.功与参照系的关系

功的定义是作用在质点上的力 F 与质点位移 dr 的标量积。W B A

F dr

根据功的定义，并没有提出有关参照系的选择的限制，

我们可以在任何一个参照系中去计算功，而不论是否是 惯性系，只不过在不同参照系中计算功有不同的结果而 已。 但由质点动能定理：

力 F 对质点所作的功却必须是在惯性系中进行。

1 2 1 2 W mv2 mv1 2 2

这是因为，在推导动能定理中用到牛顿第二定律，

而牛顿第二定律在惯性系中成立。 在应用动能定理讨论问题时，必须对同一惯性系

去计算功及动能增量。 在非惯性系中，作为出发点的牛顿第二定律还要

加上惯性力，这时若在非惯性系中运用动能定理

求功，需计算惯性力的功。

讨论：不同参照系计算摩擦力作功的争议。 当一个物体在地面上滑动时，地面上的观察者认

为，摩擦力对物体作了负功。而相对物体静止的 但物体没有位移，摩擦力不作功。 两个不同的观察者(参照系)对摩擦力对物体作

车上的观察者认为，物体虽受地面摩擦力的作用，

功得出不同结论，从他们不同的参照系看自然是 正确的。但是，当我们从“摩擦生热”这个角度 去分析这个例子时，发现出现了矛盾。

摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观察者(参照

系)都是一样。但按上例

中，车上观察者讲，由于摩擦力对物体不作功，物体温度不变。 功的定义规定了功在不同的参照系中有不同的结果，即

功的计算依赖于参照系的选择。而“摩擦生热”现象告

诉我们摩擦力作功不应该依赖于参照系的选择，如何将两者统一起来？ 当参照系变换到车上以后，摩擦力对物体虽不作功，而

作用在地面上的摩擦力的反作用力却由于地面相对于车 有位移，对地面作功。这个反作用力的功往往容易被忽

略。

问题关键：在讨论摩擦生热现象时，必须同时考

虑摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以 这一对作用力与反作用力功之和去量度有多少机

械能转化为热运动能量。 可以证明，一对滑动摩擦力作功之和是不随参照

系变换而变换的(不论变换到惯性系还是非惯性系)。 从物理角度看，正是普遍的能量转化和守恒定律

的一种表现：机械能和热运动能量之间的转化与

守恒是不依赖参照系的选择的。

结论： 凡遵从牛顿第三定律的作用力与反作用力作功之

和均与参照系的选择无关。不论选取的参照系是 惯性系还是非惯性系，也不论讨论的是摩擦力还 是其他性质的力，这个结论都是正确的。 详见后面的证明。

4. 作用力与反作用力的功

证明不论参照系怎样变换，作用力与反作用力作

功之和与参照系的选择无关。设m1、m2组成的系统，它们之间相互作用力分别 为f1和f 2,在某参照系S中，它们t时刻位置矢量分 别为r1和r2,在dt时间内，两质点位移分别为 dr1、dr2。作用力与反作用力的功为W1和W2, 二者之和： W1 W2 f1 dr1 f 2 dr2

若有另一参照系S ,在t时刻，S 相对S的速度为v 。 在dt时间内，m1相对S 参照系的位移为dr1,S 相对S 的位移为v dt,m1相对S的位移为dr1,三者之间的相 对关系：dr1 dr1 v dt, r r v t,伽利略变换) (因 dr1 dr1 v dt 则相对S 系来计算f1对m1作的功 W1 f1 dr1 f1 dr1 f1 v dt 同理，m2相对S 系的位移dr2 为 dr2 dr2 v dt 则相对S 系来计算f 2 对m2作的功 W2 f 2 dr2 f 2 dr2 f 2 v dt

相对S 系，作用力与反作用力作功之和为： W1 W2 f1 dr1 f 2 dr2 f1 dr1 f 2 dr2 ( f1 f 2 ) v dt 据牛顿第三定律f1 f 2 0,故有 W1 W2 f1 dr1

f 2 dr2 W1 W2 所以上式表明，在任何参照系里(不论是否是惯性系),一对 作用力功与反作用力功之和都相同。

由于S和S 是任意选取的，它们之间相对运动速度可取任意值。

5.物体系的势能

在一般的教科书中讲授势能时，都强调了势能属

于物体系的概念，但很少进行深入的讨论。下面 以重力势能为例加以讨论： 质量为m的质点沿任意路径移动，重力对质点作

功为

W=-(mgh2-mgh1)

重力是保守力，引出势能的 概念，保守力作功等于势能 增量的负值：

W保=-(EP2-EP1)

并强调重力势能属于地球和质点组成的系统所共有。由

此产生疑问： ①mg是作用在质点m上的重力，这里并没有分析地球的

受力和运动，怎么把地球作为研究对象？ ②质点和地球处在不同地位，又有什么根据把作为参考

系的地球作为研究对象呢？ ③如果用重力作功的负值定义重力势能增量,重力对质

点作功是随参考系的不同选取而变化。例如，以地面为 参考系，重力对质点作功为-(mgh2-mgh1),重力势能增 量为mgh2-mgh1,如果选取相对于m为静止的参考系， 重力对质点不作功，岂不是得出重力势能增量为零的结 论？这个结论显然不合理。

如何解释上述疑问？

上述疑问是合理的，问题出在势能建立过程是有

漏洞的。 在引入保守力这一概念时，不应当说一个力作功

与路径无关，而应当说一对作用力与反作用力作 功之和与路径无关，只决定于初态和终态的相对 位置，具有这种性质的力才是保守力。 谈论保守力时，有意义的是保守力作的功，而保

守力的功总是指一对作用力和反作用力作功之和, 这个功之和的负值等于势能的增量。 所以相互作用物体都是我们的研究对象。

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