江苏省赣榆高级中学南京一中2020届高三阶段检测数学试题12.9

江苏省赣榆高级中学2020届高三阶段检测（三）

数学试题

参考公式：

1n1n样本数据x1,x2...，xn的方差s??(xi?x)，其中x??xi

ni?1ni?122锥体体积公式：V?1sh 3一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请将答案填在答题纸相应位置）

1.已知集合A?{?2,-1,0,1}，B?{x|x?0,x?R}，则A2. 函数y?lg(x?1)?(x?2)的定义域是 ▲ . 3.设z?(1?i)2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为 ▲ .

4.若k1，k2，…，k8的方差为2，则2(k1?1)，2(k2?1)，…，2(k8?1)的方差为 ▲ . 5.甲、乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.3，甲、乙下成和棋的概率为0.5，则甲不输的概率为 ▲ .

6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ .

D1 C1 S←1 I←1 A1 B1 While I?10 S←2S＋1 I←I＋3 D E C End While Print S A （第8题） B （第6题）

0B? ▲ .

x2y2?1的一条渐近线的距离是2，7.若抛物线y?10x的焦点到双曲线2?则该双曲线的离

a162心率为 ▲ ．

8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，上，下底面为平行四边形，E为棱CD的中点，设四棱锥E－ADD1A1的体积为V1，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为V2，则V1:V2? ▲ ． 9.已知函数f(x)?2?ax?bsinx(a?0,b?0)，若x?[0,1]时，f(x)的最大值为3；则x?[?1,0)时，f(x)的最小值是 ▲ ．

x310.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}前n项和为Tn，若S9??18，

1

S13??52，且b5?a5，b7?a7，则

T4的值为 ▲ ． T211.如图是函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0)图象的一部分，则函数f(x)的单调减区

y 间是 ▲ ． P y T 1 y0A O B ? 5?? x O 6318 ? y0 -1 (第14题) （第11题） (第12题)

12. 如图，在?ABC中，AD?x 11AB，AE?AC，CD与BE交于点P，AP?1，BC?4，

32AP?BC?2，则AB?AC的值为 ▲ ．

（x,h(x)）（x,g(x)）13.定义在R上的函数f(x)，g(x)，h(x)，若?x?R，点，关于点 （x,f(x)）对称，则称h(x)是函数g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知函数h(x)是函数

g(x)?ax?1关于函数f(x)?x2?3x的“对称函数”，且函数h(x)存在4个零点，则

实数a的取值范围是 ▲ ．

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?1,0)，点P是圆O:x?y?4上的任意一点，过点B(1,0)作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本题满分14分）

已知在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 向量m?(cosA,sinA),n?(cosB,sinB),0?B?A??.

P

（1）若m?n，求|m?n|的值；

F 22（2）若m?n?(33,)，a?4，求b的值. 22A 16.（本小题满分14分）

B E

C （第16题）

如图，四面体P?ABC中，AB?BC，平面PAB?底面ABC，且PA?AB，点E是棱BC的中点，点F是棱PB上一点，且PC∥平面AEF．

2

（1）求证：点F是棱PB中点； （2）求证：PE?AF．

17. （本小题满分14分）

x2y21a?b?0)的左、右顶点分别为如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C ：2+2?（abA，B．已知AB?4，且点(e,35)在椭圆上，其中e是椭圆的离心率． 4（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P是椭圆C上异于 A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，N，

求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值． y M P

N

B x A O

18．（本小题满分16分）

（第17题）

l 如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东53?的方向上，与甲观察哨所相距2193n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193n mile；

（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；（参考数据：sin53=43,cos53=） 55（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船

正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船A

最大航速的?(??1)倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求?的取值范围．

D

总能在暗礁区（不

C 3

北 B l

（第18题）

东

19.（本小题满分16分）

x已知函数f(x)?(x?a)e?b在原点处的切线垂直于直线x?y?3?0．

(1)求函数y?f(x)的解析式;

(2)是否存在区间?m,n?，使得f(x)在该区间上的值域为?2m,2n?？若存在，求出m,n的值，若不存在，请说明理由;

(3)若f(x)?asinx?0对任意的x??0,??恒成立，求a的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知正项数列{an}的前n项和为Sn（n?N），其中Sn??an?u． （1）若a1?2,a2?6，求数列{an}的通项公式； （2）若a1?a3?2a2，求证：数列{an}是等差数列．

4

?

高三数学12月月考参考答案

一、填空题

2??（2，+?）1.{?2,-1} 2.?1， 3.-2i 4．8 5.0.8 6. 15 7.

[10．3 11．51 8. 1:6 9.-

321k??7?,k??13?](k?Z)2??（18，+?） 12． 13． 14．（开闭都对）?0，623363363二、解答题

15.（本题满分14分）(1)证明：（方法一）由m?n得m?n?0,......................2分

222222且|m?n|?(m?n)?m?2m?n?n?cosA?sinA?0?cosB?sinB?2,

22.............................................................4分 所以|m?n|?2...............................................6分

（方法二）由m?n得m?n?0,所以cosAcosB?sinAsinB?0,.........2分

m?n?(cosA?cosB,sinA?sinB),

所以|m?n|?(cosA?cosB)2??sinA?sinB? ..........6分

2?cos2A?cos2B?sin2A?sin2B?9(cosAcosB?sinAsinB)?2?3cosA?cosB???2（2）m?n?(cosA?cosB,sinA?sinB),可得： ??sinA?sinB?1??2(1)2?(2)2,得：2?2(cosAcosB?sinAsinB)?3,cos(A?B)?又0?B?A??，所以A?B?(0,?)。故有：A?B?(1)

(2)1............8分 2?3 ................10分

A?B??3代入（1）式：cos(B??3)?cosB?3, 25

化简,得:333311?1cosB?sinB?,即cosB?sinB?,cos(B?)?, 22222262?7??????(,),所以B??,B?,因而A?..................13分 6666362又a?4,所以b?2................................................14分

且B??16.（本小题满分14分）

【解析】（1）因为PC∥平面AEF， 又因为PC?平面PBC,平面PBC?平面AEF?EF， 所以PC∥EF， …………………………… 4分 又因为E是BC的中点，F是棱PB上一点， 所以点F是棱PB中点． ………………………… 6分 （2）因为平面PAB?底面ABC， 又因为BC?平面ABC，平面PAB?底面ABC?AB，AB?BC， 所以BC?平面PAB, ………………………… 8分 因为AF?平面PAB 所以BC?AF． 由PA?AB, F是PB中点,得PB?AF， ………………………… 10分 又BCPB?B,可得AF?面PBC． ………………………… 12分 因为PE?面PBC,所以PE?AF． ………………………… 14分

18. （本小题满分14分）

解：（1）因为AB?4，所以2a?4，即a?2，

3e245 又点(e,5)在椭圆上，故2+?1，即 2a16b4c245+?1，又b2?c2?a2?4，联立方程组，解得 21616bx2y22b=3，故椭圆方程为+?1．.....................................4分

43（2）设P点坐标为（s,t），M,N的横坐标均为m（m??2)，

则直线AP的方程为：y?t(x?2)， s?2故M(m,

t(m?2)t，................6分 (m?2))，故直线BM的斜率k1?(s?2)(m?2)s?2同理可得直线AN的斜率k2?t(m-2)...............................8分

(s?2)(m+2)6

t(m?2)t(m-2)t2=故k1k2?，..............................10分

(s?2)(m?2)(s?2)(m+2)s2?4

3s2t2又因为P点在椭圆上，故有+?1，即t2??(s2?4)，

434t23因此有k1k2=2??，故直线AN与直线BM的斜率之积是定值．.......14分

s?44

18．（本小题满分16分）

（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC， 3即：(2197)2?322?BC2?2?32?BC?，整理得：5BC2?192BC?1260?0

5解得：BC?30，或者BC?42（舍去）................................4分 54?24故5过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，CD=BCsin?ABC?30?暗礁中心点C到海岸线l的距离为24n mile.........................6分 （2）

由（1）可知AD?14,BD?18，以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A（?24，14），D（?24，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为

x2?y2?36........................................................7分 假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则

(x?24)2?(y?14)2(x?24)?y22AT??， DT则点T满足方程：??，

化简得：(x?24)2?(y?14214?2)?()...............................10分 22??1??1

要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆(x?24)2?(y?故(0?24)2?(0?

整理得：135?2?42??184?0，解得??446或???（舍去）．...........15分 34514214?222)?()与圆x?y?36外离， 22??1??114214?)?()?6..................................12分 ?2?1?2?1

答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是24n mile；

7

（2）当??

4

时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区 3

（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．.......................16分

19.（本小题满分16分）

解：（1）f(x)＝xex．...............................................2分

（2）由题意，易知函数在（-?，-1）为减函数，在（-1，+?）为增函数．

?me=2m

①当-1≤m＜n时，f(x) 在（-1，+?）为增函数，故可知?nen=2n ，

??m=0

解之得?n=ln2 ．.... ... .... .....................................4分

?

?mem=2n ①

②当m＜n≤-1时， f(x) 在（-1，+?）为减函数，故可知?n ，①×②得 em+n ＝4，

?ne=2m ②

m

所以m+n=ln4，与m+n＜-2矛盾，不合题意，舍去．.......6分

③当m＜-1＜n时，f(x) 在（-?，-1）为减函数，在（-1，+?）为增函数．故f(x)min= f(-1)= - 11

=2m，所以m = - 与m＜-1矛盾，不合题意，舍去．........8分 e2e综上，m=0，n=ln2．（没有写综上扣一分） （3）令g(x)＝xex－a sin x．g’(x)＝(x+1)ex－acosx．

①当a≤0时，因为[0，π] ，所以(x+1)ex≥0，sin x≥0，故g(x)≥0在[0，π]恒成立，从而a≤0．...................................................10 ②当0＜a ≤1时，因为g’(x)在[0，π]上单调递增，所以g’(x) ≥g’(0)=1－a≥0，从而g(x) ≥g(0)=0，故0＜a ≤1．..................................12分

③a＞1时，由②知g’(x) ≥g’(0)=1－a＜0，g’(π)= (π+1)eπ－acosπ＞0，故可知存在t∈（0，π），使得g’(t)=0．故g’(π) ＜0在x ∈（0，t）恒成立，g(x)在（0，t）为减函数 ，又g(x)=0，g(x)< 0在（0，t）恒成立，不合题意，舍去．..16分 综上，a ≤1．（没有写综上扣一分） 20．（本小题满分16分）

??解：（1）根据题意，有???2?2???2?2??u?4...................2分 ，解得?2?6??u?u?2?2?11故Sn?(an?2)2，当n?2，n?N?时，有Sn?1?(an?1?2)2，

88两式相减得(an?an?1)(an?an?1)?4(an?an?1)，

又an?0，则an?an?1?4，............................................5分

故{an}是首项为2，公差为4的等差数列，则an?4n?2...................6分

8

?a1?(?a1?u)2,(1)?（2）根据题意，有?a1?a2?(?a2?u)2,(2)，

?a?a?a?(?a?u)2,(3)233?1因为a1?a3?2a2，所以可设a2?a1?a3?a2?d， （2）减去（1）得：a2?(?a1??a2?2?)?d， （4）

（3）减去（3）得：a3?(?a2??a3?2?)?d， (5) ................8分

(5)减去（4）得：d?2?2d2 当d?0时，a2?0与题意矛盾

1，................................................10分 2d代入（4）式得4???1，

则有?2?代入（1）式得a1?d ..........................................12分 2121dan?an?， 2d28121dan?1?an?1?， 2d282所以Sn??2an?2??an?u2?n?2，n?N?时，有Sn?1?式相减得：an?1212(an?an)?(an?an?1)，整理得：(an?an?1)(an?an?1?d)?0 ?12d2又an?0，则an?an?1?d

故{an}是等差数列．..........................................16分

9

10

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