奥林匹克竞赛题

第二届保良局(香港)国际 小学数学竞赛(1998．7)

队际赛试卷

1．在下面数列中，请问第1998个数是什么?

1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，-6，6，-6，6，-6，6，?。

2．有一项工程，小明先独做30天，接着小华继续独做5天，以后，他们两人合做10天才完成这项工程。同样的工程，如果由小明和小华合做，只需20天便可完成。假设小明和小华每人每天工作量是固定的，试问小明独做完成这项工程需要多少天?

3. 用L表示所有被3除余1的全体正整数。如果L中的数（1不算)除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L—质数”，请问第8个“L—质数”是什么?

4. 在平面上有许多个圆，每一个圆都被两条互相垂直的直径分成四部分，每一部分涂上红色、黄色或蓝色，任何两个圆，无论怎样在平面上旋转都互不相同，请问这样的三种颜色都有的圆最多有几个?

5．求满足下列条件的最大正整数是多少? (a)这个数的所有数字都不同；

(b)这个数任意两个相邻的数字所构成的两位数总可被17或23整除。

6. 三位学生参加体育竞赛，竞赛至少有两个项目，每位学生都需参加所有的项目。任何一个项目，第二名的学生比第三名的学生得分多，但比第一名的学生得分少。每个项目名次的得分都用同样的三

1

个正整数。竞赛结束时，三位学生的总分为5，9及16。求每项比赛第一名的得分。

7．从一本不超过500页的书中撕下一页，剩下的页数的总和为19905，试问被撕下的这一页的两面页数的总和是多少?

8．有一个长方形的草地四周围被l米宽的路径所包围，形成一个更大的长方形，此草地的长与宽部是单位为米的整数．而且此路径的面积等于草地的面积，求此路径最小的面积是多少平方米?

9．A，B，C，D，E五人玩一个游戏，每人必须扮演狮子或打山节，狮子总是说谎话，山羊总是说真话。 A说：“B不是山羊。”(C说：“D是狮子。” E说：“A不是狮子。”B说：“C不是山羊。” D说：“E与A是不同的动物。” 问：“谁扮演狮子?

10．在右坚式乘法算式中，每一个英文字母代表一个数字，相同的英文字母表示相同的数字，且不同的英文字母表示不同的数字。任何一个空格内可填入一个恰当的数，请问五位数ABCBA是多少?

个人竞赛试卷

1．计算：

1?2?3?2?4?6?3?6?9?4?8?12?5?l0?15。

1?3?5?2?6?10?3?9?15?4?12?20?5?15?252．三角形数和正方形数如下图所示：

如果某两个连续三角形数的差与某两个连续正方形数的差都是1l，请问这四个数的和是多少?

2

2题图

3．设OA、OB分别是小半圆的直径，但OA=OB=3厘米。若∠BOA为直角，且A、B是在以OA为半径所成的大圆周上的二点。那么，右图中阴影部分的面积是多少平方厘米?

4．假设某星球的一天只有10小时，每小时有100分钟。求在6

点75分时，时针与分针所形成的锐角是多少度?

5．把许多球分到l 998个箱子之内，且所有箱子都排成一行。如果从左边数第二个箱子内有7个球。且任何四个连续的箱子球数的总和都是30个，

请问最右边的箱子内有几个球?

6．某一次数学测验之后，班上25位学生都瞄了一眼老师的成绩表，每一位学生都留意到有5个甲等成绩，没有一个学生看到全部的成绩，也没有一个学生看到他或她自己的成绩。请问最少有几位学生获得甲等成绩?

7．如右图所示，O是边长为6的正方形ABCD的中心点，EOF为直角三角形，OE=8，OF=6。求阴影部分的面积是多少?

3

8．有一位男同学要整理i种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆节，他只能将厚度相同的书叠成高度一样的三叠，且使书的高度尽可能小。这样的整理共用了多少本书?

9．三边长都是整数凡周长是10厘米的_二角形一共有多少个? 10．请问960所有的正约数共有多少个? 11．请问21998+31998州的个位数字是几?

12．从右图中的金字塔顶端有“3”字的方格出发，每步可走列该方格F面的两方格中的一格，一直到达底层为止。假如经过七个方格内，所有的数字都不相同，求走到最底层的所在方格内的数是几?

13．每一年至少有一次星期五是某月的13日，但出现的次数不会超过三次。1998年正热

好有三次，分别在二月、三月和十一月。请问，下一次刚好又有二个月的13日是星期五的是公元哪一年?

14．将所有形如满足下面的规定：

(1)若m1×n1

mm1必须排在2的前面。 n1n2mm1也必须排在2的前面。 n1n2m的分数排成一行，其中m，n都是自然数，且n(2)若m1×n1=m2×n2，且n1

19981和两数中间共排有多少个分数? 1198815．将九个正方形其边长分别为l，4，7，8，9，10，14，15和18拼成一个大长方形，那么在这个长方形的四个直角上的四个正方形面积的总和是多少?

4

第三层保良局(香港)国际 小学数学竞赛(1999．7)

队际赛试卷

l. 分数

44可以写成l+371x?1y?1z形式，其中x，y，z都是不同的H

整数。试求z+y+z的值。

2. 有一个关于毕达哥拉斯的故事是说，他有一次处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，?，G)，一直到指出第1999根柱子的标号是哪一个才能够停止。你可否帮助他尽快结束这个处罚?

A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 13 12 11 10 9 8 14 15 16 17 18 19 25 24 23 22 21 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

3．99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果。试问这群小朋友最多有几位?

4．一个家具店在1998年总共卖了213张床。起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床。试问他们共有多少个月是卖出25张床?

5

26．A，B，C，D，E和F六人沿一圆桌坐下。B是坐在A右边的第二人；C是坐在F右边的第二人；D坐在E的正对面，还有F和E不相邻。问：谁坐在A和B之间?

27．图中列有20点。问：用其中任意4点作顶点能形成多少个正方形?

(27题) (28题)

28．图中画的是16枚相连的邮票。问：有多少种方法可以撕出3枚相连的邮票而余下的邮票仍然连在一起?(注：算相连的邮票。)

29．在下列图形中，各有一个边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠。问：哪一个重叠的面积最大?

这种情形不

30．三个学生各写下一个小孩的高度、一个圆的圆周长、一只杯的容量和一个球的重量。他们的答案如下表：

学生 A B C

21

高度 90cm 70cm 80cm 圆周长 22cm 2lcm 22cm 容量 250ml 245ml 250ml 重量 510g 510g 520g

假如每个学生都只答对两项，求小孩的高度。 31. 下面数列的各数是用数字l，2，3，4和5组成，且每个数字只用一次。这样共可组成120个数。问：数列中间的两个数是什么?

32．如图，ABCD是一个长方形。三角形PAB、

(32题)

PBC和PCD的面积分别是22cm2、72cm2和130cm2。求三角形PBD的面积。

33．甲乙二人同时分别从游泳池的左右两端相向出发，游到池边马上返回。假设他们在游的过程中各自的速度保持不变，且第二次相遇点离左池边的距离与第一次相遇点离右池边的距离的比是5：4(如图所示)。求甲的速度与乙的速度的比。

34．一个时钟的时针和分针各自正指着分钟的刻度。分针在时针的前面，且它们之间的角度是72o。问：钟面上所示的时间是什么?

35. 下面图1代表一街道图，其中A，B，?。H为交叉点。今改为单行交通系统如下图2所示。在单行交通系统中，从A到E的最短路线是A—E；从E到A的最短路线是E F B A。我们说：从A到E的距离是1，而从E到以的距离是3。

在下图3中加上箭头，以设计一单行交通系统，使得从一交叉点到另一交叉点的距离最多是5。

图1 图2 图3

22

新加坡小学数学奥棒匹克（二）

1．求方格中缺掉的数。

9??1?□????2?1

7??2．求2+22+222+2222+?+2222222222的值。

3．小华四次英语测验得分各为84，88，89，87。假如他想把他的平均分数提高2分，问下次英语测验他需得多少分?

4．一数列，从第三项起，每项是前两项的和。如果这数列的第六、第七、第八项分别是29、47、76。求这数列的第三项。

5．用数字1，1，2，2，3，3，4，4组成一个数，使得夹于两个1之间有一个数字，两个2之间有两个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字。

6．15个网球分成4组，各组球数互不相同。球数最多的一组至少有多少个球?

7．在图中，ABCD是边长为10cm的正方形，P是AB的中点，求阴影部分的面积。

8．图中阴影部分占图形的几分之几?

（7题） （8题） （9题）

9．一立体（如图所示）是从一个长边5cm的立方体中挖去一个边长2cm的立方体形成，求这个立体的表面积。

10．图中有四个边长为10cm的正方形。阴影部分的

(10题)

23

三个四分之一圆所围成。求阴影部分的面积。（取π=3.14）

11．如下数列的第7项是什么?

1，3，7，15，?

12．1×2×3×4×5×?×99×100乘积的值的末尾有几个零? 13．女生人数的80％比男生人数多20％，问女生人数占学生总数的百分之几?

14．有若干人去打猎，平均6人猎得5只野兔，15人猎得2只鹿，10人猎得1只野猪，结果最后每人分得一只猎物还多4只，问参加打猎的人数是多少?

15．一条狗和一只兔相距160米。狗追赶兔子，狗每跑9米，兔子跑7米，求狗必须跑多少米才能追上兔子。

16．求图中么．BAC和么BCA两角之和。

（16题） （17题）

17．在图形中可以找出许多长方形。问其中有多少个长方形包含阴影部分?

18．按下页左图中箭头所指的方向，问从A到B共有多少条不同的路线?

19．下页右面图形

APBQCR

是正六边形（即

AP=PB=BQ=QC=CR=RA）。假如阴影部分的面积是6cm2，求三角形以BC的面积。

20．编号是1，2，3，4，5，6的六位运动员进行乒乓球比赛。每两人都要比赛一场。到现在为止，编号是l，2，3，4，5的运动员

24

已参加比赛的场数正好分别等于他们的编号数，问编号是6的运动员已经赛了几场?

（18题） （19题）

21．求下面这个1997位数被9除所得的余数。

4444…44

1997个4

22．问有多少种方法从2，3，4，5，6，7中选出3个不同的数来，使得这3个数的和是偶数?

23．某俱乐部去年有370名会员。今年男会员人数减少10％，女，会员人数减少5％，这使现有的男女会员人数一样多。问这个俱乐部现在有多少会员?

24．A与B合作可以在48天内完成一项工作。该项工作由月单一独做了63天后交给B，B需要再花28天才能完成工作。问A一个人：做完全部工作需要花多少天?

25．A与8二人同时分头做装箱工作。每一个箱子都应装入N本书。当A装入40本书时，A与8一共装入了N本书。当A与B一共装入了3N本书时，B已装满了一箱书，同时只差30本书就又能再装满一箱书。当A与B一共装的书为5N本时，除了已装满的几箱书外，A还差多少本就又可以装满一箱书?

26．下面数列中有一个l，二个2，三个3，四个4，这样继续下去，问第1997个数是多少?

25

1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，? 27．晚会中，每二位男士除自己的妻子外与其他各人都握了手，嚣而所有女士们都不互相握手。如果l0对夫妇参加这个晚会，问他们之间握手的总次数是多少?

28．从8×8正方形棋盘中取出一个四个小方格组成的方格图形，问有多少种不同的取法?

(28题)

29．6名男生A，B，C，D，E和F参加数学竞赛的选拔考试。其结果如下：

（1）A和B中至少一人被选上； （2）A和D不能同时被选上； （3）A、E和F中只有两人被选上j （4）B和c一起被选上或不被选上； （5）C和D中有一人被选上；

（6）如果D不被选上，则E也不被选上。 问哪几位男生被选上参加数学竞赛?

30．圆周上，按顺时针方向标出了八个点l，2，3，4，5，6，7，8。以、B、c三名男生在圆周上从一点跳到另一点，他们都从点“l”沿顺时针方向跳起（如图所示）。

(30题) 每一跳，A移动3个点，B移动2个点，c移动1个点，当任意两人相遇时，他们同时改变方向继续用同上方法跳下去。求在10跳后，各男生在圆周上的位置。

31．在100，101，102，?。9，,96，1997的所有自然数中，百位数与个位数相同的自然数有多少个?

32．约翰和大卫共储蓄800元。约翰储蓄值的比大卫储蓄值的

14 26

1多56元。求约翰储蓄值与大卫储蓄值的比。 433．两列火车A和B在平行轨道上反方向行驶，它们的速度分别为每小时72千米和54千米。假如火车4的司机注意到火车B以8秒钟时间越过他（越过他的时间从车头相遇算起，到车尾离开为止），求火车B的长度。

34．图中4BCD是一个等腰梯形，其中AD平行于BC，且AB=DC。如果．AC=18，∠ACB=45。，求等腰梯形ABCD的面积。

（34题）

35．（a）将黑（B）、白（缈）棋子各4个排列于圆周上，如下图1所示。

图l 图2 图3

以下的步骤是8个棋子的一次替换。

步骤一：在每两个相邻的向色棋子问放一个黑子，并在每两个相邻的异色棋子间放一个白子，如图2所示。

步骤二：将原有的’8个棋子取走，如图3所示。 从图1开始，需几次替换才会得到一种只有黑子的排列? （b）试找出一种排法使其在3次替换后会得一种只有黑子的排列。

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汉壤一际数学竟赛（一）

第一试试卷（60分钟）

1．9个自然数的乘积为64，这9个数分布在同一圆周上，对其中每一数A，这个数与下面两个数B、c（顺时针方向）的比值（或

B）相等，这9个数各是多少? CCB2．把三根长为1厘米的火柴杆和三根长为3厘米的火柴杆摆放在下图所示的圆周上构成六边形，此六边形的面积是由三根l厘米长的火柴杆所构成的等边三角形面积的多少倍?

（2题） （3题）

3．高为50厘米，底面周长为50厘米的圆柱，在此圆柱的侧面上划分（如右图1）边长为l厘米的正方形。用四个边长为l厘米的小正方形构成“T”字形（如右图2），用此图形是否能拼成圆柱侧面?并说明其理由。

第二试试卷（60分钟）

4．锐角三角形用度数来表示时，所有角的度数为正整数，最小角的度数是最大角的度数的，求满足此条件的所有锐角三角形的度数。

5．在四边形ABCD中，AB=6cm，BC=7cm，CD=5cm，AD=4cm，这个四边形的面积为26cm2。由直线AB、BC、AD构成三角形时。证明四边形ABCD有内切圆存在，且求该内切圆的半径。

6．要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体大小可以不等），画图表示。

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14

汉城国际数学竞赛（二）

1．哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片。他先到“甲”文具店去买了几张每张500元钱的卡片，剩余的卡片到“乙”文具店去买了。“乙”文具店的一张卡片价格是以百元为单位，且小于2000元。哲洙买了50张卡片共花了30400元。请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形。（10分）

2．如下同所示，有边长为4厘米的49个小正方形。试求三角形ABC的面积。（10分）

3．下表l是由数字0，l交替构成的。表2是由表l中任选

三种形式的图形，并在每个小

格七全部加l或减1，如此反复多次进行形成的。试问表2中的A格上的数字是多少?并说明理由。（10分）

（第3题表）

1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （表1） （表2）

4．有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面。这些旗的模样大小都相同。现把这些旗如下例图一样挂在一个旗杆上做成各种信号。如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号?（10分）

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（第4题例图）

5．如右图所示，五个圆相交出现A，B，C，D，E，F，G，H，，及数l部分。将2～10九个整数填写在A～I的九个部分，使每个圆内的三个整数之和都相等，但每个整数只能用一次。试求圆中的三个整数之和为最大时是多少?并写出A～I，所代表的整数。（10分）

6．现有一个长、宽、高都为1cm的正方体，有一个长、宽为1cm，高为2cm的长方体，有三个长、宽为1cm，高为3cm的长方体。右下方的三个图是把这五个立体图形合并成某一个立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用这三个图形把合并成的立体图形如左下方的例图的样子画出来，并求出其表面积。（10分）

30

日本算术奥棒匹克邀请赛

1．“六·一”儿童节那天，商店销售的奶糖、什锦糖均优惠10％，幼儿园以优惠价为小朋友买来3千克奶糖和15千克什锦糖，共花了98．91元，已知1千克什锦糖的售价是1千克奶糖售价的在平时买15千克什锦糖要花多少元?

2．△ABC和△DEF为两个叠放在一起的等腰直角三角形（如右图）。已知：BC=10，CF=1，DE=7。则阴影部分的面积是 。

3．用1元钱购买2分邮票或4分邮票或8分邮票若干张，没有剩余钱。问：一共有多少种不同的买法?

4．下图中的三个图形都是由A，B，C，D（线段或圆）中的两个组合而成的。记为A*B，C*D，4*D：

13。那么2013

那么，表示A*C的是图甲、图乙、图丙中的哪一个?

5．设1，3，5，7，9，?，m是2n+1个连续的奇数，求这些奇数中能被3整除的所有的数的和。

6．如左图，已知四边形ABcD是正方形，边长为3，BE=1.5，AF=1，求阴影（划线）部分的面积。

7．甲，乙，丙，丁四人进行羽毛球双打比赛。已

31

知：

（1）甲比乙年轻；

（2）丁比他的两个对手年龄都大； （3）甲比他的同伴年龄大；

（4）甲与乙的年龄差距要比丙与丁的年龄差距大。 试判断谁与谁是同伴，并说出四人年龄从小到大的顺序。 8．有三个棱长分别是3cm、4cm、5cm的相同的长方体，把它们的某些面染上红色。使得有的长方体只有一个面是红色，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的。染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后恰有一面是红色的小正方体最少有几个?

9．小明的家、学校、剧院、公园顺次在一条从西向东的马路上。小明从学校出来，要去东边办事，可是家在西边，若步行回家取自行车需要15分钟返回学校；若在学校门口等汽车要等50分钟；当然他也可以步行。已知步行速度是每小时4千米，骑车速度是每小时16千米，汽车速度是每小时48千米。小明算了一下，到剧院以远，骑车比步行合算；到公园以远，坐汽车比骑车合算。问：剧院到公园多远?

10．A、B、C三个人分别住在三个不同的地方，现约定在P点相聚开会。如果A、B、C交通工具的速度比是2：3：6，那么P点应选在什么位置，可使三个人从住地到，P点所用时间之和最小?（假定平面上任意两点之间有公路相通）

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