定积分在物理学中的应用

数学与计算科学学院

学年论文

题 目 定积分在物理学中的应用 姓 名 邓花蝶 学 号 1209403047 专业年级 2012级数学与应用数学 指导教师 魏耿平

2015年 9 月 1 日

定积分在物理学中的应用 ——求刚体的转动惯量

摘要

众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程中通常都 会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我

们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。因此当前我们在对物理学 的学习中，就要将定积分应用到其中。定积分是高等数学的重要组成部分， 在物理学中也有广泛的应用。微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用 的方法。本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的 转动惯量。

关键词

定积分； 物理应用； 微元法; 转动惯量；均匀刚体

The application of definite integral in physics

——For the moment of inertia of rigid body

Abstract

As we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integral to it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral. In this paper, using the ideas of \common uniform rigid body in physics.

Key words

Integral; physics application; differential method；rotational inertia ；uniform rigid body

1 引言

物理学中应用定积分法去解决实际问题是非常广泛而重要的，运用“数学微元” 的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题，是大学物理学教学的重难点， 不易被学生理解和掌握。大学物理学中，刚体绕定轴转动的转动惯量要用到定 积分去解决问题。转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量。刚体对转轴z 的转动惯量

Iz??miRi2?2R?dm

对形状规则的常见均匀刚体，在计算中往往需要记忆它们的转动惯量表达式。 同时，这些刚体在形式上又有联系，它们的转动惯量表达式是否也有联系呢？ 如果答案是肯定的，那么我们只需记忆一两个转动惯量表达式，就可以在应用 中很方便地推出其他相关刚体的转动惯量。

2 几种常见的均匀刚体的转动惯量 2.1 圆环的转动惯量

例2.1：设有一个半径为R质量为m的均匀圆环， （1）求圆环对通过中心与其垂直的转动惯量； （2）求圆环对直径所在轴的转动惯量.

解：（1）如图1所示，在圆环上任取一质元，其质量 为dm??dl（?为线密度，?? Rzm）,dl为圆弧元， 图1 2?RZaRdm该质元对中心垂直轴Z的元转动惯量 dJ?R2dm??R2dl ，圆环对该轴的转动惯量为

J??dJ??2?R0?Rdl??2?R?mR

232（2）如图2所示，将圆环分成无数个质点，设质点到Z轴的 距离为a,质点质量为dm,其中a?Rsin?,dm?所以该圆环的转动惯量为J?md? 2? ?2?0a2dm 图2

2.2 圆盘的转动惯量

?2??0md?mR2Rsin??

2?222

Z例2.2： 设有一个半径为R质量为m的均匀圆盘，

（1）求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量； x（2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量。 解：（1）整个圆盘对轴的转动惯量可看 成许多半径不同的同心圆环对轴的转动 惯量之和，圆盘质量面密度为??x+dxXm. 图3 2?R 在圆盘上取一半径为x，宽度为dx的细圆环，如图3所示，其圆面积

ds?2?rdr,故该圆环的质量dm??ds?2?r?dr，它对中心垂直轴Z 的元转动惯量为dJ?r2dm??2?r3dr，整个圆环的转动惯量为

J?3dJ?2??r??dr?0R11??R4?mR2 22Yx+dx（2）如图4所示,整个圆盘对轴的转动惯量可看

成许多平行y轴的细条对轴的转动

m惯量之和，圆盘质量面密度为?? .对应于

?R22y?dx， [x,x+dx]的平行y轴的细条，细条质量为??OxX 关于y轴的元转动惯量为 图4

dJ?2?yx2dx?2?x2R2?x2dx ，

故圆盘对y轴的转动惯量为

J?2??x2R2?x2dx?4??x2R2?x2dx

?R0RR

??4??2R4sin2tcos2tdt （令x=Rsint）

0

?2.3 圆柱体的转动惯量

?11m? ??R4?mR2???2?44?R??例2.3：设有一半径为R，长度为L,质量为m的均匀圆柱体， （1）求转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量；

Z（2）求转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图5所示，在圆柱中取薄圆柱形质量元dm,

RLdm?2?rLpdr,??m(体密度) ?R2LmR J?23rdm?2?L?r??dr?0?L?R24

将体密度代入，得J?1mR2。 图5 2222（2） 如图6所示，设圆柱体由x?z?R与

Ｚy??L2,y?L2围成，设圆柱体的体密度为?，

ＲＹ选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z轴的距离为

x2?y2，则转动惯量为

J?ＬXｍ 22(x?y)?dv 图6 ??????d??rdr?2L(R2sin2??y2)dy

00?22?RL???sin?d??rdr?2Ldy???d??rdr?2Ly2dy

00?200?22?2RL32?RL?????R44??L???2??R22?L312

???R4L4??R2L312

mR2mL2m?代入?? 得J? 2412?RL

2.4 空心圆柱体的转动惯量

例2.4：设有一内径为R1，外径为R2 ，长度为L,质量为m的空心圆柱体， （1）求转轴沿空心圆柱体几何轴的转动惯量；

（2）求转轴通过空心圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图7所示，在空心圆柱体中取薄圆柱形质量元dm,

dm?2?rLpdr，??m?(R?R)LR232221（体密度）

ZJ??rdm2?2?L??rdr?R1?L?(R24?R14)2R2

R1L将体密度代入，得J?1m(R22?R12) 2（2）如图8所示，设空心圆柱体由R12?x2?z2?R22， y??与

L2,y?L2围成，设圆柱体的体密度为?， 图7

选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z轴的距离为

x2?y2,则转动惯量为

J?22(x?y)?dv ???ＺＬ???d??rdr?2L(R2sin2??y2)dy

02?R2LＲ１ＹＲ２R1?2???sin?d??rdr?2Ldy???d??rdr?2Ly2dy 02?2R2L3?2?R2LｍＸR120R1?2 ?????R24?R144??L???2??R22?R122?L312 图8

???(R24?R14)L4??(R22?R12)L312

代入??m?(R?R)L2221，得J?m(R12?R22)4?mL212

2.5 细棒的转动惯量

例2.5：、求质量为m，长为L的均匀细棒的转动惯量 （1）转轴通过棒的中心并与棒垂直 （2）转轴通过棒一端并与棒垂直 解：（1）如图9所示,

先求转动惯量微元dl,为此考虑细杆上[x,dx]一段， 它的质量为

-L/2moxL/2x+dxXYmdx，把这一小段杆设想为位于x处的 L 一质点，它到转动轴距离为x，于是得微元为 图9

dJ?L2m2xdx L沿杆从?到

L积分，得整个细杆转动惯量为 2L J??2?L2m2mx3xdx?LL3L2?L2?L12mL3

(2)如图10所示，由于棒上各质元对轴的距离x为变量， 我们采用微元法计算。在棒上任取一质元，其长度为 dx，距转轴O的距离为x，设细棒的线密度（即单位 长度的质量）为??mZm，则该质元的质量为dm??dx, LL 该质元对中心轴的元转动惯量为dJ?x2dm??x2dx

L J?2?dJ???2xdx?0131?L?mL2 图10 332.6 球体与球壳的转动惯量

例2.6 ：求半径为R，质量为m的均匀球体绕直径的转动惯量. 解：由转动惯量的定义出发，通过取质量微元的方法进行求解。取球体 所绕的直径为z轴，如图11所示,建立空间直角坐标系，该坐标系中在 点（x，y，z）处任取一体积微元，该微元可近似看成一小立方体， 且可视为质点，则该体积元的体积dv=dxdydz， 其质量dm??dxdydz。?为球的质量体密。

Z设该体积元到z轴的距离为r， 则该体积元绕z轴的转动惯量为

rdydzdxRYdJ?r2dm?r2?dxdydz，其中r2?x2?y2，

所以整个球体的转动惯量为

2J??dJ?????(x???R??y2)dxdydzR2?Z222X

22 2(x?y2)dxdydz2

R??R?Z?22R?Z?y2?R?Z?y 图11

?2mR25

例2.7 ：求半径为R，质量为m的均匀球壳绕直径的转动惯量. 解：球壳质量面密度为

m 24?R如图12所示,选取其中一小圆环考虑，该小圆环的质量

球壳可被看作由许多小圆环构成??dm??ds???2?(Rsin?)?Rd?

432?2??Rsin?d? dJ?(Rsin?)dm则该质元的转动惯量

整个球壳的转动惯量

ZJ??dJ??0??02??R4sin3?d?

R?2??R4?sin3?d?

4?cos3?(?3cos?)3?2??R440

?2mR23 图12

结论

本文通过定积分法来解决物理学中常见的棘手问题，进而分析了怎样应用定积 分的“数学微元”思想来解决物理学问题的新思路。上述是定积分在物理学转 动惯量应用中的一些例子，本文借助定积分解决了物理学中转动惯量的求法， 介绍了怎样用定积分中的微元法思想来解决物理问题。由此可见，人们在物理学 学习的过程中，我们就可以利用定积分的方法，来对其进行相关的计算分析，从

而有效的解决人们在物理学计算中存在的相关问题，进而得到准确的数值。从上 列的计算可以清楚的看到刚体的转动惯量与质量有关；即使质量相同，绕同一转 轴而由于刚体的形状不同（或质量的分布不同）转动惯量也不相同；同一刚体当 所绕转轴不同时转动惯量亦不相同；因此把上述的三种情况称为决定刚体惯量的 三个重要因素。

参考文献

[1] 叶俊,定积分在物理中的应用[J]，武汉交通管理干部学院学报，1997，4，67-69. [2] 罗益民，余燕，《大学物理上》[M],北京邮电大学出版社，2008，81-85． [3] 华东师范大学数学系，《数学分析下册》[m],高等教育出版社，1981，172-208.

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