第10章 - 第3节 课后·演练·提升

高考新课标大一轮总复习·配北师大版·数学(文)

一、选择题

1．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a≤13的概率是( )

1137A.3 B.7 C.10 D.10

2．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )

A．0.001 B．0.002 C．0.004 D．0.005

图10－3－4

3．如图10－3－4，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )

A．7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68

4．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件?f?2?≤12?为事件A，则事件A发生的概率为( ) ?f?－2?≤4

1513A.4 B.8 C.2 D.8

πx1

5．在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos2的值介于0到2之间的概率为( ) 1212A.3 B.π C.2 D.3 二、填空题

6．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．

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7．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点1

P，使得VP—ABC<2VS－ABC的概率是________．

8．已知区域E＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2，x≥y}，若向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为________．

三、解答题

9．已知集合A＝[2，log2 t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B.

(1)对于闭区间[a，b]定义此区间的长度为b－a，若区间A的长度为3，求t值；

(2)若函数f(x)的值域为B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试求t的取值范围． 10．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

11．一条直线型街道的A，B两盏路灯之间的距离为120 m，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序依次为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40 m的概率．

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答案及解析

13－103

1【解析】 ∵a∈(10,13]，∴P(a≤13)＝＝. 20－1010【答案】 C

2

2【解析】 由几何概型的知识知P＝500＝0.004. 【答案】 C

3【解析】 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝300－96

P＝300＝0.68，S矩形＝24，

故S椭圆＝P·S矩形＝0.68×24＝16.32. 【答案】 B

4【解析】 全部试验结果构成的区域为 ?0≤b≤4，?所表示的平面区域面积为16. ?0≤c≤4，

?f?2?≤12，?所表示的平面区域面积为8. ?f?－2?≤4，81

故P(A)＝16＝2. 【答案】 C

5【解】 在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，其长度为2. ππxπ

又x∈[－1,1]时，－2≤2≤2.

πx1

若满足cos2∈(0，2)，且x的取值范围为x∈[0,1]， ππxπ2

则3＜2＜2，∴3＜x＜1.

πx121

故x∈[0,1]满足0＜cos2＜2的长度为1－3＝3. πx11

由对称性，当x∈[－1,0]时，且0＜cos2＜2的长度为3. 课堂新坐标让您感受品质的魅力

S椭圆

，而S矩形

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231

故所求概率为p＝2＝3. 【答案】 A

6【解析】 如图所示，设A、M、N为圆周的三等分点，当B点取在优弧MAN上时，对劣弧AB来说，其长度小于1.

2故其概率为3. 2

【答案】 3

1

8VS—ABC1

7【解析】 P＝V＝8. S—ABC1

【答案】 8

8【解析】 依题意可知，本问题属于几何概型．由于区域E和区域F对应1

图形如右图所示．其中区域E的面积为2×3＝6，区域F的面积为2(1＋3)×2＝42

4，所以向区域E内随机投掷一点，则该点落入区域F内的概率为＝.

63

2

【答案】 3

9【解】 (1)由题意知：log2 t－2＝3解得t＝32. (2)B＝[2,12]．

log2 t＞2，??log2 t≤12，

由题意得?

log2 t－2??12－2≥0.6，解得28≤t≤212.

10【解】 设事件A的“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

(1)基本事件共有12个：

(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)． 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个

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93

基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝12＝4. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}． 构成事件A的区域{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}． 1

3×2－2×22

2

所以所求的概率为P(A)＝＝3. 3×211【解】 设AC长为x，DB长为y，

?0≤x≤120，

则CD长为120－(x＋y)且满足?0≤y≤120，

?120－?x＋y?≥0，

设AC，BD之间都不小于40的事件为M，

?40≤x≤120，则?40≤y≤120，?x＋y≤120，

∴P(M)＝

满足条件的点P(x，y)构成如图所示的阴影区域，

S△阴影1

＝ S△OEF9

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