较复杂的平均数问题

较复杂的平均数问题

一、学习目标：进一步研讨平均数中“从平均数求个别数”的问题，并学会画平均数的线段图。

二、基础知识：我们已经知道平均数问题是研究总数、份数、平均数三量之间的关系: 平均数=总数÷份数; 总数=平均数×份数; 份数=总数÷平均数

在求平均数问题中，研究了知道部分数求平均数，同时还要研究由部分平均数求全体平均数，从平均数求个别数。平均数问题的实质就是“移多补少”。

三、例题解析：

例1：果品店把甲种糖果4千克，乙种糖果5千克混合成什锦糖出售，已知4千克甲种糖果共值76元，乙种糖果每千克为10元。问买1千克这种混合糖果需多少元？

例2：有6个数排成一行，它们的平均数是27．已知前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34．第4个数是多少？

例3、有两块棉田，平均每公顷产棉花4500千克。第一块棉田5公顷，平均每公顷产棉5300千克；第二块棉田平均每公顷产棉4000千克。第二块棉田有多少公顷？

分析：解答本题我们要

根据平均数“移多补少使相

等”的实质。

第一块棉田平均每公顷

产棉的千克数比两块棉田平

均每公顷产棉的千克数要多

800千克，也就是说第一块棉

田平均每公顷要拿出800千

克补给第二块棉田，才能使第

二块棉田平均每公顷产棉的千克数也达到4500千克。而第二块棉田平均每公顷产棉的千克数比两块棉田平均每公顷产棉的千克数少500千克，也就是说第二块棉田平均每公顷要得到500千克才能达到4500千克。由于第一块棉田一共补给第二块棉田4000千克，平均每公顷补到500千克。

例4、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？

分析：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？画个线段图看看。

例5、小敏期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分。问：英语得了多少分？

分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文。

二、能力拓展：

例6、五年级一班有52人，二班有48人，有一次数学测试全年级平均78分，只知一班比二班平均低5分，求两班各平均多少分？

例7、有两组数，第一组数的平均数是18，第二组数的平均数是15，而这两组数总平均数是17，那第一组数的个数是第二组的个数的几倍？

分析：求平均数的实质就是“移多补少”。第一组数中平均每个数移出1，第二组数中平均每个数补2，而移出的总数=补进的总数。这样第一组数中每2个数才能够补足第二组数中的1个数。本题

例8、A、B、C、D四个数，每次去掉一个数，将其余3个数求平均数，这样计算了4次，得到下面4个数：23，26，30，33，那么A、B、C、D四个数的平均数是多少？

解析：三个数的平均数，也可以看作每个数的相加的和，注意在四次计算中，每个数只出现三次计算。

（选讲）例9、某地举行数学竞赛有50名学生参加，前30名的平均分比后20名的平均分多12分，一位学生把前30名的平均分加上后20名学生的平均分后除以2得50名学生的平均分，这样比实际平均成绩高了还是降低了？是几分？

分析：这样计算是错误的，按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分

练习

一、基本题：

1、某工厂计划生产26500个零件，前5天平均每天生产2180个零件，由于技术革新每天比原来多生产420个零件，完成这批零件还需要多少天？

2、小民等4人平均每人捐款85元，把小红等2人算在一起，平均每人捐款88千克.问小红等2人平均每人捐款多少元？

3、小娟前几次数学测验平均分为 90分，这次要是考了100分，就能把平均分提高到92分，则这一次是第几次测验。

4、篮球队中四名队员的平均身高是182厘米，另一名队员的身高比这4个队员的平均身高矮8厘米，这名队员的身高是多少？

5、有两组数，第一组数的平均数是192，第二组数的平均数是171，而这两组数总平均数是185，那第一组数的个数是第二组的个数的几倍？

二、综合题：

6、小明家共有5个人，如果不算小明，其余4人的平均体重是56千克，当小明加入后，全家的平均体重就要减少2.6千克，那么小明的体重是多少千克？

7、某次外语考试，赵、钱、孙、李、周五人的平均分数比孙、李、周三人的平均分数少4分，赵、钱两人的平均分数是75分，求五个人的平均分数

8、10名同学的考试成绩(满分为100分)按分数排列名次，前4名平均得92分，前4名的平均分数比10人平均分数多8分，这10名同学的平均分数是多少分？

9、A、B、C、D四个数的的平均数是38，A与B的平均数是42，B、C、D三个数的平均数是36，求B。

10、有甲、乙、丙、丁四个数，每次去掉一个数，将其余三个数相加求平均数，这样计算了四次，得到下面4个数：26，29，33，36。求A、B、C、D四个数的平均数。

三、思考题：11、如果三人的平均年龄为22岁，并且没有小于18岁的，如果三人的年龄各不相同，那么最大的年龄最大可能是多少岁？

第四讲 有趣的数阵图(二)

一、学习目标：在三阶幻方和简单的数阵图基础上学习解答复杂的数阵图。

二、基础知识：数阵是一种由幻方演变而来的数字图。在以前我们已经学习过三阶幻方和简单的数阵图，明白填数阵时，一般优先考虑正中间的数或顶角上的数。本讲学习较复杂的数阵图。

准备题1、在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。

准备题2、将1～8这八个数分别填入下图○中，使两个大圆上的五个数之和

都等于21。

三、例题解析：

例1将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.

分析 为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、

2、…、6、7.

∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.

3S=28+2B+A+C+D.

如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数

即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4

W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4，

综上所述，得出：

13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数.

本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、 F=6、 G=7.

例2、把2，3，5，7，11，13，17，19分别填入下图的一个○中，使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。

分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。两两之和相等的有

5＋19＝7＋17＝11＋13，

于是得到下图的填法。

例3、在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。

分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4， 右下图为填好后的数阵图。

例4、将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。

分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。其余数的填法见右上图。

例5、在下图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。

分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。

例6、在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。

分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋ ＋9-a＝45-a。由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为 6k＝3×（45-a），

2k＝45-a。

2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。

若a＝1，则k＝22；

若a＝3，则k＝21；

若a＝5，则k＝20；

若a＝7，则k＝19；

若a＝9，则k＝18。

因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。

由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5，

将这三组数填入9所在的三个面上，可得下图的填法。

例7、图有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2.3.4.5.6.7.9七个数,使每圆内的和都等于15.

（选讲）例8、在下图中的几个圈内各填一个数,使每一条直线上的三个数中,

,那么x ( ).

练习：

1、在下图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。

2、将1~9这九个数分别填入图中○内,

3、将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。

4、将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内，使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。

5、在左下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。

6、将1～8填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。

7、20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。

8、在左下图的七个○内各填入2或3，使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都为7。

9、从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。

10、把1~10这十个数字填入下图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么，这个和的最小值是几？

第七讲 开放题

现实生活中的数学问题，常常是条件不足或多余，没有确定的结论或结论不唯一，或让你来寻找解决策略的，这就需要我们全面考虑，去找到解决问题的方法和策略。这类题目，我们称之为开放题。

1、当评委

（1）如果你是第七位评委会给他打几分,为什么?

（2）你打分的分数不影响3号选手原先的名次,应该给他打几分？为什么?

2、特殊的三位数

一个三位数是5的倍数，且各个数位上数的和是8，请写出这样的三位数。 分析：一个三位数如果是5的倍数，它的个位数必须是0或5。要使各个数位上数的和是8，如果个位是0，那么十位和百位上的数的和一定是8；如果个位是5，那么十位和百位上数的和就是3。

3、互换位置

在1，2，3，4，5，6这六个数字中选出三个数组成三位数，把这个三位数的百位数字和个位数字互换，又得到一个新的三位数，如果要使新旧两个三位数都能被2整除，你能写出这样的三位数吗？请试一试。

分析：由于能被2整除的数的特征是：这个数的个位上的数能被2整除，因此所写的三位数个位上的数可能是2，4，6这三个数字中的一个。又由于百位数字与个位数字互换后得到的三位数也能被2整除，所以百位上的数也应该是偶数。

4、包装香烟

一包香烟长9厘米，宽5厘米，高2厘米，10包香烟包装在一起是一条，可以怎么包装？算一算需要多少包装纸（包装纸的重叠部分忽略不计）？你认为哪一种包装方案比较合理？

分析：10包香烟包装成一条，是一个长方体的形状。我们可以分类排出各种包装方案，然后利用长方体的表面积计算方法算出包装纸的面积。

5、相距？千米

在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A，B两地出

发，小明每分行200米，小刚每分行300米，多少时间后，两人相距5千米？

分析：对于相遇问题来说，运动的时间和运动方向是解题的关键。而在题中运动的方向未作明确交待。下面我们就从运动方向开始讨论。

6、合理分车钱

一次，吴明，朱强和李红三位朋友合乘一辆出租车，大家商定，出租车费一定要合理分摊，吴明在全程三分之一处下车，到了三分之二处，朱强也下了车，最后李红一个人坐到终点，付出90元车费，他们三人如何承担车费比较合理？

7、你能用哪些方法来比较 和的大小？

8、用最少的钱

新华书店的李阿姨到学校来设书摊，其中推出不少优惠措施鼓励同学们去购买，优惠措施是：

（1）买书总本数若为偶数，则可以九折优惠；

（2）买的书总本数若为奇数，则可以九五折优惠；

（3）一人买书总本数超过9本，可再享受九折优惠。现有张红、李小明、陈芳、吕静、周微、汤红兵六位小朋友准备去购买下列图书（如下表）：

问：你认为他们一共最少付给李阿姨多少钱就够了？为什么？

练习

1、考了几分？

a，b，c，d四位同学参加数奥测试，a得74分，b得86分，c得96分，四人的平均成绩正好是整数。d可能得几分？

2、分类：

20张卡片上分别写了1---20各个数，请你根据学过的数的整除的知识，试着给它们分类，并用数学语言对自己的分类进行评价。（用不同的标准）。

3、下次再见

小明的爷爷每30天去医院检查身体，小刚的爷爷每40天去同一医院检查身体，两人在1月1日同时去医院检查，这一年中他们在医院下次同时检查是在什么时候？

4、要买多少纸？

老师派小明到文化商店去买红纸，要糊长方体募捐箱，但忘了箱子的长，宽，高，只记得是用一根42分米的铁丝做成的，而且长宽高都是整数分米他至少要买多少才能保证够用？

5、推理家

用60个体积是1立方厘米的正方体木块,搭成一个长方体,小组合作完成,看看有多少搭的方法?从中你发现了什么?把你的发现用数学语言表示出来,也可以整理成公式,看看你能不能成为一个小小的数学推理家?

6、相距多远？

一条笔直的公路上，甲乙两人同时从两地对面走来，甲每分钟走52米，乙每分钟走48米，两人走了10分钟后，还相距100米，两地相距多少米？

7、怎样倒车？

一辆小汽车与一辆大卡车在一段10000米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是每分钟行800米，大卡车的速度是每分钟行500米，两车倒车的速度是各自速度的一半；小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍。想想你觉得怎样倒车比较合理？说出你的理由？

8、最佳方案

元旦到了，各个商场又使出了商品销售大战的各种绝招,小玉陪妈妈去商场买羊毛衫,A商场满300送100,B市场全场7折,百货大楼全场5折起,看了这些广告,假如小玉的妈妈要买一件200元的羊毛衫,你说该做怎样的选择?请说明你选择方法的合理性。

第十一讲 排列与组合

前面我们已讨论了加法原理、乘法原理问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.

（一）排列

在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问：应准备有多少种不同船票？

分析与解：如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列．

由乘法原理，共需准备：3×2=6种不同的船票．

为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题．

一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．

从n个不同元素中取出m个（m≤n

）元素的所有排列的个数，叫做从

上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是

一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而

第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法；

第二步：排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法； 第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；

第m步：排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法．

由乘法原理知，共有：

n（n-1）（n-2） （n-m+1）

种不同的排法，即：

这里，m≤n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．

例

1

解：由排列数公式知：

例2 、有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？

分析 这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3．

解：由排列数公式知，共可组成

种不同的信号．

说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．

例3、幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？

分析 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．

解：由排列数公式，共有：

种不同的坐法．

例4、幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？

分析 与例4不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．

解：由排列公式，共有：

种不同的坐法．

（二）组合

日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题.

例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？

注意到由天津到青岛的票价与从青岛到天津的票价是一样的，所以问题实际上就是计算从三个城市中取两个城市，有多少种不同的取法，即这时只与考虑的两个城市有关而与两个城市的顺序无关.

我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是从3个元素中取出2个，组成一组的问题，我们把每一组叫做一个组合，把所有的组合的个数叫做组合数，上面的问题就是要求组合数.

一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同

时，它们才是不同的组合.

从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作Cmn.

如上面的例子，就是要计算从3个城市中取2个城市的组合数C23，由枚举法得出的结论知：C23＝3.

那么它是怎样计算出来的呢？

从第三讲开头的例子，即准备天津、青岛、大连三个城市之间的船票的问题发现，这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取C23法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有P23种排法，所以，由乘法原理得到P23＝C23×P23.故有：

C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3.

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数Pmn可以分两步求得：

第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cmn种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmm种排法. 故由乘法原理得到：

Pmn＝Cmn·Pmm

因此

这就是组合数公式.

例1 计算：①C26，C46；②C27，C57.

注意到上面的结果中，有C26=C46，C27=C57.

一般地，组合数有下面的重要性质：

Cmn＝Cn-mn （m≤n）

这个公式是很容易理解的，它的直观意义是：Cmn表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方法.Cn-mn表示从n个元素中取出（n—m）个元素组成一组的所有分组方法.显然，从n个元素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的（n-m）个元素的分组方法.例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即C35=C25.

规定 Cn＝1.

例2 计算：①C198200；②C5556；③C98100-2C100100. Cnn＝1， 0

例3 从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：

①有多少个不同的乘积？

②有多少个不同的乘法算式？

分析 ①中，要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，所以，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.

②中，要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.

解：①由组合数公式，共有

个不同的乘积. ②由排列数公式，共有 P25＝ 5×4＝20

种不同的乘法算式.

例4、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个

①三角形？ ②四边形？

分析 ①我们知道，不在同一直线上的三个点确定一个三角形，由图可见，半圆弧上的每三个点均不共线（由于A、B既可看成半圆上的点，又可看成线段上的点，为不重复计算，可把它们归在线段上），所以，所有的三角形应有三类：第一类，三角形的三个顶点全在半圆弧上取（不含A、B两点）；第二类，三角形的两个顶点取在半圆弧上（不包含A、B），另一个顶点在线段上取（含

A、B）；第三类，三角形的一个顶点在半圆弧上取，另外两点在线段上取. 注意到三角形的个数只与三个顶点的取法有关，而与选取三点的顺序无关，所以，这是组合问题.

解：三个顶点都在半圆弧上的三角形共有

两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形共有

一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形共有

由加法原理，这12个点共可以组成

C37＋（C27×C15）＋（C17×C25）

＝35＋105＋70＝210（个）

不同的三角形.

也可列式为C312－C35＝220—10＝210（个）.

分析 ②用解①的方法考虑.

将组成四边形时取点的情况分为三类：

第一类：四个点全在圆弧上取.（不包括A、B）有C17种取法. 第二类：两个点取自圆弧.两个点取自直线AB.有取法C27×C25种. 第三类：圆弧上取3个点，直线上取1个点，有C37×C15种取法. 解： 依加法原理，这12个点共可组成：

C47+ C27×C25+C37×C15

＝35＋210＋175＝420

个不同的四边形.

还可直接计算，这12个点共可组成：

C412-C45-C35·C17＝495－5-70＝420

个不同的四边形.

分析 由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段；在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形；在10个点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题.

解：由组合数公式.

（选讲）例5、国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：①共需比赛多少场？②如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？

分析：比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.

①中，第一组中8个队，每两队比赛一场，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.

②中，由于是实行主客场制，每两个队之间要比赛两场，比赛场次是①中的2倍.

另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.

解： 由加法原理：

①实行单循环赛共比赛

②实行主客场制，共需比赛

2×（C28＋C27＋C24）＝110（场）.

或解为：

P28＋P27＋P24

＝8×7＋7×6＋4×3

＝56＋42＋12

＝110（场）.

练习：

1．计算

2、某铁路线共有14个车站，这条铁路线共需要多少种不同的车票．

3、有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？

4、班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？

5、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的

①三位数？

②个位是5的三位数？

③百位是1的五位数？

④六位数？

6、计算：

①C315； ②C34×C28；

7、从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张作成一道两个一位数的加法题.问：

①有多少种不同的和？

②有多少个不同的加法算式？

8、某班毕业生中有10名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

9、在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的①直线段，②三角形，③四边形？

10、从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？

①某两人必须入选；

②某两人中至少有一人入选；

③某三人中恰入选一人；

④某三人不能同时都入选.

11、如图，两条相交直线上共有9个点，问： 一共可以组成多少个不同的三角形？

第十五讲简单的牛吃草问题

一、学习目标：理解牛吃草问题的结构特征，掌握解题方法。

二、基础知识：这类问题不能够用常规方法解答，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。这类问题，我们之称为“牛吃草”问题。

三、例题解析：

例1、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？

分析与解：假设1头牛1周吃1个单位的草。

（1）23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多多少？

（2）多出的相当于3周新长草量。每周新生长的草量？（每周新生长的草量可养多少头牛？）

（3）牧场原有草量？

（4）牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？

小结：解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.当原有的草吃完了，也就没有新长的草了。

所以解答“牛吃草”问题的关键是：根据两种不同的情况求出原有的草和每周新生长的草。

练一练：一片牧草，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者可供20只牛吃12天，那么25头牛可以吃多少天？

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