2022年高考数学真题试卷及答案（新高考全国I卷）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则（    ）

A．       B．    C．      D．

2．若，则（    ）

A．           B．        C．1          D．2

3．在中，点D在边AB上，．记，则（    ）

A．       B．      C．       D．

4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）

A．       B．      C．       D．

5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ）

A．       B．      C．       D．

6．记函数的最小正周期为T．若，且的图像关于点中心对称，则（    ）

A．1       B．      C．       D．3

7．设，则（    ）

A．        B．        C．        D．

8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知正方体，则（    ）

A．直线与所成的角为             B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为     D．直线与平面ABCD所成的角为

10．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点                   B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心    D．直线是曲线的切线

11．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ）

A．C的准线为         B．直线AB与C相切

C．         D．

12.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为偶函数，则（    ）

A．        B．        C．        D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

14．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

15．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

18．（12分）

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若，求B；

（2）求的最小值．

19．（12分）

如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

（1）求A到平面的距离；

（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

20．（12分）

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好 良好

病例组 40 60

对照组 10 90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．

附：，

0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

21．（12分）

已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．

（1）求l的斜率；

（2）若，求的面积．

22．（12分）

已知函数和有相同的最小值．

（1）求a；

（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．

绝密☆启用前  试卷类型：A

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）

数学 

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.D  2. D  3. B  4. C  5. D  6. A  7. C  8. C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. ABD  10. AC  11. BCD  12. BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. -28

14. 或或

15. 

16. 13

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（1）    

（2） 

∴

18.（1）；    

（2）．

19.（1）    

（2）

20. （1）由已知，

又，，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

（2）（i）因为，

所以

所以；

(ii)；

21.（1）；    

（2）．

22.（1）    

（2）由（1）可得和的最小值为.

当时，考虑的解的个数、的解的个数.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

设，其中，则，

故在上为增函数，故，

故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.

设，，

当时，，当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

所以，

而，，

有两个不同的零点即的解的个数为2.

当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，

当时，由（1）讨论可得、均无零点，

故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，

则.

设，其中，故，

设，，则，

故在上为增函数，故即，

所以，所以在上为增函数，

而，，

故在上有且只有一个零点，且：

当时，即即，

当时，即即，

因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，

故，

此时有两个不同的零点，

此时有两个不同的零点，

故，，，

所以即即，

故为方程的解，同理也为方程的解

又可化为即即，

故为方程的解，同理也为方程的解，

所以，而，

故即.

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