数学模型期末试题

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绍兴文理学院2014-2015学年第一学期

信计专业 13级《数学模型与数学软件》考核命题卷(含答题卷)(编号1)

闭卷）

一、综合题（15分）

为了研究同类车的刹车距离d （司机想刹车到车停下来所行驶的距离）与刹车时的车速v 之间存在什么样的函数关系，通过多组同条件实验测得一组数据如下表：（车速与距离都是多次实验的平均车速和平均距离）

车速 (km/h) 29.3 44.0 58.7 62.2 73.3 88.0 102.7 110.2 117.3 刹车距离（m ） 39.0 76.6 126.2 135.8 187.8 261.4 347.1 388.9

444.8 1．（6分）请简述数学建模一般步骤的基本方法。 2．（2分）为了研究刹车距离与车速的关系，需要做哪些资料数据的搜集？

3．（7分）请给出合理的假设，建立合适的模型，来研究)(v f

d 。（注：模型不需要求解）

二、综合题（16分）

在研究存储模型中，设某产品日需求量为常数r ，每次生产为瞬间完成，每次生产的准备费为1c ，并与生产量无关, 每单位时间每件产品贮存费为2c 。现需要制定最优的生产计划（即最佳的生产周期T 和每周期生产量Q 的确定）。

1．（6分）请简述数学建模的基本方法。 2．（10分）请在合适的假设下，建立不允许缺货的最优生产计划模型。

三、综合题（18分）

研究奶制品深加工问题中，有80

桶牛奶,共680小时的可利用工作时间，至多能加工80公斤A1产品，其他对于下列关系：

1．（12化。 （注：不要求求解结果） 2．（6分）以此题为例，简述线性规划三个特征。

四、综合题（16分）

研究治愈即免疫的传染病模型，设每个病人每天有效接触为a ，日治愈率为b ，初始状态下病人数和健康人数占总人数的比值分别为00,s i

1（6分）做合适的假设，并建立传染病的SIR 模型；

2（10分）写出利用ODE45函数求解此模型的MATLAB 程序代码。

获利44元/千克

获利32元/千克

2 五、综合题（20分）

研究层次分析法模型，如下图：

目标层 准则层 方案层 如果现在已经得到五个准则的成对比较矩阵为：

??

?

?

???

?

????????=1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A

1．（8分）阐述层次分析法的基本步骤；

2．（8分）使用和法演算A 矩阵的最大特征值，并求这五个准则对目标层的权向量；

3．（4分）求A 矩阵的一致性指标CI 和CR ，已知12.1)5(=RI 。

六、综合题（15分） 在研究报童问题中，调查得到，在过去的160天中报纸的销量x 统计成如下序列：)290,270,250,230,210,190,170,150,130,110(=x ，对应落在每个销量值的正负10单位区间内的天数记为向量)3 8, 15, 20, 35, 32, 22, 13, 9, 3,(=r ，（如：落在第三区间：)159,140(10)3(=±x 的天数为13，表示上述统计160天，有13天的销量为140单位到159单位）。报纸销量可看成是某个正态分布。 若进价为b ，售价为a ，退回价为c ，请建立数学模型，求报童最佳进货量。 （涉及数字计算的，可以不计算）

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绍兴文理学院2014-2015学年第一学期

信计专业13级《数学模型与数学软件》考核命题参考答案及评价标准(编

号1)

一、1.数学模型一般步骤：

a) 模型假设：针对问题特点和建模目的；作出合理的、简化的假设；在合理与简化之间作出折中; （1分）

b) 模型建立: 用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具; （1分）

c) 模型求解: 各种数学方法、软件和计算机技术; （1分）

d) 模型分析:如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析; （1分） e) 模型检验:与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性; （1分） f) 模型应用。（1分）

2. 需要搜索一般司机的反应时间t .(2分)

3.假设：刹车距离d 等于反应距离d1与制动距离d2之和; 反应距离d1与车速v 成正比; 刹车时使用最大制动力F ，F 作功等于汽车动能的改变。（1分， 注：假设可灵活把握）

由假设可得：

21d d d += （1分） v t d 11= （1分）

?

?

?∞=m F mv Fd 2

/22 ?22kv d = （2分，通过其他方法得到相同结果的，也可以） 所以建立模型： 21kv v t d += （2分）

其中，反应时间1t 的经验估计值为0.75秒；如果用表格里面数据，可得06.0≈k （不作要求）。

二、1.数学建模的基本方法：

a) 机理分析:根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律;（2分） b) 测试分析:将对象看作黑箱,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型; （2分） c) 二者结合:用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。（2分）

2.假设：T 天生产一次（周期）, 每次生产Q 件，当贮存量为零时，Q 件产品立即到来（生产时间不计）；时间和产量都作为连续量处理。（2分）

建立模型：

rT Q = （1分）

一个周期内的存储费用为：A c dt t q c T

20

2

)(=?

（1分）

一周期的总费用：2

2~

22121rT c c T Q c c C +=+= （1分）

目标函数：每天总费用平均值为：

2

~

)(min 21rT c T c T C T C +== （2分） 求解：令

0=dT

dC

（1分） ?2

1

2rc c T =

， 2

12c r

c rT Q == （2分） 这是在不允许缺货的情况下，生产周期和生产量的最佳值。

三、1.决策变量：出售x 1 千克 A 1, x 2 千克 A 2，x 3千克 B1, x 4千克 B2, x 5千克 A 1加工B 1， x 6千克 A 2加工B 2; （2分，如果其他的设定，则下面模型也作相应修改）

目标函数：6543213332441624x x x x x x z Max --+++= （3分）

约束条件： a ）原料供应：

804

36

251≤+++x x x x （1分） b ）劳动时间：68022)(2)(4656251≤+++++x x x x x x （1分） c ）加工能力：8051≤+x x （1分）

d ）附加约束及非负约束：538.0x x =，6475.0x x = ，0,61≥x x 。（1分） 所以建立模型并标准化得到：

4

???

?????

???≥==≤+≤+++++≤+++++----=0,,,,,75.08.08068022)(2)(48043..3332441624min 6

543216

4535

16562516

251654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z （3分）

2.特征：

比例性: i x 对目标函数的“贡献”与i x 取值成正比; （1分）

i x 对约束条件的“贡献”与i x 取值成正比; （1分）

可加性：i x 对目标函数的“贡献”与j x 取值无关；（1分）

i x 对约束条件的“贡献”与j x 取值无关；

（1分） 连续性：i x 取值连续。（2分）

四、1.假设：总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(t r t s t i ；

病人的日接触率λ , 日治愈率μ （1分）

?

?

??-=-?+?-?=-?+t t i t Ns t s t t s N t

t Ni t t i t Ns t i t t i N )()()]()([)()()()]()([λμλ （2分） ????

?

?????==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds

i

si dt di

λμλ （3分） 2.主文件：

ts=0:50; （1分）

x0=[0.02,0.98]; （1分，只要合理都可以） [t,x]=ode45(@ft,ts,x0); （3分） plot(t,x(:,1),t,x(:,2)); （1分）

plot(x(:,2),x(:,1));

建函数文件ft.m

function y=ft (t,x) （1分） a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; （3分）

五、1.层次分析法的基本步骤:

a) 建立层次分析结构模型，深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。（2分）

b) 构造成对比较阵, 用1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。（2分） c) 计算权向量并作一致性检验, 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。（2分）

d) 计算组合权向量（或 作组合一致性检验），组合权向量可作为决策的定量依据。（2分）

2.先对A 做列归一化，得到：??

?

??

?

??

??0.0968 0.0952 0.1765 0.0979 0.0851 0.0968 0.0952 0.1176 0.0979 0.0851 0.0323

0.0476 0.0588 0.0699 0.0638 0.4839 0.4762 0.4118 0.4895 0.5106 0.2903 0.2857 0.2353 0.2448 0.2553 ，（2分） 再行求和得到：?????

??

?

??0.55150.49270.2725

2.37201.3114，（2分） 再归一化得到权向量：=

w ???????

? ??0.11030.09850.05450.47440.2623，（2分） 求得最大特征值：∑==

5.0729/.1

w aw n

λ；（2分） 3.0182.05)/4-5.0729()1/()(==--=n n CI λ；（2分） 1.00163.012.1/0182.0)(/<===n RI CI RC ；（2分）

综上，一致性检验通过，权向量为：（0.2623，0.4744，0.0545，0.0985，0.1103），

0163.0,0182.0==RC CI 。（评分说明：如果思想方法表达正确，计算的值不重要）。

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六、 解，调查需求量的随机规律——每天需求量为r 的概率,...2,1,0),(=r r f 。设每天购进n 份，

日平均收入为)(n G ，已知售出一份赚a-b ；退回一份赔 b-c 。（2分）

分析购货量大于销售量和小于销售量两种情况（含概率），可得：

∑∑=∞+=-+

----=n

r n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01

)()()()])(()[()(，（2分） 现在要求n 取什么值使得)(n G 最大。

??∞-+-----=n n

dr r p b a n np b a dr r p c b n np b a dn dG

)()()()()()()()(0

??∞

-+--=n n dr r p b a dr r p c b 0)()()()( （3分）

0=dn dG ?c b b a dr r p dr

r p n

n

--=??∞)()(0 （2分）

??∞

-=n n dr r p dr r p )(1)(0 （2分）

所以：c a b a dr r p n

--=?0)(。（2分）

由数据可求得每天报纸销量的分布列，进一步可求得期望为199、方差38，查表可得n 的值。（2分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tcbi.html