10.2排列、组合

10.2 排列、组合

2013?考纲下载

1．理解排列、组合的概念．

2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题． 请注意！

1．排列、组合问题每年必考．

2．以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．

3．以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查. 课本导读

1．两个概念

(1)排列

从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照 一定顺序排成一列 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)组合

从n个元素中取出m个元素 并成一组 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．两个公式 (1)排列数公式

n！Am. n＝ n(n－1)(n－2)?(n－m＋1) ＝?n－m?！

规定0！＝ 1 .

(2)组合数公式 Cmn＝＝

n?n－1??n－2???n－m＋1?

m！

n！

.

m！?n－m?！

规定C0n＝ 1 . 3．组合数的两个性质

mnm

(1)Cn＝Cn；

mm－1m(2)Cn＋Cn. ＋1＝Cn

教材回归

－

1．(2013·衡水调研卷)从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有

A．9个

B．24个

C．36个 答案 D

D．54个

23

解析 选出符合题意的三个数有C13C3＝9种方法，每三个数可排成A3＝6个三位数，

∴共有9×6＝54个符合题意的三位数．

2．已知{1,2}?X?{1,2,3,4,5}，满足这个关系式的集合X共有 A．2个 C．4个 答案 D

解析 由题意知集合X中的元素1,2必取，另外，从3,4,5中可以不取，取1个，取2

123

个，取3个．故有C03＋C3＋C3＋C3＝8.

B．6个 D．8个

3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有________．

答案 70种

解析 方法一 直接法：可以从4台甲型电视机中取2台，再从5台乙型电视机中取1

12台，或者从4台甲型电视机中取1台，再从5台乙型电视机中取2台，所以共有C2C1C54·5＋C4·

＝70种选法．

3

方法二 间接法：从9台电视机中取3台有C39种取法，从甲型电视机中取3台有C4种

取法，从乙型电视机中取3台有C35种取法，这两种取法不符合条件，所以符合条件的取法

33

为C39－C4－C5＝70种．

4．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式共有

A．6种 C．48种 答案 C

解析 据题意知4个不同的商业广告可排在中间的4个位置上共有A44种方法，再将2个公益广告排在首末2个不同的位置共有2种方法，根据分步计数原理可得不同的播放方式共有2A44＝48种．

5．(2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为

A．24 C．12 答案 B

解析 若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12

( ) B．18 D．6 B．24种 D．720种

＝18.

考点一:排列数、组合数公式

7Ax－A5x例1 (1)解方程＝89. 5Ax

112

(2)解不等式3－4<5.

CnCnCn

9n

(3)求值C5n n＋Cn＋1.

－

－

【思路分析】 (1)可直接使用公式Amn＝(2)使用阶乘形式的组合数公式求解． (3)先确定n的取值，再求值． A7x【解析】 (1)原方程可化为5＝90，

Ax∴

x！?x－5?！

·＝90.

?x－7?！x！

n！

.

?n－m?！

∴(x－6)(x－5)＝90， 解得x＝15或x＝－4(舍)． 经检验x＝15是原方程的解． (2)原不等式可化为

3！?n－3?！4！?n－4?！2×5！?n－5?！

－<，

n！n！n！∴(n－3)(n－4)－4(n－4)<2×5×4， 即n2－11n－12<0，解得－1

??0≤5－n≤n，(3)由组合数的定义知?

?0≤9－n≤n＋1，?

解得4≤n≤5，又n∈N*， ∴n＝4或n＝5.

5

当n＝4时，原式＝C14＋C5＝5， 4当n＝5时，原式＝C05＋C6＝16.

探究1 运用排列数、组合数公式证明等式时，一般用阶乘式．运用排列数、组合数公式计算具体数字的排列数、组合数时一般用展开式，直接进行运算．

x2

思考题1 (1)解不等式Ax8<6A8.

－

117r(2)求值Cr10＋C10.

＋

－

22

(3)计算：C22＋C3＋?＋C10.

【解析】 (1)原不等式可化为 8！8！

<6·，

?8－x?！?10－x?！

∴(10－x)(9－x)<6，即x2－19x＋84<0，∴7

??0≤r＋1≤10，

(2)由组合数的定义知?

?0≤17－r≤10，?

∴7≤r≤9，又r∈N*，∴r＝7,8,9.

8

当r＝7时，原式＝C10＋C1010＝46， 9当r＝8时，原式＝C10＋C910＝20， 10当r＝9时，原式＝C10＋C810＝46. 222(3)证明：C22＋C3＋C4＋?＋C10 222＝C33＋C3＋C4＋?＋C10 22＝C34＋C4＋?＋C10 22＝C35＋C5＋?＋C10 3＝??＝C11＝165.

考点二：排列应用题

例2 7位同学站成一排：

(1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ (7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？

【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．

7【解析】 (1)站成两排(前3后4)，共有A7种不同的排法；

(2)其中甲站在中间的位置，共有A66种不同的排法；

5

(3)甲、乙只能站在两端的排法共有A22A5种；

(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一 甲站排尾；共有A66种不同的排法；

15甲不站排尾，共有A15A5A5种不同的排法； 115故共有A66＋A5A5A5种不同的排法；

方法二 7位同学站成一排，共有A77种不同的排法； 甲排头，共有A66种不同的排法； 乙排尾，共有A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有A55种不同的排法；

65故共有A77－2A6＋A5种不同的排法．

(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行

2

全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法，所以这样的排法2一共有A66A2＝1 440种．

(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：

方法一 将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排

242列有A22种方法，所以这样的排法一共有A5A4A2＝960种方法．

方法二 将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．

65

若丙站在排头或排尾有2A5A25种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A6－2A5)·2

＝960种方法．

法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法．

再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以

52

这样的排法一共有A14A5A2＝960种方法．

(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：

62

方法一 (排除法)A7A2＝3 600(种)． 7－A6·

5方法二 (插空法)先将其余五个同学排好有A5种方法，此时他们留下六个位置(就称为52

“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A5A6＝3 600

种方法．

(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有：

先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个

43同学分别插入这五个“空”有A35种方法，所以一共有A4A5＝1 440种．

(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有：

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