匀速圆周运动动力学问题及实例分析

高三物理二轮专题学案

匀速圆周运动动力学问题及实例分析

课时：2 编写人：郭 云 编号：03—04

【问题导引】

一、圆周运动的动力学问题

解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对做圆周运动的物体进行受力分析，必要时建立坐标系，求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方程求解. 二、圆周运动的临界问题

圆周运动中临界问题的分析，首先应考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题. 1.在竖直面内做圆周运动的物体

竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件：v临＝Rg.绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力.

竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：v向力.

2.当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题. 【典例精析】

1.圆周运动的动力学问题

【例1】质量为m的物体沿着半径为r的半球形金属球壳滑到最低点时的速度大小为v，如图所示，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时( )

v2v2A.向心加速度为 B.向心力为m(g＋)

rrmv2v2C.对球壳的压力为 D.受到的摩擦力为μm(g＋)

rr临

＝

0.杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧

【拓展1】铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.

弯道半径r(m) 内外轨高度差h(m)

660 330 220 165 132 110 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 - 1 -

(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值.

(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值L＝1.435 m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v.(路轨倾角α很小时，可认为tan α＝sin α) 2.圆周运动的临界问题

【例2】 过山车是游乐场中常见的设施.下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1＝2.0 m、R2＝1.4 m.一个质量为m＝1.0 kg的小球(可视为质点)，从轨道的左侧A点以v0＝12.0 m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1＝6.0 m.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠.重力加速度取g＝10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字.试求：

(1)小球在经过第一个圆形轨

道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

(2)如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；

(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离.

【拓展2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r，图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )

A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零 B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零 C.若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到细绳的拉力可能为零

D.若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q点受到细杆的作用力为推力

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【例3】如图所示，两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长l＝2 m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力(取g＝10 m/s2)？

【拓展3】如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线的夹角θ＝30°，一条长为l的绳，一端固定在圆锥体的顶点O，另一端系一个质量为m的小球(可视为质点)，小球以速率v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动.试分析讨论v从零开始逐渐增大的过程中，球受圆锥面的支持力及摆角的变化情况.

【例4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点).A球的质量为m1，B球的质量为m2.它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0.设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系式是：

【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有

2v0N1＝m1

R

①

B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有

v12N2＝m2

R

②

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因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有

2m2g2R＋m2v12?m2v0

1212③

N1＝N2

由①②③式解得v0＝

4m2gR

m2?m1【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程.没有作受力分析，导致漏掉重力，表面上分析出了N1＝N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力.总之从根本上看还是解决力学问题的基本功——受力分析不过关. 【正解】

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