因式分解公式大全

因式分解

公式及方法大全

待定系数法(因式分解)

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在

在因式分解时，一些可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

常用的因式分解公式：

因式分解

例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

分析 由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，

若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

解 设

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

因式分解

比较两边对应项的系数，则有

解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

说明 本题也可用 例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．

分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为

(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．

解 设

原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有

由bd=7，先考虑b=1，d=7有

所以

原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．

因式分解

说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

求根法(因式分解)

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…， 当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，

因式分解

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的都是时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数． 我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．

因式分解

分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有 f(2)=23-4×22+6×2-4=0，

即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)． 原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)．

解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

所以

原式=(x-2)(x2-2x+2)．

说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证． 例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．

因式分解

分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1， 为：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解 9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+1)

=(3x+1)(3x-2)(x2+1)

说明 若整系数多项式有根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

双十字相乘法(因式分解)

因式分解

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 可

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

因式分解

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以

原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 它表示的是下面三个关系式：

(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

因式分解

(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

(2)x2-y2+5x+3y+4；

(3)xy+y2+x-y-2；

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

解 (1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

(2)

原式=(x+y+1)(x-y+4)．

(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解． 原式=(y+1)(x+y-2)．

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

因式分解

说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

笔算开平方

对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可

例 求316.4841的平方根.

第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1<3，而(1+1)2=4>3. 第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.

第四步，找出试商，使(20×初商+试商)×试商不超过第一余数，而【20×初商+(试商+1)】×(试商+1)则大于第一余数.

因式分解

第五步，把第一余数减去(20×初商+试商)×试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748.依此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.

第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：

根式的概念

【方根与根式】 数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n

次方根记为

为

(n为大于1的自然数).作称为根式.n称为根a称为根底数.在

因式分解

范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相同，符号相反.

【算术根】 正数的正方根称为算术根.零的算术根规定为零.

【基本性质】 由方根的定义，有

根式运算

【乘积的方根】 乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即

≥0,b≥0)

【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即

≥0,b>0)

【根式的乘方】

【根式化简】

≥

0) ≥0)

因式分解

≥0,d≥

0)

≥0,d≥0)

【同类根式及其加减运算】 根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.

进位制的基与数字

任一的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如

一般地，任一正数a可表为

因式分解

这就是10进数，记作a(10)，数10称为进位制的基，式中ai在{0,1,2,L,9}中取值，称为10进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数.现在取q为任意大于1的q进数表示

(1)

式中数字ai在{0,1,2,...,q-1}中取值，anan-1...a1a0称为q进数a(q)的整数部分，记作[a(q)];

a-1a-2 ...称为a(q)的分数部分，记作{a(q)}.常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下 2进制 0, 1

8进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

16进制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

各种进位制的相互转换

因式分解

1 q→10转换 适用通常的10进数四则运算规则，根据公式

(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如

2 10→q转换 转换时必须分为整数部分和分数部分进行. 对于整数部分其步骤是：

(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.

(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.

(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.

对于分数部分其步骤是：

(1)用q去乘{a(10)}.

(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.

(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如： 103.118(10)=147.074324...(8)

因式分解

整数部分的分数部分的

草式 草式

3 p→q转换 通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的不同次a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)

127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)

然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即

因式分解

正多边形各量换算公式

n为边数 R为外接圆半径 a为边长 爎为内切圆半径为圆心角 S为多边形面积重心G与外接圆心O重合正多边形各量换算公式表 各量 正三角形

n为边数 R为外接圆半径

a为边长 爎为内切圆半径

为圆心角 S为多边形面积

重心G与外接圆心O重合

正多边形各量换算公式表

因式分解

或许你还对作图感兴趣：正多边形作图

所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.

很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若

因式分解

干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：

立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积

.

三等分角问题，即三等分一已知角

.

化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.

后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.

代数式的求值

因式分解

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、

求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．

1．利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．

解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以

6x4+15x3+10x2

=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1

=0+1=1．

说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tc6e.html