2018年中考数学试卷

2018年中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣5的倒数是（ ） A．﹣ B． C．5 2．（3分）使A．x＞3

D．﹣5

有意义的x的取值范围是（ ）

B．x＜3 C．x≥3 D．x≠3

3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2 B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查

C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分

D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃

5．（3分）已知点A（x1，3），B（x2，6）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ） A．x1＜x2＜0

B．x1＜0＜x2

C．x2＜x1＜0

D．x2＜0＜x1

6．（3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）

A．（3，﹣4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣3，4）

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7．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（ ）

A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC

8．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：

①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．① C．①②

D．②③

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法表示为 ．

10．（3分）因式分解：18﹣2x2= ．

11．（3分）有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．

12．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ． 13．（3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm． 14．（3分）不等式组

的解集为 ．

15．（3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．

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16．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ．

17．（3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．

18．（3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算或化简 （1）（）﹣1+|

|+tan60°

（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）

20．（8分）对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b=2a+b．例如3?4=2×3+4=10．

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（1）求2?（﹣5）的值；

（2）若x?（﹣y）=2，且2y?x=﹣1，求x+y的值．

21．（8分）江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表． 最喜爱的省运会项目的人数调查统计表

最喜爱的项目 篮球 羽毛球 自行车 游泳 其他 合计 根据以上信息，请回答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是 ，a+b ．

（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 ．

（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．

人数 20 9 10 a b

22．（8分）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀．

（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；

（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的k；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四

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象限的概率．

23．（10分）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h） 24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若DC=

，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．

25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；

（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．

26．（10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工

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程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．

27．（12分）问题呈现

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值． 方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中． 问题解决

（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 ；

（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值； 思维拓展

（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．

28．（12分）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，

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同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒． （1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 ； （2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；

（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．

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参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．

【解答】解：﹣5的倒数﹣． 故选：A． 2．

【解答】解：由题意，得 x﹣3≥0， 解得x≥3， 故选：C． 3．

【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形， 故选：B． 4．

【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；

B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；

C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是130分，故此选项错误；

D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是7﹣（﹣2）=9℃，故此选项错误；

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故选：B． 5．

【解答】解：由题意，得

k=﹣3，图象位于第二象限，或第四象限， 在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵3＜6， ∴x1＜x2＜0， 故选：A． 6．

【解答】解：由题意，得 x=﹣4，y=3，

即M点的坐标是（﹣4，3）， 故选：C． 7．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE．

又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故选：C． 8．

【解答】解：由已知：AC=

AB，AD=

AE

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∴

∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正确 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴

∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD

∴P、E、D、A四点共圆 ∴∠APD=∠EAD=90°

∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP?CM ∵AC=

AB

∴2CB2=CP?CM 所以③正确 故选：A．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．

【解答】解：0.00077=7.7×10﹣4， 故答案为：7.7×10﹣4．

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10．

【解答】解：原式=2（9﹣x2）=2（x+3）（3﹣x）， 故答案为：2（x+3）（3﹣x） 11．

【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，

而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种； 故其概率为：． 12．

【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0， ∴2m2﹣3m=1

∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018 故答案为：2018 13．

【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr=解得r=故选： 14．

【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤， 解不等式

＞﹣2，得：x＞﹣3， ， cm． ．

则不等式组的解集为﹣3＜x≤，

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故答案为：﹣3＜x≤． 15．

【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，

∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°， ∴∠ADB=45°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=OB=2， ∴AB=2

，

．

故答案为：2

16．

【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0且m≠0， ∴4﹣12m＞0且m≠0， ∴m＜且m≠0，

故答案为：m＜且m≠0． 17．

【解答】解：由折叠得：∠CBO=∠DBO， ∵矩形ABCO， ∴BC∥OA， ∴∠CBO=∠BOA， ∴∠DBO=∠BOA，

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∴BE=OE，

在△ODE和△BAE中，

，

∴△ODE≌△BAE（AAS）， ∴AE=DE，

设DE=AE=x，则有OE=BE=8﹣x，

在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2， 解得：x=5，即OE=5，DE=3， 过D作DF⊥OA，

∵S△OED=OD?DE=OE?DF， ∴DF=则D（

，OF=，﹣

）． ，﹣

）

=

，

故答案为：（

18．

【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1）， ∴函数y=mx+m一定过点（﹣1，0）， 当x=0时，y=m，

∴点C的坐标为（0，m），

由题意可得，直线AB的解析式为y=﹣x+2，

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，得，

∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分， ∴解得，m=故答案为：

或m=．

，

（舍去），

三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．

【解答】解：（1）（）﹣1+|=2+（2﹣=2+2﹣=4

（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3） =（2x）2+12x+9﹣[（2x2）﹣9] =（2x）2+12x+9﹣（2x）2+9 =12x+18 20．

【解答】解：（1）∵a?b=2a+b，

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|+tan60°

）++

∴2?（﹣5）=2×2+（﹣5）=4﹣5=﹣1； （2）∵x?（﹣y）=2，且2y?x=﹣1， ∴

，

解得，

∴x+y=﹣=． 21．

【解答】解：（1）样本容量是9÷18%=50， a+b=50﹣20﹣9﹣10=11， 故答案为：50，11；

（2）“自行车”对应的扇形的圆心角=故答案为：72°；

（3）该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200× 22．

【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率=； 故答案为； （2）画树状图为：

=480（人）．

×360°=72°，

共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果， 所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率= 23．

【解答】解：设货车的速度是x千米/小时，则客车的速度是2x千米/小时，

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=．

根据题意得：﹣=6，

解得：x=121≈121.8．

答：货车的速度约是121.8千米/小时． 24．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF=∠EBF，

∵∠AFD=∠EFB，AF=FB， ∴△AFD≌△BFE， ∴AD=EB，∵AD∥EB，

∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD=AD，

∴四边形AEBD是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=

，AB∥CD，

∴∠ABE=∠DCB，

∴tan∠ABE=tan∠DCB=3， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF， ∴tan∠ABE=∵BF=∴EF=∴DE=3

， ， ，

?3

=15．

=3，

∴S菱形AEBD=?AB?DE=

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25．

【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图， ∵AB=AC，AO⊥BC于点O， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH=OE，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵点F是AO的中点， ∴AO=2OF=3， 而OE=3，

∴∠OAE=30°，∠AOE=60°， ∴AE=

OE=3

，

﹣

=

；

∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3

（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图， ∵PF=PF′，

∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小， ∵OF′=OF=OE， ∴∠F′=∠OEF′，

而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°， ∴∠F′=30°， ∴∠F′=∠EAF′， ∴EF′=EA=3

，

， OF′=

，

即PE+PF最小值为3在Rt△OPF′中，OP=

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在Rt△ABO中，OB=∴BP=2

﹣

=

，

OA=×6=2，

即当PE+PF取最小值时，BP的长为．

26．

【解答】解：（1）由题意得：解得：

．

，

故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700， （2）由题意，得 ﹣10x+700≥240， 解得x≤46，

设利润为w=（x﹣30）?y=（x﹣30）（﹣10x+700）， w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，

∴x=46时，w大=﹣10（46﹣50）2+4000=3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600， ﹣10（x﹣50）2=﹣250， x﹣50=±5，

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x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

27．

【解答】解：（1）如图1中，

∵EC∥MN， ∴∠CPN=∠DNM， ∴tan∠CPN=tan∠DNM， ∵∠DMN=90°， ∴tan∠CPN=tan∠DNM=故答案为2．

==2，

（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．

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∵CD∥AN， ∴∠CPN=∠DCM，

∵△DCM是等腰直角三角形， ∴∠DCM=∠D=45°， ∴cos∠CPN=cos∠DCM=

．

（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．

∵PC∥MN， ∴∠CPN=∠ANM， ∵AM=MN，∠AMN=90°， ∴∠ANM=∠MAN=45°， ∴∠CPN=45°． 28．

【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0）， ∴OA=3，

当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，

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∴P（2，0），Q（3，4）， ∴线段PQ的中点坐标为：（故答案为：（，2）；

（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形， ∴0＜t＜3，

∵四边形OABC是矩形， ∴∠B=∠PAQ=90°

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC时，∴

，

， ，

），即（，2）；

4t2﹣15t+9=0， （t﹣3）（t﹣）=0， t1=3（舍），t2=， ②当△PAQ∽△CBQ时，∴

t2﹣9t+9=0， t=∵∴x=

， ＞7，

不符合题意，舍去，

；

，

，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得：

，

∴抛物线：y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，

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∴顶点k（，﹣）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ， 如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE， 设DQ交y轴于H， ∵∠HMQ=∠QEK=90°， ∴△KEQ∽△QMH， ∴

，

∴，

∴MH=2， ∴H（0，4），

易得HQ的解析式为：y=﹣x+4，

则，

x2﹣3x+2=﹣x+4，

解得：x1=3（舍），x2=﹣， ∴D（﹣，

）；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE， 由对称性得：H（0，0）， 易得OQ的解析式：y=x，

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则，

x2﹣3x+2=x，

解得：x1=3（舍），x2=， ∴D（，）；

综上所述，点D的坐标为：

（﹣，

）或（，）．第23页（共23页）

D

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