圆锥曲线压轴题终尖子生辅导

2014圆锥曲线压轴题尖子生辅导

一．填空题（共3小题） 1．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1?k2 最大时，求直线l的方程．

2．如图，在△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为 H且

．

（Ⅰ）求点H的轨迹方程；

（Ⅱ）设P（﹣1，0），Q（1，0），那么

能否成等差数列？请说明理由；

（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

3．如图，已知直线

与抛物线

和圆

都相切，

F是C1的焦点．

（1）求m与a的值；

（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；

（3）在（2）的条件下，

记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF

交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

二．解答题（共27小题）

4．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边

22

长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66=7.0756，3.34=11.1556）

5．（2013?四川）已知椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过

点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

求点Q的轨迹方程．

2

6．（2014?深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为

．

，

（1）求直线l及抛物线C的方程；

（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

7．（2014?上饶一模）如图，椭圆C1：

（a＞b＞0）和圆C2：x+y=b，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等

2

2

2

分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l

与圆C2相交于点A、B． （1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M． ①求证：直线MP经过一定点； ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，出所有m的值；若不存在，请说明理由．

为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求

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8．（2014?德州一模）已知点A、B分别是椭圆

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个

端点，且离心率e=

，S△ABC=

．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆上存在点P，满足

（O为坐标原点），求λ的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值． 9．（2014?崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：（1）求圆的标准方程；

（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：动点Q的轨迹方程C2； （3）在（2）的结论下，当最大值．

10．（2013?烟台二模）已知椭圆M：：

+

=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过

时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的

相切．

，（其中m为非零常数），试求

点F的直线l与椭圆M交于C，D两点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长； （Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值． 11．（2013?徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

的离心率

，

A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．

（1）求直线OP的方程； （2）求

的值；

（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．

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12．（2013?温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：

2

2

交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，

D是圆C2：x+y=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号． （I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

13．（2013?松江区一模）对于双曲线C：

，定义C1：

，为其伴随曲线，

记双曲线C的左、右顶点为A、B．

（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程； （2）若双曲线C的方程为x﹣y=1，过点点，求△ON1N2的面积（O为坐标原点） （3）若双曲线C的方程为

2

2

且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两

，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．

2

14．（2012?咸阳三模）已知抛物线x=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点． （1）求

的值；

（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论． 15．（2012?武昌区模拟）已知椭圆

的离心率为，点M（2，3），N（2，﹣3）为C

上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）． （I）求四边形MANB面积的最大值；

（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

16．（2012?泰州二模）已知椭圆

（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．

（1）若e=，求椭圆的方程；

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（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上． ①证明点A在定圆上； ②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围．

2

17．（2012?台州一模）已知抛物线C1：x=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C1的方程； （Ⅱ）过点P（0，﹣2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M， （ⅰ）求点M的轨迹C2的方程； （ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

18．（2012?韶关二模）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是设动点P的轨迹为C1，Q是动圆

（1＜r＜2）上一点．

，

（1）求动点P的轨迹C1的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设曲线C1上的三点

的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；

（3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值． 19．（2012?泉州模拟）已知椭圆C的方程为：（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0，y0）满足

2

2

与点F的距离成等差数列，若线段AC

，其焦点在x轴上，离心率e=．

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求

证：x0+2y0为定值．

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．

20．（2012?南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点

为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

21．（2012?闵行区三模）已知椭圆T：一个顶点，

?

=0．

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的

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（1）求椭圆T的方程；

（2）设G是点F1关于点F2的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使

=

+

，若存在，求出这两点，

若不存在，请说明理由；

（3）设经过点F2的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y0），求y0的取值范围．

22．（2012?洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；

（3）记直线MA，MB斜率分别为k1，k2．试问k1+k2是否为定值？若是，求出k1+k2的值，否则，说明理由．

，且经过点M（2，1），直线

23．（2012?泸州一模）已知椭圆

的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．

24．（2012?泸州二模）已知双曲线方程

，椭圆方程

，A、D分别是双曲线和椭

圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标． 25．（2012?黄浦区一模）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

倍后得到点Q（x，

）满足

．

（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）过点B作斜率为

的直线l交曲线C于M、N两点，且满足

，又点H关于原点O的对称

点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 26．（2012?葫芦岛模拟）如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中

F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6． （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=求m+n的取值范围．

，n=

，若点A在第一象限，

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27．（2012?贵州模拟）椭圆C：

的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标

．

原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明并求这个定值．

28．（2012?崇明县二模）已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（数

．

，0）与定直线l1：x=

为定值，

的距离之比为常

（1）求曲线C的轨迹方程；

（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；

（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）+y=r（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求最小值，并求此时圆T的方程．

29．（2012?成都模拟）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣点．

（I）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围； （III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

2

30．（2012?长宁区二模）设抛物线C：y=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为=0，椭圆C：

+y=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦

2

2

2

2

的

钝角时实数m的取值范围；

（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由． ②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

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2014年3月杜老师的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共3小题） 1．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（Ⅰ）求椭圆 C的方程；

（Ⅱ）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点．点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1?k2 最大时，求直线l的方程．

考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）根据题意，结合正方形的性质可得b=c且=2，由此算出a=2，即可得到椭圆C的方程； （II）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1?k2=；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到y1+y2=，y1y2=．由此利用直线的斜率公式和直线l方程化简k1?k2的式子，≤1，当且仅当m=1时，等号成立．因此当m=1时k1?k2再根据基本不等式加以计算，可得k1?k2=+的最大值为1，可得此时的直线l的方程． 解答： 解：（I）∵椭圆C方程为：+=1（a＞b＞0）， ∴由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形， 可得b=c且=2，解得b=c=，a==2． ∴椭圆 C的方程为； （II）①直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点， ∴k1?k2=?=； ②直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）． ?2010-2014 菁优网

22由消去x，整理得（m+2）y+2my﹣3=0． ∴y1+y2=，y1y2=． ∵x1=my1+1，x2=my2+1， ∴k1?k2=?== ===+． 令t=4m+1，则==≤=， ∴k1?k2=+≤+=1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立． 综合①②，可得k1?k2的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即x﹣y﹣1=0． 点评： 本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 2．如图，在△ABC中，已知A（﹣3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为 H且

．

（Ⅰ）求点H的轨迹方程；

（Ⅱ）设P（﹣1，0），Q（1，0），那么

能否成等差数列？请说明理由；

（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，y），则，由于AC⊥BH，共线，不合题意．故点C的轨迹方程为于是，又y=0时（y≠0）．由此能得到得到点H的轨迹方程为（Ⅱ）设

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． ，则

，不能构成等差数列． （Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（﹣3，0），B（3，0），于是由A，H，M三点共线得．由B，H，N三点共线得，以MN为直径的圆的方程为，由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）． 解答： 解：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，y）， 则于是又y=0时， 共线，不合题意．故点C的轨迹方程为（y0≠0）， （y≠0）． ，由于AC⊥BH， ，又，，由此能得到设点H（x，y），C（x0，y0），则由得到点H的轨迹方程为．（4分） （Ⅱ）设，，则 ， 故=， 所以不能构成等差数列．（9分） （Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（﹣3，0），B（3，0）， 于是由A，H，M三点共线得由B，H，N三点共线得径的圆的方程为解得（舍）或，又 ．故以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．（15分） ，∴； ，以MN为直点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件． ?2010-2014 菁优网

3．如图，已知直线

与抛物线

和圆

都相切，

F是C1的焦点．

（1）求m与a的值；

（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；

（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可； （2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线； （3）设直线MF的方程代入抛物线方程，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，从而可求△NPQ的面积S的取值范围． 解答： （1）解：由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，﹣1），半径为 由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离d==，解得m=﹣6（m=4舍去）． 设l1与抛物线的相切点为A0（x0，y0），又y′=2ax，∴2ax0=2 ∴x0=，y0=，代入直线方程得：∴m=﹣6，； ，焦点 F（0，） ，∴ （2）证明：由（1）知抛物线C1方程为y=设 A（x1，），由（1）知以A为切点的切线l的方程为） ） 令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，﹣∴=（），=（0，﹣∵以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB， ∴=（x1，﹣3） 上；

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∵F是定点，∴点M在定直线

（3）解：直线MF：y=kx+，代入y=∴x1+x2=6k，x1x2=﹣9． ∴S△NPQ=|NF||x1﹣x2|==9 得 ∵k≠0，∴S△NPQ＞9， ∴NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）． 点评： 本题综合考查圆与椭圆知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题． 二．解答题（共27小题）

4．用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.66=7.0756，3.34=11.1556） 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用． 专题： 计算题． 分析： 设出底面边长为2x，用x表示出三棱柱的底面的腰长，三棱柱的高，从而得到三棱柱的体积与x的函数关系是解决本题的关键，可以利用导数为工具确定出最大容积时候的x的值，实现该问题的解答． 解答： 解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（x+1）m， 22

高为3， 设容器的容积为Vm，底面等腰三角形底边上的高为 =， ， 令V′=0，得x﹣2.66x﹣1.02=0，（x﹣3）（x+0.34）=0，由x＞0，解得x=3 当0＜x＜3时V′＞0；3＜x＜5.1时，V′＜0，因此，当x=3时，V有最大值． 答：容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m时容器的体积最大． 点评： 本题考查函数的模型思想和意识，考查设未知数表示函数关系的思想，注意实际问题函数的定义域，依据给出的函数表达式利用导数为工具确定所给函数的最值，考查学生的导数工具意识． 5．（2013?四川）已知椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过

2点．

（I）求椭圆C的离心率：

（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且求点Q的轨迹方程． 考点： 曲线与方程；轨迹方程；椭圆的简单性质． 专题： 压轴题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率； ，

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（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出求得点Q的轨迹方程． 解答： 解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F（﹣1，0），F（0），且椭圆C经过点121，． ，再综合计算即可∴c=1，2a=PF1+PF2=∴椭圆的离心率e===…4分 =2，即a= （II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y） （1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2﹣） （2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2， 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则 ，，又|AQ|=（1+k）x，222 ∴22，即=…① 将y=kx+2代入22中，得（2k+1）x+8kx+6=0…② 2由△=（8k）﹣24（2k+1）＞0，得k＞ 由②知x1+x2=﹣，x1x2=，代入①中化简得x=2…③ 因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=由③及k＞可知0＜x＜，即x∈（﹣22，代入③中并化简得10（y﹣2）﹣3x=18 ，0）∪（0，） 22由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1， 又由10（y﹣2）﹣3x=18得（y﹣2）∈[，）且﹣1≤y≤1，则y∈（，2﹣所以，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）﹣3x=18，其中x∈（﹣22222） ）…13分 ，），y∈（，2﹣点评： 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分． 6．（2014?深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b＞0），抛物线C：y=2px（p＞0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为（1）求直线l及抛物线C的方程；

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2

．

（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程，利用两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程； （2）直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，yM=，求出k3，即可得出结论． 解答： 解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C上，∴p=1， 2∴y=2x． …（2分） 设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l′方程为y=x+m， 代入抛物线方程可得x+（2m﹣2）x+m=0， ∴△=（2m﹣2）﹣4m=4﹣8m=0，得m=，则直线l′方程为y=x+． ∵两直线l、l′间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离， ∴有，解得b=2或b=﹣1（舍去）． 22222∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y=2x． …（6分） （2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y﹣1=k（x﹣2）， 与抛物线联立，消去x得ky﹣2y﹣4k+2=0， 设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2=，y1y2=∵k1=，k2=， ，…（9分） 2∴．…（10分） 由得，yM=， ?2010-2014 菁优网

∴k3==，…（13分） ∴k1+k2=2k3． 因此，存在实数λ，使得k1+k2=λk3成立，且λ=2．…（14分） 点评： 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 7．（2014?上饶一模）如图，椭圆C1：

（a＞b＞0）和圆C2：x+y=b，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等

2

2

2

分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l

与圆C2相交于点A、B． （1）求椭圆C1的方程；

（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M． ①求证：直线MP经过一定点； ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，出所有m的值；若不存在，请说明理由．

为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a=b+c即可得出； （2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx﹣1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点． ②由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程．假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径．即222（i）解答： ，（ii）．得出m的取值范围存在即可． ，则a=3b． 解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，∴∴， ?2010-2014 菁优网

又椭圆C1右焦点到右准线的距离为∴∴椭圆方程为，∴b=1，则a=3， ． ， （2）①由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx﹣1， 由得或 ∴， 用去代k，得， ， ∴PM：，即， ∴直线PM经过定点． ②由得或 ∴， 则直线AB：， 设，则t∈R，直线PM：，直线AB：y=5tx， 假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交， 则（i）由（i）得

，（ii）． 对t∈R恒成立，则

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，

由（ii）得，当即时，不合题意；当， 的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为时，对t∈R恒成立， ，得，∴存在圆心为（m，0），半径为． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌机能力、考查了推理能力、计算能力，属于难题． 8．（2014?德州一模）已知点A、B分别是椭圆

=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个

端点，且离心率e=

，S△ABC=

．动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若椭圆上存在点P，满足

（O为坐标原点），求λ的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 向量与圆锥曲线． 分析： （Ⅰ）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求λ的取值范围； （Ⅲ）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求△MNO面积． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，，∴ ∴椭圆的方程为； 222（Ⅱ）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k）x+4kmx+2m﹣2=0． 设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则 x1+x2=﹣，x1x2= ∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，则λ=0． （2）当m≠0时，点M、N不关于原点对称，则λ≠0， ∵，∴（x1，y1）+（x2，y2）=λ（x0，y0）， ∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0， ?2010-2014 菁优网

∴x0=﹣∵P在椭圆上， ∴22222，y0= 化简，得4m（1+2k）=λ（1+2k）． 2∵1+2k≠0， 222∴有4m=λ（1+2k）．…① 222222又∵△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣2）=8（1+2k﹣m）， 22∴由△＞0，得1+2k＞m．…② 2将①、②两式，∵m≠0，∴λ＜4， ∴﹣2＜λ＜2且λ≠0． 综合（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是﹣2＜λ＜2； （Ⅲ）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d= ∴S△MNO=== 由①得，代入上式并化简可得S△MNO= ∵=2 ∴S△MNO≤2 2当且仅当λ=4﹣λ，即∴当时，等号成立 ． 时，△MNO的面积最大，最大值为点评： 本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a2=b2+c2；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解． 9．（2014?崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：（1）求圆的标准方程；

（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：动点Q的轨迹方程C2； （3）在（2）的结论下，当

时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的

相切．

，（其中m为非零常数），试求

最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程． ?2010-2014 菁优网

（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程． （3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程大值． 解答： ，得7x﹣8bx+4b﹣12=0．由此能求出△OBD面积的最22解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则圆C1的方程为x+y=4，2分 （2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0） 由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以22，2分 ，2分 即：，将代入x+y=4，得22，3分 （3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b 设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2） 联立方程得7x﹣8bx+4b﹣12=0，1分 22因为△=48（7﹣b）＞0，解得b＜7，且∵点O到直线l的距离∴（当且仅当b=7﹣b即2222，2分 ． ，=时取到最大值），1分 ，2分 ∴△OBD面积的最大值为．1分． 点评： 本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． ?2010-2014 菁优网

10．（2013?烟台二模）已知椭圆M：：

+

=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过

点F的直线l与椭圆M交于C，D两点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长； （Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值； （Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|； （Ⅲ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 2解答： 解：（I）因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=3， 所以a=4，所以椭圆方程为2=1； （Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到 2，消掉y，得到7x+8x﹣8=0， 所以△=288，x1+x2=所以|CD|=，x1x2=﹣， ×=； |x1﹣x2|=（Ⅲ）当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1， 此时D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0， 当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0， 2222显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣，x1x2=， 此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）| =2|k（x2+x1）+2k|==≤==，（k=时等号成立） 所以|S1﹣S2|的最大值为． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大．

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11．（2013?徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

的离心率

，

A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．

（1）求直线OP的方程； （2）求

的值；

（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，根据已知条件可判断△OPA2为正三角形，从而可得OP斜率、直线OP方程； （2）由（1）可得直线A2P的方程和A1P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A1P的方程与椭圆方程可得Q点横坐标，而=，把各点横坐标代入上式即可求得比值； （3）设OM的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S1?S2，变形后用基本不等式可其最大值； 解答： 解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a， 又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°． 又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形， 所以∠POA2=60°， 所以直线OP的方程为． （2）由（1）知，直线A2P的方程为联立①②解得因为，即． ，所以，， ①，A1P的方程为②， 故椭圆E的方程为． ?2010-2014 菁优网

由解得， 所以==． （3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0）， 联立方程组解得， 所以； 用代替上面的k，得． 同理可得，，． 所以． 因为， 当且仅当k=1时等号成立， 所以S1?S2的最大值为． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，能力要求较高． 12．（2013?温州二模）如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：

2

2

交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，

D是圆C2：x+y=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号． （I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

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考点： 直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （I）设A（x1，y1），B（x1，y2），分别代入椭圆、圆的方程可得，消掉x1得，由y1，y2同号得y2=2y1，设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，联立直线与椭圆方程消掉y得x2的二次方程，由A、C在x轴的两侧，得y1y3＜0，代入韦达定理可求得k范围，而||AB|﹣|CD||=||y1|﹣2|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|，再由韦达定理及k范围即可求得答案； （II）由斜率公式求出直线BD的斜率，由点斜式写出直线BD方程，再由点A在直线l上可得直线BD方程，从而求得其所过定点． 解答： （I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y2）， 根据题意得：?， ∵y1，y2同号，∴y2=2y1， 设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3， ∴|AB|=|y1|，|CD|=|y3|， 由?（4k+1）x+8kx﹣12=0，△＞0恒成立， 22则，， ∵A、C在x轴的两侧，∴y1y3＜0， ∴（kx1+1）（kx3+1）=kx1x3+k（x1+x3）+1=∴， ∈（0，）； 2＜0， ∴||AB|﹣|CD||=||y1|﹣|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=（II）解：∵直线BD的斜率=2k， ∴直线BD的方程为y=2k（x﹣x1）+2y1=2kx﹣2（kx1﹣y1）， ∵y1=kx1+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2， ∴直线BD过定点（0，2）． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用到韦达定理，应熟练掌握． 13．（2013?松江区一模）对于双曲线C：

，定义C1：

，为其伴随曲线，

记双曲线C的左、右顶点为A、B．

（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程； （2）若双曲线C的方程为x﹣y=1，过点点，求△ON1N2的面积（O为坐标原点）

2

2

且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两

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（3）若双曲线C的方程为

，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；双曲线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c1的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出； （2）根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率，利用两点间的距离公式即可求出弦长|N1N2|，进而即可求出面积； （3）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹． 解答： 解：（1）∵，， 由c=2c1，得，即a+b=4（a﹣b） 2222可得 ， ∴C的渐近线方程为． 22（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x+y=1，设直线l的方程为由l与圆相切知即 3k=1+k 22， 解得当， 时，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N2（x2，y2） 由得，即， ∵∴|x1﹣x2|==，，x1x2=﹣5． =． ∴， ∴由对称性知，当时，也有； ． （3）设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），又A（﹣2，0）、B（2，0）， ∴直线PA的方程为…① ?2010-2014 菁优网

直线QB的方程为…② 由①②得 ∵P（x0，y0）在双曲线上， ∴，∴． 因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为． 点评： 熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键． 14．（2012?咸阳三模）已知抛物线x=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点． （1）求

的值；

2

（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 专题： 综合题． 分析： （1）设直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求的值； （2）求导数，可得切线方程，联立方程，即可得到l1与l2的交点在定直线y=﹣a上． 解答： 解：（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2） 由消去y得x﹣4kx﹣4a=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4a =﹣4ak+4ak+a=a ．…（6分） 222∴故（2）求导数，可得，设l1方程为，整理得 同理得l2方程为…（9分） ?2010-2014 菁优网

联立方程 x2×（1）﹣x1×（2）得，∴ 故l1与l2的交点在定直线y=﹣a上．…（13分） 点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查抛物线的切线，解题的关键是联立方程，确定切线的方程，属于中档题． 15．（2012?武昌区模拟）已知椭圆

的离心率为，点M（2，3），N（2，﹣3）为C上

两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）．

（I）求四边形MANB面积的最大值；

（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

考直线与圆锥曲线的综合问题． 点： 专计算题；综合题；压轴题． 题： 分（1）设根据离心率椭圆的方程，把M点代入即可求得c，则椭圆的方程可得．设直线l的方程，A（x1，y1），析：B （x2，x2），直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而代入四边形形面积表达式中，根据m确定四边形的面积最大值． （2）设直线MA、MB的方程，进而与椭圆方程联立分别求出A，B的横坐标，进而求得两点的坐标的表达式，表示出直线AB的斜率，根据斜率为整理可得k1+k2=0． 解（I）答：解 ：，设椭圆，代入M（2，3），得c=2， 所以椭圆C的方程为设直线l的方程为 （m∈R），A（x1，y1），B（x2，x2） 游，得x+mx+m﹣12=0 22 ?2010-2014 菁优网

则x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣12 又= ． 2显然当m=0时，SMANB= （II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x﹣2）+3（5）y=k2（x﹣2）+3（k1，2∈R） 2222将（5）代入（4）得：（16k1+12）x+（96k1﹣64k1）x+64k1﹣192k1﹣48=0 则∴ ∴，同理： 化简得：k1=k2∵k1≠k2∴k1=﹣k2 即k1+k2=0为定值． 点本题主要考查了直线与椭圆的关系．解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用． 评： 16．（2012?泰州二模）已知椭圆

（a＞b＞0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e．

22（1）若e=，求椭圆的方程；

（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上． ①证明点A在定圆上； ②设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 222（1）利用离心率的计算公式及b=a﹣c即可得出椭圆的标准方程； （2）利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出． 解答： 解：（1）由=，c=2，得a=，b==2． ?2010-2014 菁优网

故所求椭圆方程为． （2）设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），故①由题意，得．化简，得，． ，∴点A在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A（x1，y1），则得到． 将42，22，代入上式整理，得k（2e﹣1）=e﹣2e+1； ． 2242∵e﹣2e+1＞0，k＞0，∴2e﹣1＞0，∴∴≥3．化简，得．解之，得，． 故离心率的取值范围是． 点评： 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键． 17．（2012?台州一模）已知抛物线C1：x=2py（p＞0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C1的方程； （Ⅱ）过点P（0，﹣2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M， （ⅰ）求点M的轨迹C2的方程； （ⅱ）若点Q为（ⅰ）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断

是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）利用抛物线的定义，可求抛物线C1的方程； （Ⅱ）（ⅰ）直线方程与抛物线方程联立，求得k的范围，求出抛物线在A，B处的切线方程，联立可求点M2

的轨迹C2的方程； （ⅱ）表示出解答： ，利用韦达定理，化简可得结论． 解：（Ⅰ）由题意得，则p=2，…（3分） 2所以抛物线C1的方程为x=4y． …（5分） （Ⅱ）（ⅰ）设过点P（0，﹣2）的直线方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）， ?2010-2014 菁优网

由由△＞0，得得x﹣4kx+8=0． 或，x1+x2=4k，x1x2=8．…（7分） ，， 2抛物线C1在点A，B处的切线方程分别为即，， 由得 所以点M的轨迹C2的方程为（ⅱ）设Q（m，2）（则，或）， ．…（11分） ）．…（10分） 所以=…（12分） == ====2， 即为常数2． …（15分） 点评： 本题考查抛物线的定义与标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（2012?韶关二模）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是设动点P的轨迹为C1，Q是动圆

（1＜r＜2）上一点．

，

（1）求动点P的轨迹C1的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）设曲线C1上的三点

的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；

（3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；轨迹方程． 专题： 综合题． 分析： 与点F的距离成等差数列，若线段AC

（1）由已知，得，由此能求出动点P的轨迹C1的方程和轨迹是什么图形． ?2010-2014 菁优网

（2）由已知可得，，，因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以x1+x2=2，故线段AC的中点为，其垂直平分线方程为，由此能求出直线BT的斜率． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2），直线PQ的方程为y=kx+m，因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，由此能求出P、Q两点的距离|PQ|的最大值． 解答： 解：（1）由已知，得，…（2分）． 将两边平方，并化简得故轨迹C1的方程是它是长轴、短轴分别为（2）由已知可得因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以即得x1+x2=2，①…（5分）． 故线段AC的中点为， ，…（4分）． 、2的椭圆…（4分）． ，=，， ， ， 其垂直平分线方程为，②…（6分）． 因为A，C在椭圆上，故有，， 两式相减，得：③ 将①代入③，化简得，④…（7分）． 将④代入②，并令y=0得，即T的坐标为， ．…（8分）． 所以．…（9分）． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）， 直线PQ的方程为y=kx+m， 因为P既在椭圆C1上又在直线PQ上，

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从而有22 2∴（2k+1）x+4kmx+2（m﹣1）=0…（10分）． 222由于直线PQ与椭圆C1相切，故△=（4km）﹣4×2（m﹣1）（2k+1）=0 从而可得m=1+2k，22， 222同理，由Q既在圆C2上又在直线PQ上，可得m=r（1+k），…（12分） ∴， 所以 = =…（13分）． 即，当且仅当时取等号， 故P、Q两点的距离|PQ|的最大值．…（14分）． 点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 19．（2012?泉州模拟）已知椭圆C的方程为：（1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P（x0，y0）满足

2

2

，其焦点在x轴上，离心率e=．

，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣，求

证：x0+2y0为定值．

（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；圆锥曲线的综合． 专题： 综合题． 分析： （1）根据椭圆焦点在x轴上，离心率，即可求出椭圆的标准方程； （2）假设M，N的坐标，利用向量条件寻找坐标之间的关系，结合点M，N在椭圆明为定值； 上，即可证（3）由（2）知点P是椭圆上的点，根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值． ?2010-2014 菁优网

解答： （1）解：由，b=2，解得2，故椭圆的标准方程为． （2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由即x0=x1+2x2，y0=y1+2y2， ∵点M，N在椭圆∴上， ，得（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2）， 设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，∴x1x2+2y1y2=0， 故=即（定值） ， ， （3）证明：由（2）知点P是椭圆∵， 上的点， ∴该椭圆的左右焦点满足为定值， 因此存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值． 点评： 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查向量知识的运用，考查存在性问题的探究，解题的关键是利用向量知识，将向量坐标化． 20．（2012?南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为

，以原点

为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切． （1）求椭圆C的方程； （2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）利用以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，可得b的值，利用离心率 ?2010-2014 菁优网

为，即可求得椭圆C的方程； （2）设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），求出直线PM、QN的方程，求得x0，y0的值，代入椭圆方程，整理可得结论． 解答： （1）解：由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+2=0相切，∴b=因为离心率e==，所以=，所以a=2． =． 所以椭圆C的方程为． （2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，y0），则直线PM的方程为y=① 直线QN的方程为y=x+2． ②…（8分） x+1，设T（x，y），联立①②解得x0=，y0=． …（11分） 因为，所以（）+（2）=1． 2整理得=（2y﹣3），所以2﹣12y+8=4y﹣12y+9，即2． 所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分） 点评： 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（2012?闵行区三模）已知椭圆T：一个顶点，

?

=0．

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点依次为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的

（1）求椭圆T的方程；

（2）设G是点F1关于点F2的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使若不存在，请说明理由；

（3）设经过点F2的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y0），求y0的取值范围． 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 222分析： （1）由已知得b=2，由?=0可得c，根据a=b+c可求得a； =+，若存在，求出这两点，

（2）由（1）易求F1、F2、G的坐标，假设存在两点P、Q，使=+，则四边形PF1QG是平行四边形，且点P、Q关于点F2对称，进而可得PQ⊥x轴，联立方程组可解得两点P、Q坐标；

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（3）当RS⊥x轴时，易知y0=0；当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设R（x3，y3），S（x4，y4），线段RS的中点为D（xD，yD），由韦达定理及中点坐标公式可求得D点坐标，利用点斜式可得线段RS的垂直平分线方程，令x=0可得y0，按k＜0，k＞0两种情况利用基本不等式即可求得y0的范围； 解答： 解：（1）由已知可得 b=2， 设半焦距为c，则所以a=b+c=8， 所求椭圆方程为． 222=（﹣c，﹣2）?（c，﹣2）=﹣c+4=0，得c=4， 22（2）由（1）可求得F1、F2、G的坐标分别为（﹣2，0）、（2，0）、（6，0）， 设在椭圆T上存在两点P、Q，使称； 由椭圆的对称性可知，PQ⊥x轴，且PQ过点F2，解所以在椭圆T上存在两点P（2，）、Q（2，﹣），使=得：， =+，则四边形PF1QG是平行四边形，且点P、Q关于点F2对+． （3）当RS⊥x轴时，显然y0=0． 当RS与x轴不垂直时，可设直线RS的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）． 由消去y整理得，（1+2k）x﹣8kx+8（k﹣1）=0． 2222设R（x3，y3），S（x4，y4），线段RS的中点为D（xD，yD），则 x3+x4=． 所以=，yD=k（xD﹣2）=． 线段RS的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣）． 在上述方程中令x=0，得=． 当k＜0时，+2k≤﹣2，所以﹣，≤y0＜0；当k＞0时，+2k≥2]． ，0＜y0． 综上，y0的取值范围是[﹣点评： 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力． 22．（2012?洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点． （1）求椭圆的方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；

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，且经过点M（2，1），直线

（3）记直线MA，MB斜率分别为k1，k2．试问k1+k2是否为定值？若是，求出k1+k2的值，否则，说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为，且经过点M（2，1），可得方程组，求出几何量，即可求得椭圆的方程； （2）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，利用判别式，即可求直线AB在y轴上截距的取值范围； （3）利用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简即可得到结论． 解答： 解：（1）设椭圆方程为 ∵椭圆的离心率为，且经过点M（2，1）， ∴ ∴a=8，b=2 ∴椭圆方程为（2）∵直线AB∥OM，222； ，∴可设直线AB的方程为2 代入椭圆方程，可得x+2mx+2m﹣4=0 22∴△=（2m）﹣4（2m﹣4）＞0 ∴﹣2＜m＜2 当m=0时，x=±2，这与直线AB∥OM相矛盾，∴m≠0 ∴直线AB在y轴上截距的取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则22，2， 由x+2mx+2m﹣4=0，可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m﹣4， ∴k1+k2===0 即k1+k2为定值0． 点评： 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． ?2010-2014 菁优网

23．（2012?泸州一模）已知椭圆

的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）根据椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程； （Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，﹣n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证． 解答： （Ⅰ）解：∵椭圆∴2a=2（2c），∴a=2c ∵右准线方程为x=4，∴∴4c=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=2的长轴长是焦距的2倍 ，∴a=4c 2所以椭圆C的方程为：（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，∴直线PD的方程为代入椭圆方程可得：5x﹣8x=0 ∴x=0，或x= ∴R（，﹣） 2； ），则P（0，﹣，即） ∴直线QR的方程为 令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0） 设Q（m，n），则P（m，﹣n），∴直线PD的方程为：直线QA的方程为② ① 联立①②可得，解得 代入椭圆方程的左边可得+ ∵Q（m，n）在椭圆上，∴

，∴

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∴+=+==1 即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上 故直线QR过定点（1，0）． 点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题． 24．（2012?泸州二模）已知双曲线方程

，椭圆方程

，A、D分别是双曲线和椭

圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MC⊥CE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）由双曲线方程列，可得求得椭圆的方程； ，可求，根据|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数，根据D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点，即可（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），将y=k（x+2）代入整理得（1+2k）x+8kx+8k﹣22224=0，可求P的坐标；设Q（x0，0），x0≠﹣2，若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP，从而有解答： 解：（Ⅰ）由已知A是双曲线的右准线与x轴的交点，B为双曲线的右顶点，双曲线方程∴ ∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列． ∴ ∵D是椭圆的右准线与x轴的交点，C为椭圆的右顶点， ∴∴ ； ， ，进而可知存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点． ∴所求椭圆的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（﹣2，0），设直线EM的方程为：y=k（x+2），P（x1，y1） ∵MC⊥CE，∴M（2，4k） 将y=k（x+2）代入整理得（1+2k）x+8kx+8k﹣4=0 2222 ?2010-2014 菁优网

∵ ∴∴ ∴P（） 设Q（x0，0），x0≠﹣2 若以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，则MQ⊥CP ∴ ∵， ∴=0 ∴ ∴x0=0 ∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点． 点评： 本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是将两直线与椭圆方程联立，将向量关系转化为坐标关系． 25．（2012?黄浦区一模）已知两点A（﹣1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到

倍后得到点Q（x，

）满足

．

（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）过点B作斜率为

的直线l交曲线C于M、N两点，且满足

，又点H关于原点O的对称

点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；圆锥曲线的轨迹问题． 专题： 综合题． 分析： （1）确定向量AQ，BQ的坐标，利用，即可得到动点P所在曲线C的轨迹方程； （2）假设l的方程与椭圆方程联立，利用向量知识，确定M，N，G，H的坐标，进而确定点到四点的距离相等，从而可得结论． 解答： 解：（1）依据题意，有∵22， ， ∴x﹣1+2y=1． ?2010-2014 菁优网

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是（2）因直线l过点B，且斜率为k=﹣． ，故有l：y=﹣． 联立方程组，得2x﹣2x﹣1=0． 2设两曲线的交点为M（x1，y1）、N（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=又． ，点G与点H关于原点对称， ）、G（1，）． =（x﹣），l2：． 于是，可得点H（﹣1，﹣若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y﹣联立方程组，解得l1和l2的交点为O1（，﹣）． 因此，可算得|O1H|==，|O1M|=），半径为． =． 所以，四点M、G、N、H共圆，圆心坐标为O1（，﹣点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查四点共圆，正确运用向量知识，确定圆心坐标与半径是关键． 26．（2012?葫芦岛模拟）如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中

F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6． （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AF1与椭圆交于另一点B，与y轴交于一点C，记m=求m+n的取值范围．

，n=

，若点A在第一象限，

考直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 点： 分（1）根据F1，F2是A1A2的三等分点，可得a=3c，利用|AF1|+|AF2|=6，可得a=3，从而可得椭圆C的方程； 析：（ 2）当直线与x轴重合时，显然不合题意；当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程代入到椭圆方程并消 ?2010-2014 菁优网

元整理利用韦达定理及C点坐标，确定m=取值范围． 解解：（1）∵F1，F2是A1A2的三等分点，∴a=3c 答：又∵ |AF1|+|AF2|=6，∴a=3 2∴c=1，∴b=8 ∴椭圆C的方程为：+=1…（4分） =，n==，由此可确定m+n的（2）F1（﹣1，0），当直线与x轴重合时，显然不合题意， 当直线不与x轴重合时，设直线AF1的方程为：x=my﹣1 22代入到椭圆方程并消元整理得：（8m+9）y﹣16my﹣64=0 …① 22△=16×9（m+1）＞0恒成立； 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是方程①的两个解，由韦达定理得：y1+y2=在x=my﹣1中，令x=0得C点坐标为（0，）…（7分） ，y1y2=﹣ m====（∵A在第一象限，∴x1=my1﹣1＞0，y1＞0） 同理：n==…（9分） ∴m+n=+===2+ ∵A在第一象限，∴C点在椭圆内部 ∴0＜＜22，∴m＞ 2∴8m﹣1＞0，∴m+n＞2 ∴m+n的取值范围是（2，+∞）…（12分） 点本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，确定m，n的表示是关键． 评： 27．（2012?贵州模拟）椭圆C：

的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标

．

原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明为定值，

并求这个定值． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析： （Ⅰ）利用椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为，建立方程组，即可求得椭圆C的方程； ?2010-2014 菁优网

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