2019-2020年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题

2019-2020年中考数学压轴题：因动点产生的相切问题

如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点． （1）当tanA?1时，求AP的长；

2（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于

x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）在（2）的条件下，当tanA?4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q3相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形．

请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到， y与x成反比例．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，

2同时与⊙Q相外切．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、⊙

2Q都内切．

思路点拨

1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．

2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．

3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．

满分解答

（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．

在Rt△OAH中，OA＝3，tanA?1，设OH＝m，AH＝2m，那么m＋(2m)＝3．

2

2

2

2解得m?35．所以AP?2AH?4m?125．

55（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形． 又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP． 因此QP?OP，即y?3．

POPA3x由此得到y?9．定义域是0＜x≤6．

x

图4 图5

（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．

在Rt△QPD中，PD?1PO?3，tanP?tanA?4，因此QP?5．

2232如图7，设⊙M的半径为r．

由⊙M与⊙O内切，rO?3，可得圆心距OM＝3－r．

由⊙M与⊙Q外切，rQ?QP?5，可得圆心距QM?5?r．

22在Rt△QOM中，QO?5，OM＝3－r，QM?5?r，由勾股定理，得

22559(?r)2?(3?r)2?()2．解得r?． 2211

图6 图7 图8

考点伸展

如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切，那么⊙M的半径是多少？ 同样的，设⊙M的半径为r．

由⊙M与⊙O内切，rO?3，可得圆心距OM＝r－3． 由⊙M与⊙Q内切，rQ?QP?5，可得圆心距QM?r?5．

22在Rt△QOM中，由勾股定理，得(r?5)2?(r?3)2?(5)2．解得r＝9．

22

例2 2012年河北省中考第25题

如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．

（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而

变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．

答案 （1）点C的坐标为(0,3)．

（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，t?4?3； 如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，t?4?33．

图2 图3

（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1； 如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；

如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．

图4 图5 图6

例3 2012年无锡市中考模拟第28题

如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与

边

BC分别有1个公共点和2个公共点？

图一

动感体验

请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．

请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P由A向C运动，可以体验到，⊙P与线段BC的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．

答案 （1）因为AQ?tABAQAP，AP?3t?t，所以．因此PQ//BC． ?ABAC2AC23211（2）如图2，由PQ＝PH＝PC，得t?(23?3t)．解得t?43?6．

22如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是AB的中点，t＝1． 如图4，由PQ＝PC，得t?23?3t．解得t?3?3． 如图5，当P、C重合时，t＝2．

因此，当t?43?6或1＜t≤3?3或t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点． 当43?6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

图2 图3 图4 图5

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