2018年全国卷文科数学十年真题分类汇编 数列

数列

一．基础题组

1.【2013课标全国Ⅰ，文6】设首项为1，公比为

2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )． 3A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2 C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an 【答案】D

21?ana?1?q?a1?anq3＝3－2an，故选D. 【解析】Sn?1??21?q1?q1?3n2. 【2012全国1，文6】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )

3n?12n?11()()A．2 B． C． D．n?1 232n－1

【答案】B

3. 【2011全国1，文6】设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d?2，SA?2?Sn?24，则k? ( )

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D

【解析】Sk?2?Sk?ak?2?ak?1?a1?(k?2?1)d?a1?(k?1?1)d?2a1?(2k?1)d

?2?1?(2k?1)?2?4k?4?24?k?5故选D。

4. 【2010全国1，文4】已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( ) A．52 B．7 C．6 D．42 【答案】：A

3

【解析】数列{an}为等比数列，由a1a2a3＝5得a2＝5，由a7a8a9＝10得a8＝10，所以a2a8＝50，即(a2a8)

3333633＝50，即a5＝50，所以a5＝52 (an＞0)．所以a4a5a6＝a5＝52.

5. 【2008全国1，文7】已知等比数列{an}满足a1?a2?3，a2?a3?6，则a7?（ ）

A．64 【答案】A 【解析】

B．81 C．128 D．243

6. 【2009全国卷Ⅰ,文14】设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=__________. 【答案】:24

【解析】:∵S9?72?9(a1?a9),∴a1+a9=16. 2∵a1+a9=2a5,∴a5=8.∴a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24.

27. 【2014全国1，文17】已知?an?是递增的等差数列，a2，a4是方程x?5x?6?0的根。

（I）求?an?的通项公式； （II）求数列??an?nn?的前项和.

?2?

（2）设{anann?2}?n?1，则 的前n项和为，由（1）知Sn2n2n2Sn?34n?1n?2?????n?1， 23n2222134n?1n?2Sn?3?4???n?1?n?2. 22222两式相减得

13111n?2Sn?2?(3?4???n?1)?n?2 222222?311n?2?(1?n?1)?n?2 4422所以Sn?2?n?4. 2n?1n?2an. 38. 【2012全国1，文18】已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn?(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．

【解析】：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；

4353S＝a由3(a1＋a2)＝6. 3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝

32(2)由题设知a1＝1.

n?2n?1a?an?1， 当n＞1时有an＝Sn－Sn－1＝n33

9. 【2011全国1，文17】

设等比数列?an?的前n项和为Sn,已知a2?6,6a1?a3?30,求an和Sn.

【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可.

?a1q?6【精讲精析】设?an?的公比为q,由题设得? 26a?aq?30?11解得??a1?3?a1?2或?，

?q?2?q?3n?1当a1?3,q?2时，an?3?2,Sn?3?(2n?1).

当a1?2,q?3时，an?2?3n?1,Sn?3n?1.

10. 【2010全国1，文17】记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.

2??2a1(a3?1)?a2【解析】：设数列{an}的公差为d.依题设有?

a?a?a?12??123?a12?2a1d?d2?2a1?0即? ?a1?d?4解得a1＝1，d＝3或a1＝8，d＝－4. 因此Sn＝

1n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)． 211. 【2009全国卷Ⅰ,文17】设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式. 【解析】:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q. 由a3+b3=17得1+2d+3q=17, ① 由T3-S3=12得q+q-d=4. ② 由①②及q＞0解得q=2,d=2.

故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2. 12. 【2008全国1，文19】

在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2．

nn-1

2

2

（Ⅰ）设bn?an．证明：数列?bn?是等差数列； 2n?1（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn．

bn?n，an?n2n?1．

2?2?2???(n?1)?2（2）Sn?1?01n?2?n?2n?1

2Sn?1?21?2?22???(n?1)?2n?1?n?2n

两式相减，得

Sn?n?2n?1?20?21??2n?1?n?2n?2n?1．

13. 【2007全国1，文21】（本小题满分12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且

a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13

（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{【解析】：

an}的前n项和Sn。 bn

（Ⅱ）

an2n?1?n?1. bn2352n?32n?1?????n?1，① 21222n?2252n?32n?1???n?3?n?2，② 2222222n?1?2???n?2?n?1， 2222Sn?1?2Sn?2?3?②－①得Sn?2?2?1?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1

2?2?22

1n?12n?1?2?2?2?n?1

121?21??6?2n?3. 2n?114. 【2015高考新课标1，文7】已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8?4S4，则a10?（ ） （A）

1719 （B） （C）10 （D）12 22【答案】B

【解析】∵公差d?1，S8?4S4，∴8a1?111?8?7?4(4a1??4?3)，解得a1=，∴222a10?a1?9d?119?9?，故选B. 22【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式

15. 【2015高考新课标1，文13】数列?an?中a1?2,an?1?2an,Sn为?an?的前n项和，若Sn?126，则n?. 【答案】6

二．能力题组

1. 【2007全国1，文16】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为______。 【答案】：

1 32【解析】S1?a1，S2?a1?a2?a1(1?q)，S3?a1?a2?a3?a1(1?q?q)，

所以，S3?a1?3a1(1?q?q)?4a1(1?q)，∵{an}是等比数列，∴a1?0，两边同时约去a1，所以q?02（舍去）或者q?1. 32. 【2013课标全国Ⅰ，文17】(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列???1?的前n项和．

aa?2n?12n?1?n(n?1)d. 2【解析】：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1?由已知可得??3a1?3d?0,

5a?10d?5,?1解得a1＝1，d＝－1.

故{an}的通项公式为an＝2－n. (2)由(1)知

111?11????＝?，

a2n?1a2n?1?3?2n??1?2n?2?2n?32n?1???1从而数列??的前n项和为

aa?2n?12n?1?n1?111111????????＝. ??2??11132n?32n?1?1?2n3. 【2011新课标，文17】已知等比数列{an}中，a1=11，公比q?. 33（1）Sn为{an}的前n项和，证明：

Sn?1?an. 2（2）设bn?log3a1?log3a2?????log3an，求数列{bn}的通项公式.

【精讲精析】（1）?an?11()3n?131?()3n111(1-n)1-n33?3 ，Sn?121-3?Sn?1?an. 2（2）bn?log3a1?log3a2?????log3an

=-(1+2+3+...+n)=-n(n+1) .2n(n+1). 2?数列{bn}的通项公式为bn=-三．拔高题组

1. 【2005全国1，文21】（本大题满分12分） 设正项等比数列?an?的首项a1?（Ⅰ）求?an?的通项； （Ⅱ）求?nSn?的前n项和Tn。

【解析】：（Ⅰ）由 2S30?(2?1)S20?S10?0 得 2(S30?S20)?S20?S10, 即2(a21?a22???a30)?a11?a12???a20, 可得2?q(a11?a12???a20)?a11?a12???a20. 因为an?0，所以 2q101010101010101011010，前n项和为Sn，且2S30?(2?1)S20?S10?0。 2?1, 解得q?

11n?1?n,n?1,2,?. ，因而 an?a1q22（Ⅱ）因为{an}是首项a1?11

、公比q?的等比数列，故 22

11(1?n)2?1?1,nS?n?n. Sn?2n12n2n1?2

2. 【2016新课标1文数】（本小题满分12分）已知?an?是公差为3的等差数列，数列?bn?满足

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