解三角形(历届高考题)之令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 历届高考中的“解三角形”试题精

选（自我测试）

令狐文艳

一、选择题：（每小题5分，计40分）

1．（2008北京文）已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（ ）

（A ）135° (B)90°(C)45° (D)30°

2.（2007重庆理）在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+

3.(2006山东文、理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为

a 、

b 、

c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( )

（A ）1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3

4．(2008福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,

若222a c b +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56π Ｄ．3π或23

π 5．（2005春招上海）在△ABC 中，若

C c B b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）

（A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形.

（D ）等腰直角三角形.

6.（2006全国Ⅰ卷文、理）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别

为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则

cos B =（ ）

A ．1

4B ．34 C

．4 D

．3

7．（2005北京春招文、理）在ABC ?中，已知

C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c

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令狐文艳创作 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2

3，那么b =（ ）

A ．231+

B ．31+

C ．232+

D ．32+

二.填空题: （每小题5分，计30分）

9.（2007重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝。

10. (2008湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所

对的边，已知3,30,a b c ===?

则A ＝ .

11.（2006北京理）在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是_____.

12.（2007北京文、理)在ABC △中，若1tan 3

A =，150C =，1BC =，则A

B =________． 13．(2008湖北理)在△AB

C 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC 的值为.

14．（2005上海理）在ABC ?中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ?的面积S=_______

三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）

15．(2008全国Ⅱ卷文)在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5

B =． （Ⅰ）求sin

C 的值； （Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 16.（2007山东文）在ABC △中，角A B C ，，

的对边分别为tan a b c C =，，，

（1）求cos C ； （2）若2

5CA CB =?，且9a b +=，求c ． 17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC

是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，

（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE 。

18.（2006全国Ⅱ卷文）在45,ABC B AC ?∠=?=

中，求 （1）?BC = (2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。

19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a =2b sin A

(Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求C A sin cos +的取值范围.

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令狐文艳创作 20.（2003全国文、理，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O

（如图）的东偏南

(cos θθ=方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北?45方向移动，台

风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为

60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几

小时后该城市开始受到台风的侵袭？

历届高考中的“解三角形”试题精

选（自我测试）

参考答案

一、选择题：（每小题5分，计40分）

二.填空题: （每小题5分，计30分） 9.3； 10.30° ； .11. __ 60O

_.

12. 210

； 13．612

； 14．4315 三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）

15．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-

，得12sin 13A =，由3cos 5B =，得4sin 5

B =． 所以16sin sin()sin cos cos sin 65

C A B A B A B =+=+=

． （Ⅱ）由正弦定理得4

5sin 13512sin 3

13

BC B AC A ??===． 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???83

=． 16.解：（1）sin tan cos C C C

=∴= 又22sin cos 1C C += 解得1cos 8

C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8

C ∴=． （2）∵2

5=?，即abcosC=25 ，又cosC=8120ab ∴=． 又9a b +=22281a ab b ∴++=．

2241a b ∴+=． 2222cos 36c a b ab C ∴=+-=． 6c ∴=．

17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以

东

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15

CBE =∠．

所以6cos cos(45

30)4

CBE =-=

∠．

（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，

由正弦定理

2sin(4515)

sin(9015)

AE =

-+． 故2sin 30

cos15AE

=

12

?

=

=

18．解：（1

）由

cos sin C C

== 由正弦定理知

sin sin

AC BC

A B =?=

=（2）

sin 2sin AC AB C B =

?==， 1

12

BD AB == 由余弦定理知

132

2

2312181cos 222=?

??-+=?-+=B BC BD BC BD CD 19.解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =，

由ABC △为锐角三角形得π6

B =．

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π??+=+π-

- ?6?

?cos sin 6A A π??

=++

???

1cos cos 22A A A =++3A π?

?=+ ??

?．

由ABC △为锐角三角形知，2

A 0π<<，

ππ

π

<+

<6

A 2

．

解得

2A 3π

π

<

< 所以

6

53A 32π

ππ<

+<，

所以1sin 23

A π??

+< ???

3A π?

?<+< ?

?

? 所以，cos sin A C +的取值范围为322??

? ???

，． 20.解：设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|OP|=300，|PQ|=20t ，

台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，

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由10

2cos =

θ

，可知

10

2

7cos 1sin 2

=-=θθ，

cos ∠OPQ=cos(θ-45o

)= cos θcos45o

+

sin θsin45o

=

5

422102722102=?+? 在 △OPQ 中，由余弦定理，得

=5

4

203002)20(3002

2

???-+t t

=9000096004002+-t t

若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即

22)6010(900009600400+≤+-t t t ，

整理，得0288362≤+-t t ，解得12≤t ≤24, 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

1．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===外 2．余弦定理：a 2

=b 2

+c

2

-2bccosA ,222

cos 2b c a A bc

+-=；

3 .射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C +

c cos A ；c = a cos B + b cos A

4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,

cos 2C =sin

2B A +,sin 2

C

=cos

2

B

A + （

2）

面

积公式：

S=2

1absinC=2

1bcsinA=2

1casinB

5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三

东

B

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种情况：

bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有解；a<bsinA时无解。

6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。

7．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

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