2014年高考新课标2数学（理）试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（新课标卷二Ⅱ）

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M=｛0,1,2｝，N=?x|x2?3x?2≤0?，则M?N=( ) A. ｛1｝ 【答案】D 【KS5U解析】

B. ｛2｝

C. ｛0，1｝

D. ｛1，2｝

把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式x2-3x+2≤0,经检验x=1,2满足。所以选D.

2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1?2?i，则z1z2?（ ） A. - 5 【答案】B 【KS5U解析】

B. 5

C. - 4+ i

D. - 4 - i

?z1=2+i,z1与z2关于虚轴对称，∴z2=-2+i,∴z1z2=-1-4=-5,故选B.

3.设向量a,b满足|a+b|=10，|a-b|=6，则a?b = ( ) A. 1 【答案】A 【KS5U解析】

B. 2

C. 3

D. 5

?|a+b|=10,|a-b|=6,，∴a+b+2ab=10，a+b-2ab=6,联立方程解得ab=1,故选A.

4.钝角三角形ABC的面积是1，AB=1，BC=2 ，则AC=( )

2222

2A. 5 【答案】B 【KS5U解析】

B.

5 C. 2 D. 1

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1112acsinB=?2?1?sinB=∴sinB=,2222π3ππ∴B=,或.当B=时，经计算ΔABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。

4443π∴B=，使用余弦定理，b2=a2+c2-2accosB,解得b=5.故选B.4?SΔABC=5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）

A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45

【答案】 A 【KS5U解析】

设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75?p,解得p=0.8,故选A.

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）

A. 17 B. 5 C. 10 D. 1

279273 【答案】 C 【KS5U解析】

?加工前的零件半径为3，高6，∴体积v1=9π?6=54π.?加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2.∴体积v2=4π?4+9π?2=34π.∴削掉部分的体积与原体积之比=54π-34π10=.故选C.54π27

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【KS5U解析】

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x=2,t=2,变量变化情况如下： M S K 1 3 1

2 5 2 2 7 3 故选C.

8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【KS5U解析】

?f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-1. x+1∴f(0)=0,且f′(0)=2.联立解得a=3.故选D.

?x?y?7≤0?9.设x,y满足约束条件?x?3y?1≤0，则z?2x?y的最大值为（ ）

?3x?y?5≥0?A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 【答案】 B 【KS5U解析】

画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.

10.设F为抛物线C:y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A.

3393 B. C. 63 D. 9

83244 【答案】 D

【KS5U解析】

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设点A、B分别在第一和第四象限，AF=2m,BF=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，33332m=2?+3m,2n=2?-3n，解得m=(2+3),n=(2-3),∴m+n=6.4422139∴SΔOAB=??(m+n)=.故选D.244

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1， 则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. 1 B. 2 C.

10530 D. 102 2 【答案】 C 【KS5U解析】

如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为X,Y,Z轴，建立坐标系。令AC=BC=C1C=2,则A(0,2,2),B(2,0,2),M(1,1,0),N(0,1,0).∴BM=(-1,1，-2），AN=(0,-1，-2）。cosθ=

BM?AN|BM|?|AN|=0-1+430=.故选C.1065f?x0???m2，则m的取值范12.设函数f?x??3sin?x.若存在f?x?的极值点x0满足x02????m2围是（ ） A.

???,?6???6,?? B.

???,?4???4,?? C.

???,?2???2,??

D.???,?1???4,?? 【答案】 C

【KS5U解析】

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?f(x)=3sinπx|m|的极值为±3，即[f(x0)]2=3,|x0|≤,m2 22mm2∴x0+[f(x0)]2≥+3，∴+32.故选C.44第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题

~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题

13.?x?a?的展开式中，x7的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

101 【答案】 2

【KS5U解析】

1137333?C10xa=15x7∴C10a=15,a=.故a=.

22

14.函数f?x??sin?x?2???2sin?cos?x???的最大值为_________. 【答案】 1 【KS5U解析】

?f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)?cosφ+cos(x+φ)?sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)?cosφ-cos(x+φ)?sinφ=sinx≤1.∴最大值为1.

15.已知偶函数f?x?在?0,???单调递减，f?2??0.若f?x?1??0，则x的取值范围是__________.

，-1）∪（3，+∞） 【答案】 (-∞

【KS5U解析】

?偶函数y=f(x)在[0,+∞)上单增，且f(2)=0∴f(x)>0的解集为|x|>2.故解集为|x-1|>2，解得x∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.

∴f(x-1)>0的解集为|x-1|>2，解得x∈(-∞，-1）∪（3，+∞）.

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16.设点M（x0,1），若在圆O:x2?y2?1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.

【答案】 [-1,1] 【KS5U解析】

在坐标系中画出圆O和直线y=1,其中M(x0,1)在直线上.由圆的切线相等及三角形外角知识，可得x0∈[-1,1].故x0∈[-1,1].

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1.

（Ⅰ）证明an?1是等比数列，并求?an?的通项公式；

?2?（Ⅱ）证明：1?1?…+1?3.

a1a2an2

【答案】 (1) 无 【KS5U解析】 （1）

（2） 无

?a1=1,an+1=3an+1.n∈N*.111=3an+1+=3(an+). 222113∴{an+}是首项为a1+=,公比为3的等比数列。222∴an+1+(2)

13n3n-112由(1)知，an+=,∴an=，=n.222an3-11121=1,当n>1时，=n

n1111111313∴+++?+<1+1+2+?+n-1=3=（1-n）<.12a1a2a3an333321-311113所以，+++?+<，n∈N*（证毕）.a1a2a3an21-

18. （本小题满分12分）

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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.

【答案】 (1) 无 （2） 无 【KS5U解析】 （1）

设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC.

（2）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则

31,0,),C(3,m,0).2231∴AD=(3,0,0),AE=(,0,),AC=(3,m,0).22A(0,0,0),D(3,0,0),E(设平面ADE法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1AD=0,n1AE=0,解得一个n1=(0,1,0).同理设平面ACE法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2AC=0,n2AE=0,解得一个n2=(m,-3,-3m).π|n2?n2|?cos=|cos|==3|n2|?|n2|3m2+3+3m2EF1设F为AD的中点，则PA//EF,且PA==,EF⊥面ACD,22111313即为三棱锥E-ACD的高.∴VE-ACD=?SΔACD?EF=???3?=.3322283所以，三棱锥E-ACD的体积为。8=13,解得m=.22

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19. （本小题满分12分）

某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： 年份 年份代号t 人均纯收入y

（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 b????t?t??y?y?iii?1n??ti?t?i?1n2? ??y?bt，a

【答案】 (1) y=0.5t+2.3. 【KS5U解析】

（1）

（2） 约6800元

?t=1+2+?+72.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9=4,y==4.377设回归方程为y=bt+a,代入公式，经计算得3*14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8141==,(9+4+1)*214*221a=y-bt=4.3-*4=2.32所以，y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3.b=

?b=1>0,∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，2该区人均纯收入y=0.5?9+2.3=6.8(千元） 所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右。

20. （本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线ab

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MF1与C的另一个交点为N.

（Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN?5F1N，求a,b.

1【答案】 (1) 2

【KS5U解析】 （1）

（2）a=7,b=27

MF13b213?由题知，=∴?=,且a2=b2+c2.联立整理得：2e2+3e-2=0，F1F24a2c411解得e=.∴C的离心率为.22（2）

b2由三角形中位线知识可知，MF2=2?2，即=4.a设F1N=m,由题可知MF1=4m.由两直角三角形相似，可得3M,N两点横坐标分别为c,-c.由焦半径公式可得:23cMF1=a+ec,NF1=a+e(-c)，且MF1:NF1=4:1,e=,2aa2=b2+c2.联立解得a=7,b=27.所以，a=7,b=27

21. （本小题满分12分） 已知函数f?x?=ex?e?x?2x （Ⅰ）讨论f?x?的单调性；

（Ⅱ）设g?x??f?2x??4bf?x?，当x?0时，g?x??0,求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142?

2?1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

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【答案】 (1) f(x)在R上单增 【KS5U解析】 （1）

（2） 2

?f(x)=ex-e-x-2x，x∈R∴f′(x)=ex+e-x-2=ex+所以，f(x)在R上单增.（2）

11x-2≥2e?-2=0. exexg(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)>0,x>0.令h(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x),x>0,则h(0)=0.h′(x)=2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2)，∴?x∈(0,m),m>0,使h′(x)≥0.即2e2x+2e-2x-4-4b(ex+e-x-2)≥0即e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2)≥0.同理，令m(x)=e2x+e-2x-2-2b(ex+e-x-2)，x∈(0,m),m>0,则m(0)=0.m′(x)=2e2x-2e-2x-2b(ex-e-x)，∴?x∈(0,t),t>0,使m(x)≥0.即2e2x-2e-2x-2b(ex-e-x)≥0，即(ex+e-x)(exe-x)-b(ex-e-x)≥0且ex-e-x>0，即ex+e-x≥b，即ex+e-x>2ex?e-x=2≥b，所以b的最大值为2 （3）

设x=ln2>0,则f(ln2)>0,即f(ln2)=2-解得ln2<12-2ln2=-ln2>0.222.由(2)知，f(2x)>8f(x),令x=ln2>0,则f(2ln2)>8f(ln2)，2

11即f(ln2)>8f(ln2)，即2--2ln2>（82--2ln2),解得223212126ln2>42-，即ln2>2-.所以2-

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题

号.

22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲

如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD?DE=2PB2

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【答案】 (1) 无 【KS5U解析】 （1）

（2）无

?PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD，ΔPAD为等腰三角形。连接AB,则∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α.

?∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE∴β+α=β+∠DBE,即α=∠DBE，即∠BCE=∠DBE，所以BE=EC.（2）

?AD?DE=BD?DC,PA2=PB?PC,PD=DC=PA, ∴BD?DC=(PA-PB)PA=PB?PC-PB?PA=PB（?PC-PA）PB?PA=PB?2PB=PB2

23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

??2cos?，

??. ???0,???2?（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y?3x?2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

所以D点坐标为(1?

3131,)或(1?,?)。 2222

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24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数f?x?=x?1?x?a(a?0)

a（Ⅰ）证明：f?x?≥2；

（Ⅱ）若f?3??5，求a的取值范围.

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