2022年高考第一轮复习数学：8.3抛物线教案(含习题及答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

8.3 抛物线

定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

方程 1.y 2=2px （p ≠0），焦点是F （

2

p ，0） 2.x 2=2py （p ≠0），焦点是F （0，2p ） 性质 S ：y 2=2px （p ＞0）

1.范围：x ≥0

2.对称性：关于x 轴对称

3.顶点：原点O

4.离心率：e =1

5.准线：x =－2

p 6.焦半径P （x ，y ）∈S ，|PF |=x +

2p 对于抛物线x 2=2py （p ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？

●点击双基

1.（2004年春季北京）在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为

A.

2

1 B.1 C.

2 D.4 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p =5，解得P =2. 答案：C

2.设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为

A.（a ，0）

B.（0，a ）

C.（0，a

161） D.随a 符号而定 解析：化为标准方程.

答案：C

3.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为

A.相交

B.相离

C.相切

D.不确定

解析：利用抛物线的定义.

答案：C

4.以椭圆252

x +16

2y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.

解析：中心为（0，0），左准线为x =－

325，所求抛物线方程为y 2=3

100 x .又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－3

50）. ∴|AB |=3

100. 答案：3100 5.（2002年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件.

答案：②⑤

●典例剖析

【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x －2y －4=0上.

剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.

解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0），

∵过点（－3，2），

∴4=－2p （－3）或9=2p ·2.

∴p =32或p =4

9. ∴所求的抛物线方程为y 2=－

34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－8

9. （2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4，

∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.

当焦点为（4，0）时，2

p =4， ∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ； 焦点为（0，－2）时，

2p =2， ∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .

∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2. 评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.

【例2】如下图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|NB |=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.

A

B

N M l l 1

2

剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围.

解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.

设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0）（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p =|MN |，

所以M （－2p ，0） 、N （2

p ，0）. 由|AM |=17，|AN |=3，得

（x A +

2p ）2+2px A =17， ①

（x A －

2p ）2+2px A =9. ②

①②联立解得x A =p

4，代入①式，并由p >0， p =4， p =2， x A =1 x A =2.

因为△AMN 为锐角三角形，所以

2p >x A . P =2， P =4， x A =2. x A =1.

由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2

p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.

评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.

【例3】 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .

剖析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决. 解得 或 故舍去 所以

证法一：设AB ：x =my +2p ，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0. 由韦达定理，得y A y B =－p 2，

即y B =－A

y p 2

. ∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2

p 上， ∴C （－

2

p ，y B ）. 则k OC =2p y B -=A y p 2=A A x y =k OA . 故直线AC 经过原点O .

证法二：如下图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .

x y

O

A B C

D

E

N F l

则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BC

NF ||=||||AB AF . ∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |，

∴|EN |=||||||AB BF AD ?=|

|||||AB BC AF ?=|NF |， 即N 是EF 的中点.从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .

评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.

思考讨论

本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.

●闯关训练

夯实基础

1.（2003年高考·新课程）设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4

π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a

21］ C.［0，|a b 2|］ D.［0，|a

b 21-|］ 解析：tan α=k =f ′（x ）=2ax +b ，

∴0≤2ax 0+b ≤1.

∴0≤x 0+a b 2≤a

21. 答案：B

2.（2004年全国Ⅰ，8）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

A.［－21，2

1］ B.［－2，2］ C.［－1，1］ D.［－4，4］

解析：∵y 2=8x ，∴Q （－2，0）（Q 为准线与x 轴的交点），设过Q 点的直线l 方程为y = k （x +2）.

∵l 与抛物线有公共点，

y 2=8x ， y =k （x +8）

即k 2x 2+（4k 2－8）+4k 2=0有解.

∴Δ=（4k 2－8）2－16k 4≥0，即k 2≤1.

∴－1≤k ≤1.

答案：C

3.（2003年春季上海）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 解析：将y =x －1代入抛物线y 2=4x ，经整理得x 2－6x +1=0.

由韦达定理得x 1+x 2=6，2

21x x +=3， 221y y +=2221-+x x =2

26-=2. ∴所求点的坐标为（3，2）.

答案：（3，2）

4.在抛物线y =4x 2上求一点，使该点到直线y =4x －5的距离最短，该点的坐标是____________.

解法一：设与y =4x －5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切，则y =4x +b 代入y =4x 2，得 4x 2－4x －b =0. ①

Δ=16+16b =0时b =－1，代入①得x =

21， ∴所求点为（2

1，1）. 解法二：设该点坐标为A （x 0，y 0），那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x －5的距离为d ，则 d =14|54|200+--y x =17

1

|－4x 02+4x 0－5| =171|4x 02－4x 0+5|=171

|4（x 0－2

1）2+1|. 当且仅当x 0=21时，d 有最小值， ∴方程组 有解，

将x 0=

2

1代入y =4x 2解得y 0=1. 故A 点坐标为（2

1，1）. 答案：（21，1） 5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程是y =ax 2+c （a ＜0），D =（6，7）为x 轴上的给定区间.

（1）为使物体落在D 内，求a 的取值范围；

（2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问它能否落在D 内？并说明理由.

解：（1）把点A 的坐标（0，9）代入y =ax 2+c 得c =9，即运动物体的轨迹方程为y =ax 2+9. 令y =0，得ax 2+9=0，即x 2=－a

9. 若物体落在D 内，应有6＜a 9-

＜7， 解得－41＜a ＜－49

9. （2）若运动物体又经过点P （2，8.1）， 则8.1=4a +9，解得a =－

409， ∴－41＜－409＜－49

9， ∴运动物体能落在D 内.

6.正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y =x +4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积.

解：设CD 所在直线的方程为y =x +t ，

y =x +t ， y 2=x ，

x 2+（2t －1）x +t 2=0，

∴｜CD ｜＝]4)21[(222t t --

＝)41(2t -.

又直线AB 与CD 间距离为｜AD ｜＝

2|4|-t ， ∵｜AD ｜＝｜CD ｜，

∴t =－2或－6. ∵ 消去y 得

从而边长为32或52.

面积S 1＝（32）2＝18，S 2=（52）2=50.

培养能力

7.给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜P A ｜=d ，试求d 的最小值.

解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，

∴d =｜P A ｜=2020)(y a x +- =0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x .

∵a ＞0，x 0≥0，

∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0，

此时有x 0=0时，

d min =12)1(2-+-a a =a .

（2）当a ≥1时，1－a ≤0，

此时有x 0=a －1时，

d min =12-a .

8.过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的弦AB ，点A 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、B 1，求∠A 1FB 1.

解：由抛物线定义及平行线性质知∠A 1FB 1=180°－（∠AF A 1+∠BFB 1）

=180°－

21（180°－∠A 1AF ）－21（180°－∠B 1BF ） =2

1（∠A 1AF +∠B 1BF ）=90°. 探究创新

9.（2003年春季北京）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.

（1）求动圆圆心的轨迹M 的方程； （2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.

①问△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由.

②当△ABC 为钝角三角形时，求这时点C 的纵坐标的取值范围.

解：（1）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x ，如下图.

（2）①由题意得，直线AB的方程为y=－3（x－1）.

=－3（x－1），

y2=4x，

解得A（

3

1

，

3

3

2

），B（3，－23），

若△ABC能为正三角形，

设C（－1，y），则|AC|=|AB|=|BC|，

（

3

1

+1）2+（

3

3

2

－y）2=（3－

3

1

）2+（23+

3

3

2

）2，①

（3+1）2+（23+y）2=（3－

3

1

）2+（23+

3

3

2

）2. ②

解得y=－

9

3

14

.

但y=－

9

3

14

不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△

ABC是正三角形.

②设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由

y=－3（x－1），

x=－1，

即当点C的坐标为（－1，23）时，A、B、C三点共线，故y≠23.

又|AC|2=（－1－

3

1

）2+（y－

3

3

2

）2=

9

28

－

3

3

4y

+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+23）2=28+43y+y2，

|AB|2=（

3

16

）2=

9

256

.

当|BC|2＞|AC|2+|AB|2，

即28+43y+y2＞

9

28

－

3

3

4

y+y2+

9

256

，

即y＞

9

2

3时，∠CAB为钝角.

当|AC|2＞|BC|2+|AB|2，

即

9

28

－

3

3

4

y+y2＞28+43y+y2+

9

256

，

由消去y，得3x2－10x+3=0.

∴

得y=23，

即y ＜－310

3时，∠CBA 为钝角.

又|AB |2＞|AC |2+|BC |2，即

9256＞9

28－334y +y 2+28+43y +y 2，即 y 2+34

3y +34＜0，（y +3

2）2＜0. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.

因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是

y ＜－3310或y ＞9

32（y ≠23）. ●思悟小结

本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：

1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.

2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.

3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质. ●教师下载中心

教学点睛

本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点：

1.圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e =1时，表示抛物线；当e ＞1时，表示双曲线.

2.由于抛物线的离心率e =1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.

3.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2

p 等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.

4.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.

5.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.

拓展题例

【例题】 （2003年北京东城区模拟题）已知抛物线C 1：y 2=4ax （a ＞0），椭圆C 以原点为中心，以抛物线C 1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为2，过抛物线C 1的焦点F 作倾斜角为4

π的直线l ，交椭圆C 于一点P （点P 在x 轴上方），交抛物线C 1于一点Q （点Q 在x 轴下方）.

（1）求点P 和Q 的坐标；

（2）将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′，使|QQ ′|=4a ，求过P 和Q ′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.

解：（1）由题意可知F （a ，0），设椭圆方程为22m x +22

n y =1（m ＞n ＞0）. n m =2， m 2=2a 2， m 2－n 2=a 2， n 2=a 2， ∴椭圆方程为222a

x +22a y =1，直线l ：y =x －a .

y =x －a ，

222a x +22a y =1， y =x －a ， y 2=4ax ， （2）将Q 点沿直线l 向上移动到Q ′点，

使|QQ ′|=4a ，则可求出Q ′点的坐标为（3a ，2a ）.

设双曲线方程为s x 2

－r

y 2=1（s ·r ＞0）. 由于P 、Q ′在双曲线上，则有

s a 2)3(－r

a 2

)2(=1， s a 2)34(－r

a 2

)31(=1. s 1=2

117a ， r 1=21113a

. ∴双曲线方程为2117a x 2－2

1113a y 2=1.

由 解得 由 可求出P （34a ，31

a ）. 由 可求出Q （

（3－22）a ，（2－22）a ）. 解得

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/tb2l.html