线性代数第五章（答案）

第五章 相似矩阵及二次型

一、 是非题（正确打√，错误打×）

1．若线性无关向量组?1,?,?r用施密特法正交化为?1,?,?r则对任何

k(1?k?r),向量组?1,?,?k与向量组?1,?,?r等价. ( √ )

2. 若向量组?1,?,?r两两正交,则?1,?,?r线性无关. ( √ )

3.n阶正交阵A的n个行(列)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基. ( √ )

4.若A和B都是正交阵,则AB也是正交阵. ( √ ) 5.若A是正交阵, y?Ax,则y?x. ( √ ) 6．若An?nxn?1?2xn?1，则2是An?n的一个特征值. ( × ) 7.方阵A的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n阶矩阵A在复数范围内有n个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A有零特征值的充要条件是A?0. ( √ ) 10.若?是A的特征值,则f(?)是f(A)的特征值(其中f(?)是?的多项式). ( √ ) 11.设?1和?2(?1??2)是A的特征值, x1和x2为对应特征向量,则x1?x2也是A的特征向量. ( × ) 12. AT与A的特征值相同. ( √ ) 13.n阶矩阵A有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P,使n阶矩阵A,B满足: PAP?1?B,则A与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n阶矩阵A,B均与对角阵相似且有相同的特征值,则A与B相似. ( √ )

17．实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若?1,?2,?,?k线性无关且都是A的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A的特征向量. ( √ )

19.实对称阵A与对角阵?相似P?1AP??，这里P必须是正交阵 。 ( × )

T20．已知A为n阶矩阵，x为n维列向量，如果A不对称，则xAx

不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ )

Tf(x,x,?,x)?xAx在正交变换x?Py下一定化为 12n22．二次型

标准型. ( × )

Tf(x,x,?,x)?xAx，总有正交变换x?Py，使f化 12n23.任给二次型

为规范型。 ( × )

二、 填空题

?1???1．向量?1??1?,求两向量?2=____,?3=____,使?1,?2,?3两两正交.

?1???11?Ans: ?2??1,0,?1?,?3????,1,??

2??2TT2.若A是正交阵,即ATA?E,则A?_____. Ans: 1或 -1

?560???3.设A???100?,则A的特征值为________. (-1 ,2, 3)

?12?1???4.n阶方阵A=(aij)的特征值为?1,?2,?,?n,则

A?_____?1??n???i______,

i?1na11?a22???ann?_____?1??2???n???i________.

i?1n5.设二阶行列式A的特征值为2,3, ?,若行列式2A??48,则

??____.(-1)

6.设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,则4A?1?E?_____,

A??3A?2E?______. Ans:-15,9

?200???7. 已知A??011?的伴随矩阵A?有一特征值为?2，则x? . ?00x???8. 若二阶矩阵A的特征值为?1和1，则A2008= . ?001???A?11x9.当x=___时,矩阵??能对角化.(-1,见教材) ?100???10.设A为2阶矩阵, ?1,?2是线性无关的二维列向量, A?1?0,

A?2?2?1??2,则A的非零特征值为_______.

提示:由 A(?1,?2)?(?1,?2)??为1.

?02??02?A??知与??01??相似, 01?????02???01??非零特征值??11、设A为正交矩阵，? 为A 阵的特征值，则 ?A?E?__________. 12、设3阶方阵A 的特征值为互不相同,若行列式A?0则A的秩为___2__

13. 二次型f?a(x1?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?x2x3经过正交变换x?Py可化为 标准型f?6y1, 则 a=__2___

2214.二次型f?x1,x2,x3??x12?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3的秩是______；

2222二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?ax3x4的秩为2，则a? . 15.已知二次型f?a(x2?y2?z2)?2xy?2xz?2yz,a的取值为__a2___时f为正定, a的取值为___a?1__时f为负定.

?x1??y1????? 16. 二次型f?2x12?3x22?3x32?4x2x3经过正交变换?x2??______?y2??x??y??3??3?化为标准形f?_______,从而f(x1,x2,x3)?1表示的曲面类型是_________.

?x1??1???Ans: ?x2???0?x??0?3??011220??y1????2221y,,椭球面 2??2?f?2y1?5y2?y3???12???y3?三、 选择题

1(A2)?11. 若n阶非奇异矩阵A的各行元素之和均为常数a，则矩阵2有

一特征值为( A ).

(A) 2a2 ； (B)?2a2 ； (C)2a?2； (D)?2a?2 . 2. 若?为四阶矩阵A的特征多项式的三重根，则A对应于?的 特征向量最多有(A )个线性无关.

(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 3.特征值一定是实数的矩阵是(B ) (A)正交矩阵 (B) 对称矩阵 (C)退化矩阵 (D) 满秩矩阵

4. 设?是矩阵A对应于其特征值?的特征向量，则其对角化矩阵

P?1AP 对应于?的特征向量为( D ).

(A)P?1?； (B)P?； (C)PT?； (D)? . 5. 若A为n阶实对称矩阵，且二次型f(x1,x2,?,xn)?xTAx正定，则下列结论不正确的是( D ) .

(A) A的特征值全为正；(B) A的一切顺序主子式全为正； (C) A的元素全为正；

(D)对一切n维列向量x，xTAx全为正. 6.下列各式中有(A )等于x12?6x1x2?3x22。

?13??x1??12??x1?(A) ?x1,x2???43????x??； (B) ?x1,x2??23??x?；

???2????2?

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