4极值原理与最大模估计

§4极值原理与最大模估计

4．1弱极值原理

从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于M的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”.

记Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T},Q的侧边与底边统称为Q的抛物边界,记为?或

(x,t):x??,t?0?,Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T}, ?pQ,?????(0,T)??C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

1C2，(Q)?{u|u,ut,ux,uxx?C(Q)},

我们将考虑热传导方程

Lu?ut?a2uxx?f(x,t), （4.1）

从第一节我们知道,如果f(x,t)?0,则称杆内有热源；如果f(x,t)?0,则表示杆内有冷源,或称为热汇.

定理4.1（弱极值原理）设u?C2，1(Q)?C(Q),且满足Lu?f(x,t)?0,则u在Q上的最

大值必在Q的抛物边界?上达到,即

maxu(x,t)?maxu(x,t) （4.2）

Q?证明 先设f(x,t)?0,则我们断言u必不能在Q内达到最大值.u在Q上连续,有最大值,必在

?上达到,若不然,设在某点P0(x0,t0)?Q,使得

u(x0,t0)?maxu(x,t),

Q?u则

?xP0?0,?2u?x2P0?0,?0,?0,

当t0?T 当t0?T

?u?t?u?tP0P0 1

2??u2?u?因此f(x0,t0)????t?a?x2??P0?0,这与f(x,t)?0的假设矛盾,因而u必不能在Q内达??到最大值.maxu(x,t)?maxu(x,t).

Q?现在考虑一般的情况,即f(x,t)?0,我们设法将它归结为前面已证的情况. 为此,对于任意??0,考虑辅助函数

v(x,t)?u(x,t)??t,

简单计算可得

Lv?Lu???f???0,

应用已证的断言,v一定不能在Q内达到最大值,（v在?上达到最大值） 则有 maxv(x,t)?maxv(x,t)

Q?max?u(x,t)??t??max?u(x,t)??t?

Q?令??0,得

maxu(x,t)?maxu(x,t)

Q?推论 设u?C即

2，1(Q)?C(Q),且满足Lu?f(x,t)?0,则u在Q上的最小值必在?上达到,

minu(x,t)?minu(x,t) （4.3）

Q?如果Lu?0,则u在Q上的最大值与最小值都必在抛物边界?上达到,即

maxu(x,t)?maxu(x,t), minu(x,t)?minu(x,t),

Q?Q?max(?u)?max(?u),

Q?maxu?maxu .

Q?证明 令v??u,则Lv??Lu??f?0,利用定理4.1,则

max(?u(x,t))?max(?u(x,t))

Q?由此即得minu(x,t)?minu(x,t),

Q?如果Lu?0,则有

maxu(x,t)?maxu(x,t),minu(x,t)?minu(x,t),max(?u(x,t))?max(?u(x,t)),

Q?Q?Q? 2

于是有

maxu?maxu

Q?附注 这里我们注意两种不同的说法：“必在抛物边界上达到”与“除恒为常数外不能在Q内（包括t?T）达到”的区别,后者的结论更强.由于我们定理的结论属于前者,因此称为弱极值原理.

我们还可以讨论稍一般的方程

Lu?ut?a2uxx?b(x,t)ux?c(x,t)u?f(x,t), （4.4）

1定理4.2 设c(x,t)?0,又设u?C2，(Q)?C(Q),且满足Lu?0,则u在Q上的非负最大

值必在抛物边界?上达到（如果存在的话）,即

maxu(x,t)?maxu(x,t) （4.3）

Q??其中u(x,t)?max{u(x,t),0}.

证明 （1）先设Lu?0,则我们断言u的非负最大值必不能在Q内达到.如不然,设在某点

?P0(x0,t0)?Q,使得

u(x0,t0)?maxu(x,t)?0,

Q?u则

?x因此LuP0P0?0,?2u?x2P0?0,?u?tP0?0,

?(ut?a2uxx?b(x,t)ux?c(x,t)u)P0?0这与Lu?0的假设矛盾,因而u必不

?Q?能在Q内达到非负最大值,maxu(x,t)?maxu(x,t).

（2）现在考虑一般的情况,即Lu?0,我们设法将它归结为前面已证的情况. 为此,对于任意??0,考虑辅助函数

v?(x,t)?u(x,t)??t,

简单计算可得

Lv??Lu??t?c?t?0,

应用已证的断言,v?一定不能在Q内达到非负最大值,则有 maxv?(x,t)?maxv?(x,t)

Q??即 max?u(x,t)??t??max?u(x,t)??t?

?Q?令??0,则有

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maxu(x,t)?maxu?(x,t)

Q?1推论 设c(x,t)?0,又设u?C2，(Q)?C(Q),且满足Lu?0,则u在Q上的非正最小值必

在抛物边界?上达到（如果存在的话）,即

minu(x,t)?minu(x,t)

Q??其中u?(x,t)?min{u(x,t),0}. 如果在Q内Lu?0,那么

maxu(x,t)?maxu(x,t).

Q?附注 当c(x,t)?0的条件放宽为c(x,t)??c0,(c0?0),上面形式的极值原理不再成立. 例如 对Lu?ut?uxx?3u,u?etsinx,x?(0,?),0?t?T,

Lu?L(etsinx)?etsinx?etsinx?3etsinx??etsinx?0,

显然ux?0?0,ux???0ut?0?sinx,

???u(x,t)的非负最大值在?，T?处达到非负最大值.

?2?但我们有

定理 4.3 设c(x,t)??c0?1,其中c0为正常数,又设u?C2，(Q)?C(Q)且满足

Lu?f?0,那么如果maxu(x,t)?0,必有maxu(x,t)?0

Q证明 令v(x,t)?e?c0tu(x,t).容易验证v(x,t)满足方程

vt?a2vxx?bvx?(c(x,t)?c0)v?fe?c0t?0,

由于此时有c(x,t)?c0?0,应用定理4.2,我们有

maxv(x,t)?maxv?(x,t)?maxe?c0tu?(x,t)?0

Q??因此v(x,t)?0,从而在Q上u(x,t)?0.

推论（比较原理） 设c(x,t)??c0(c0?0),又设u,v?C2，1(Q)?C(Q),且有

Lu?Lv,u??v?,则在Q上u(x,t)?v(x,t).

证明 只须令w(x,t)?u(x,t)?v(x,t),由u,v的条件,显然有

4

Lw?L(u?v)?Lu?Lv?0,w??(u?v)??0,

由定理4.3,得w(x,t)?0,(x,t)?Q于是u(x,t)?v(x,t),(x,t)?Q.

4.2第一边值问题解的最大模估计

考虑第一边值问题

?Lu?ut?a2uxx?f,(x,t)?Q? （4.5） 0?x?l,?ut?0??(x),?ux?l?g2(t),0?t?T?ux?0?g1(t),1定理4.4 设u?C2，(Q)?C(Q)是问题（4.5）的解,则

maxu?FT?B, （4.6）

Q其中F?supf,B?max{sup?,supg1,supg2.

Q[0,l][0,T][0,T]证明 考虑辅助函数w(x,t)?Ft?B?u(x,t),易知Lw?F?Lu?F?f?0,在?上

w??(B?u)??0,

由弱极值原理,w在Q上的最小值必在?上达到,即

minw?minw?0,

Q?于是 w?0,(x,t)?Q, ?u(x,t)?Ft?B

故maxu?FT?B.

Q推论1 问题（4.5）在C2，1(Q)?C(Q)中的解是唯一的.

证明 设u1,u2是（4.5）的两个解,令w?u1?u2,则w满足

?Lw?wt?a2wxx?0? ?wt?0?0,?wx?l?0?wx?0?0, 5

此时F?0,B?0.

maxw?FT?B?0,w?0,w?0,u1?u2.

Q1推论2 问题（4.5）在C2，(Q)?C(Q)中的解连续依赖于非齐次项f,初值?与边值g1,g2.

u(x,t)?u(x,t;f,?,g1,g2),

~,g~(x,t)?u~(x,t;~~,g~), uf,?12~?supg?g~(x,t)?Tsupf?~~?supg?g~. u(x,t)?uf?sup???1122Q[0,l][0,T][0,T]由此可以看出,最大模估计就蕴涵着解的唯一性与稳定性,因此以后我们不再重复这些讨论. 现在考虑稍一般的方程的第一边值问题

?Lu?ut?a2uxx?bux?cu?f,(x,t)?Q? （4.7） 0?x?l,?ut?0??(x),??ux?0?g1(t),ux?l?g2(t),0?t?T1定理 4.5 设c(x,t)??c0(c0?0),又设u?C2，(Q)?C(Q)是问题（4.7）的解,则

maxu?eQc0T(FT?B), （4.8）

其中F,B的定义如定理4.4中. 证明 令v(x,t)?e0(Ft?B),则

ctLv?ec0t?F?(c(x,t)?c0)(Ft?B)?,

?ec0tF?F??f??Lu?L(?u),同时v??B?(?u)?.

由比较原理,在Q上v??u,由此可得（4.8）.

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此时F?0,B?0.

maxw?FT?B?0,w?0,w?0,u1?u2.

Q1推论2 问题（4.5）在C2，(Q)?C(Q)中的解连续依赖于非齐次项f,初值?与边值g1,g2.

u(x,t)?u(x,t;f,?,g1,g2),

~,g~(x,t)?u~(x,t;~~,g~), uf,?12~?supg?g~(x,t)?Tsupf?~~?supg?g~. u(x,t)?uf?sup???1122Q[0,l][0,T][0,T]由此可以看出,最大模估计就蕴涵着解的唯一性与稳定性,因此以后我们不再重复这些讨论. 现在考虑稍一般的方程的第一边值问题

?Lu?ut?a2uxx?bux?cu?f,(x,t)?Q? （4.7） 0?x?l,?ut?0??(x),??ux?0?g1(t),ux?l?g2(t),0?t?T1定理 4.5 设c(x,t)??c0(c0?0),又设u?C2，(Q)?C(Q)是问题（4.7）的解,则

maxu?eQc0T(FT?B), （4.8）

其中F,B的定义如定理4.4中. 证明 令v(x,t)?e0(Ft?B),则

ctLv?ec0t?F?(c(x,t)?c0)(Ft?B)?,

?ec0tF?F??f??Lu?L(?u),同时v??B?(?u)?.

由比较原理,在Q上v??u,由此可得（4.8）.

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