数学建模（模型）概述（上）

教 案

课题 名称 第一节 数学建模(模型)概述（上） 进 度 时 数 2 教学目标 应知应会重点难点本课程主要内容、学习目标、学习方法 数学建模的基本概念 简单数学模型的分析 数学模型概念的理解 数学模型的建立 讲授 教学教学资源 内容 教材 教具 时间分配 30’ 15’ 45’ 教材分析教学方法 一、数学模型的概念 二、一个简单的数学模型实例 实例分析、求解 第一节 数学建模(模型)概述 教学后记作业

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内容 备 注 第5章 数学建模简介 最近几十年，随着各种科学技术尤其是计算机技术的发展，数学正以其神奇的魅力进入各种领域。它的功效显著，其解决问题的卓越能力甚至使它渗透到一些非物理领域，诸如交通、生态、社会学等。数学作为一种“技术”，日益受到人们的重视。 在新的形式下，大学的数学教学也面临着改革。为了使毕业生尽快地适应工作岗位，能够较好地解决各种实际问题，数学课程的设置不能仅仅只为了教会学生们一些数学的定理和方法，更重要的是，要教会他们怎样运用手中的数学武器去解决实际中的问题，这便是数学建模这门课程的目的。作为一门新型的学科，数学建模正日益焕发出其独特的魅力。 第一节 数学建模(模型)概述 我们以及我们这个世界太需要数学了，但我们往往视而不见。自人类萌发了认识自然之念、幻想着改造自然之时，数学便一直成为人们手中的有力武器。牛顿的万有引力定律、伽利略发明的望远镜让世界震惊，其关键的理论工具竟是数学。然而，社会的发展使数学日益脱离自然的轨道，逐渐发展成高深莫测的“专项技巧”。数学被神化，向时，又被束之高阁。 近半个世纪以来，数学的形象有了很大的变化。数学已不再单纯是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等人手中的神秘武器，它越来越深入地应用到各行各业之中，几乎在人类社会生活的每个角落都在展示它的无穷威力。这一点尤其表现在生物、政治、经济以及军事等数学应用的非传统领域。数学不再仅仅作为一种工具和手段，而日益成为一种“技术”参与到实际问题中。近年来，随着计算机的不断发展，数学的应用更得到突飞猛进的发展。 利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型，然后才能在此模型的基础上对实际问题进行理论求解、分析和研究。需要指出的是，虽然数学在解决实际问题时会起到关键的作用，但数学模型的建立却要符合实际的情况。如果建立的模型本身与实际问题相差甚远，那么，即使在理论分析中采用怎样巧妙的数学处理，所得到的结果也会与实际情况不符。因此，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。 一 数学模型概念 或许我们对客观实际中的模型并不陌生。敌对双方在某地区作战时，都务必要有这个地区的主体作战地形模型；在采煤开矿或打井时，我 2

们需要描绘本地区地质结构的地质图；出差或旅游到外地，总要买一张注明城市中各种地名及交通路线的交通图；编计算机程序，往往要先画框图。我们看到，这些图都能简单又很明了地说明我们所需要的事物的特性，从而帮助我们顺利地解决各种实际问题。 模型在我们的生活中也是无处不在的。进入科技展厅，我们会看到水电站模型、人造卫星模型；游逛魔幻城，我们会面对各种几乎逼真的模拟物惊诧万分；为了留念，我们会同美丽的风景一起留在照片上。还有各种动物或飞机、汽车等儿童玩具，这些以不同方式被缩小了的客观事物都是我们生活中极平常的模型。 一般地说，模型是我们所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中我们关心和需要的主要特性。 当然，数学模型较以上实物模型或形象模型复杂和抽象得多，它是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息(现象、数据等)加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界中。最后，这些推论或结论必须经受实际的检验，完成实践——理论——实践这一循环（如图5—1）。如果检验的结果是正确的，即可用来指导实际，否则，要重新考虑翻译、归纳的过程，修改数学模型。 翻译、归纳 现实世界的信息 数学模型 检验 演绎、 推理 现实世界的分析、解释 预报、决策或控制 图5—1 数学的分析、预报、决策或控制 作为一种数学思考方法，数学模型是对现实的对象通过心智活动构造出的一种能抓住其重要而且有用的(常常是形象化的或者是符号的)表示。更具体地，它是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 二 一个简单的数学模型实例 一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里(见图5—2)。交 3

通警察立即赶到了事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车失灵。他还一口咬定，进入弯道时其车速为40英里／小时(该路的速度上限，约合17．92米／秒)。警察验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而，司机所说的车速是否真实呢? 现在，让我们帮警察来计算一下司机所报车速的真实性。 连接刹车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向走出的距离，用y表示竖直的距离(如图5—3)。表5—1给出了外侧刹车痕迹的有关值。 图 5—3 图 5—2 表5—1 单位：米 x 0 3 6 9 12 15 16.64 18 21 24 27 30 33.27 y 0 1.19 2.15 2.82 3.28 3.53 3.55 3.54 3.31 表

2.89 2.22 1.29 0 经过勘测还发现，该车并没有偏离它行驶的转弯曲线，也就是说车头一直指向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。假定摩擦力作用在汽车速度的法线方向上，设汽车的速度v是个常数。显然，摩擦力提供了向心力，设摩擦系数为?，则 ?mg?mv2r （5-1） 其中m为汽车质量。由上式易得 v??gr 如何计算圆周半径r?假设已知弦的长度为c，弓形的高度为h(见图5—4)，由勾股定理知 4

r2?r?h?2 图 5—4 由表5-1代入近似的数据c?33.27和h?3.55得 r?40.75米 根据实际路面与汽车轮胎的情况，可以测出摩擦系数?。实际测试得到 ?g?8.175 米/秒2 将此结果代入(5—1)式，得到 v?18.25米/秒 此结果比司机所报速度(17．92米／秒)略大。但是，我们不得不考虑计算半径r及测试时的误差。如果误差允许在10％以内，无疑，计算结果对汽车司机是有利的。 5

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