2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题08_概率统计

专题8 概率统计

【课标要求】 1.课程目标

(1)通过概率学习，使学生在具体情景中了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，了解概率的某些基本性质和简单的概率模型.

(2)通过统计学习，使学生了解抽样的操作步骤、统计分析的基本流程、变量的相关性分析、线性回归的基本方法；使学生了解用样本估计总体及其特征的思想. 2.复习要求

(1)随机抽样

在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法. (2)用样本估计总体

①在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.

②理解样本数据平均值和方差的意义和作用，学会计算平均值、方差和标准差. (3)变量的相关性

①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. (4)概率

①理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

②理解几何概型的概率计算公式，了解测度的简单含义，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题；

③了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论并会计算. 3.复习建议

(1)概率、统计部分除了“总体特征数的估计”和“古典概型”是B级要求外，其余均为A级要求. (2)概率在160分卷中主要以古典概型和几何概型为主兼顾互斥事件、对立事件等公式的运用.由于没有计数原理的支撑，概率很难再出现解答题，在利用等可能事件的概率公式计算概率时,计数的方法局限于枚举法.几何概型的计算应抓住其直观性较强的特点.

(3)概率复习应着重基础知识和基本概念，理解概率计算的基本思想，注意书写的完整性和规范性,尤其要关注几何概型（以二维为主）.

(4)统计与统计案例的教学课时不少，又是应用能力考查的重要载体，所以统计问题只在小题中出现的状况有可能改变，09年山东和广州高考卷中，在解答题中都出现了统计的内容.这样文理合卷的解答题中少了概率，多了统计，这也是一种平衡.

(5)在附加卷中依然要注意考查概率的知识，复习时应重视数学思想方法的渗透.应注意培养学生善于从普通语言中捕捉信息、将普通语言转化为数学语言的能力，使学生能以数学语言为工具进行数学思维与数学交流. 【典型例题】

例1(填空题)

(1)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的 概率为________.

解析:因为(m ni)(n mi) 2mn (n2 m2)i为实数，

61 . 6 66

(2)现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为_______.

解析: 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.

所以n2 m2故m n则可以取1、2 6，共6种可能，所以P

(3)在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率 ．

解析：P

12

4 4

16

．

(4)在区间[

,]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为_____． 222

1

1

时，在区间[ ,]上，只有 x 或 x ，

22232321

根据几何概型的计算方法，这个概率值是．

3

解析：当0 cosx

(5)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运

动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员每次投篮命中的概率约为___________．

解析:由随机数可估算出每次投篮命中的概率p

242 ． 605

(6)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采 用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高 三学生的人数为_______．

解析: 高三学生的人数为n

200

500 50． 2000

(7)地区为了解70 80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50 位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 在上述统计数分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S_____________．

的值为

解析:由流程图

S G1F1 G2F2 G3F3 G4F4 G5F5

4.5 0.12 5.5 0.20 6.5 0.40 7.5 0.2 8.5 0.08 6.42

(8)已知总体的各个体的值依次为2，3，3，7，a，b，12，137，183，20，且总体 的中位数为105．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是_________．

解析: 根据总体方差的定义知，只需且必须a 10.5,b 10.5时，方差最小． (9)一般来说，一个人脚越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚长x与身 高y进行测量,得如下数据(单位:cm): 画出散点散点在一近，经计算

图后,发现条直线附得到数据：x 24.5,y 171.5,

(x

i 1

10

i

x)(yi y) 577.5, (xi x)2 82.5．某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长

i 1

10

265cm,请你估计案发嫌疑人的身高为 cm．

解析：据线性回归方程的系数公式b

(x

i 1

n

n

i

x)(yi y)

7，

i

(x

i 1

x)2

a y bx 171.5 7 24.5 0，所以y 7x 7 26.5 185.5．

L

(10)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1,x2},{y1,y2}，其中2 2列

联表如右；对于以下数据：①a 5,b 4,c 3,d 2②a 5,b 3,c 4,d 2；③a 2,b 3,c 4,d 5；④a 2,b 3,c 5,d 4,对同一样本能说明X和Y有关的可能性最大一组为_____________．（填序号）

解析：利用

2

n(ad bc)2

，由题设数据，只要使 2最大即可，∴填④．

(a b)(c d)(a c)(b d)

例2已知函数：f(x) x bx c，其中：0 b 4,0 c 4，记函数f(x)满足

2

f(2) 12

的事件为A，求事件A发生的概率．

f( 1) 3

解：由

f(2) 12 2b c 8

，可得 ，知满足事件A的区域的面积为：

f( 1) 3b c 2

11

S(a) 16 2 2 2 4 10，而满足所有条件的区域 的面积S( ) 16

22

S(a)105

从而得P(A) ．

S( )168

例3某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是019．

(1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名； (3)已知y 245，z 245,求初三年级中女生比男生多的概率．

解:(1)

x

0.19 ∴ x 380． 2000

(2)初三年级人数为y z 2000-(373+377+380+370)=500，用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：

48

500 12名． 2000

(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为(y,z)；由(2)知 y z 500，且y,z N,共有基本事件11个．即(245,255),(246,254), (255,245) 事件A包含5个基本事件(251,249),(252,248),(253,247),(245,246),(255,245)． 所以女生比男生多的概率为P(A)

5. 11

例4(2009山东卷文)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型有标准型两种型号，某月的

辆． (1)求z的值；

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总 体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:

94,86,92,96,87,93,90,82,把这

8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差

的绝对值不超过

05的概率．

解:(1)设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得:

5010

,

n100 300

所以n 2000,则z 2000 (100 300) 150 450 600 400．

400a

,得a 2,因此抽取的容量为5的样本中,有210005

辆舒适型轿车,3辆标准型轿车．用A1,A2表示2辆舒适型轿车,用B1,B2,B3表示3辆标准型轿车,用E表

(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,由题意:

示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,则基本事件空间包含的基本事件有:

(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),

(A2,B2),(A2,B3), (B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个，

事件E包含的基本事件有:

(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共7个，

77

故P(E) ，即所求概率为．

1010

1

(3)样本平均数x (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 9,

8

设D表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过05”,则基本事件空间中有8个基本事件,事件D包括的基本事件有:94,86,92,87,93,90,共6个,所以P(D)

633 ,即所求概率为.

484

例5在半径为１的圆围上随机取三点A,B,C，求 ABC为锐角三角形的概率． 解：设 ABC为锐角三角形的事件为Z

0 x 2

AmB x, AnC y则 0 y 2 如图，设 ，

0 x y 2

作出 x,y 的区域Ｄ如右图，若 ABC为锐角三角形则

0 x

0 y x y 2

Sd1 ． SD4

作出 x,y 的区域d如右图影阴部分,所以 ABC为锐角三角形的概率P(Z)

例6在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据， 将数据分组如右表：

(1)在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图； (2)估计纤度落在[1.381.50)，中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？

(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（如区间[1.30，1.34)的中点值是

1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．

解：

1.50 中的概率约为0.30 0.29 0.10 0.69， (2)纤度落在 1.38，

纤度小于140的概率约为0.04 0.25

(3)总体数据的期望约为

样本数据

1

0.30 0.44． 2

1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088

【新题备选】

1.已知一组抛物线y

12

其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个ax bx 1，

2

数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x 1交点处的切线相互平行的概率是___________．

解：共有4×4=16条抛物线，这些抛物线中任意抽取两条共有

16 15

120种， 2

∵y' ax b，∴它们在与直线x 1交点处的切线相互平行的抛物线符合a b相等．

当a b 5时，有1种；即2 3 4 1

当a b 7时，有3种；当a b 9时，有6种； 当a b 11时，有3种；当a b 13时，有1种．

∴P

1 3 6 3 17

．

12060

2.已知集合A 4, 2,0,1,3,5 ，在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标x A,y A计算：(1)

x 0

点M正好在第二象限的概率；(2)点M不在x轴上的概率； (3)点M正好落在区域 y 0内的概率．

x y 6

解：满足条件的M点共有6 6 36个

(1)正好在第二象限的点有( 4,1),( 4,3),( 4,5),( 2,1),( 2,3),( 2,5)， 61． 故点M正好在第二象限的概率P 1

366

(2)在x轴上的点有( 4,0),( 2,0),(0,0),(1,0),(3,0),(5,0)， 故点M不在x轴上的概率P2 1 6 5．

366

(3)在所给区域内的点有 1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,1 , 3,3 , 5,1 故点M在所给区域上的概率P3

61

答:略. 366

3.设有一个4 4网格，其各个最小的正方形的边长为4cm，现用直径为2cm的硬币

投掷到此网格上,设每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点

(1)求硬币落下后完全在最大的正方形内的概率； (2)求硬币落下后与网格线没有公共点的概率．

解：考虑圆心的运动情况．

(1)因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公共点，所以圆心的最大限度为原正方

2

形向外再扩张1个小圆半径的区域，且四角为四分之圆弧；此时总面积为：16×16＋4×16×1＋π×1=320＋π；完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，其面积为：14×14=196；

196

；

320

(2)每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方形的内部，一共有16个小

2

正方形，总面积有：16×2=64；

64

故硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：P ．答略

320

4.若连续掷三次骰子，分别得到的点数为a,b,c作为三角形三条边的长度，求能组成三角形的概率． 解：基本事件有6 6 6 216种．三边相等有6种；二边相等有21 3 63

6 63 4237

． 种；三边不等有7 6 42．∴组成三角形的概率为

21672

【专题训练】 一、填空题

1．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验产

品的质量.现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 , ， 辆．

2．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现一次正面一次反面的概率为 ． 3．某暗盒中有大小相同的小球，一红两白，甲、乙依次从中各摸出一个（甲摸出后

故硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：P

放回），则甲、乙摸到的球颜色不同的概率为 ．

4．已知集合A x| 1 x 5 ,B x|

x 2

0 ，在集合A任取一个元素x，则 3 x

事件“x A B”的概率是 ．

5．在袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外 完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 __．

6．如图6是两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图，从图中可以看出 的水平更高.

7．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的

数量产品数量的分组区间为 45,55 ， 55,65 , 65,75 , 75,85 ， 85,95 由此得到频率分布直方图如图7，则这20名工人中一天生产该产品数量在 55,75 的人数是_______．

甲 乙48236

6

22458125678

21356

图6 图7

8．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

2

则以上两组数据的方差中较小的一个为s=_______．3x2 7， ，3xn 7的平均数为22，标准差为36，数据 9．已知一组数据3x1 7，

x1，x2， ，xn的平均数与标准差分别为 ， ．

10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、

2 和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．

11．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可 以构成三角形的概率是 ．

12．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷 三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为 ．

13．假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家,你

父亲离家去工作的时间在早上7:00～8:00之间,则你父亲在离家前能得到报纸的概率是 ．

14．在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)

13

x ax在区间[－1，1] 2

上有且仅有一个零点的概率为 ． 二、解答题

15．某热水瓶胆生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二 级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：

(1)2件都是一级品的概率； (2)至少有一件二级品的概率．

16．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题：

(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002， ，799，试写出第二组第一位学生的编号；

(2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图； (3)若成绩在85.5 95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的约多少人？ 17．袋中有1个白球，2个黄球，问

(1)从中一次性地随机摸出2个球，都是黄球的概率是多少？

(2)先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率是多少？ (3)先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次都是黄球的概率是多少？ 18．栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成 苗的概率分别为06，05，移栽后成活的概率分别为07，09．

(1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；

(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率． 19．已知关于x的一元二次函数f(x) ax 4bx 1.

(1)设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一 个数作为a和b，求函数y f(x)在区间[1, )上是增函数的概率；

2

x y 8 0

(2)设点（a，b）是区域 x 0内的随机点，求函数y f(x)在区间[1, )

y 0

上是增函数的概率.

20．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对 他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩．

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；

(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理

a bx

建议．数据 xi,yi i 1,2, ,n 的线性回归方程为y

n

xi xyi y

i 1 b2 n

参考公式：

x x i

i 1

a

【专题训练参考答案】

14132

3. 4. 5. 6.乙 7.13 8. 2965101177

9.5，12 10. 11.0.75 12. 13. 14.

881436

32

解析1:f x x a，∵a 0，∴f x 在 1,1 上为增函数．

2

0 a 1

0 a 1 0 a 1 0 b 1 0 b 1 0 b 1 7 1

，作出图象易知P ． a b 0

8 f 1 0 2 2a 2b 1 0

1 a b 0 f 1 0 2a 2b 1 0 2

13

解析2:函数f(x) x ax b在区间[ 1,1]上有且仅有一个零点,

2

1212

所以f( 1)f(1) 0,即b (a ),也就是b a ,

22

1.16、30、10 2.

0 a 1

故a,b满足 0 b 1

1 a b 0 2

图中阴影部分的面积为S1 1 所以,函数f(x)

1117

2228

S713

x ax b在区间[ 1,1]上有且仅 有一个零点的概率为P 1 2S8

28

． 45

15解:(1)设2件都是一级品为事件A．从10件产品中抽取2件，共有45个基本事件， 且都是等可能的．而事件A的结果（即包含的基本事件数）有28种， ∴2件都是一级品的概率为P(A)=

(2)设至少有一件二级品为事件B，则B是两个互斥事件“抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（记为B2）”的和．而P(B1）=16117

．

45454517

∴至少有一件二级品的概率为．

45

161，P(B2)=， ∴4545

P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+ P(B2)=

16解: (1)编号为016； (2)

频率 组距

(3)在被抽到的学生中获二奖的人数是9+7=16人，占样本的比例是

16

0.32，即获二等奖的概率约为50

32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%=256人。 答：获二等奖的大约有256人。

17解:(1)从袋中一次性地摸出2个球，作为一次实验，此实验就此一步，从袋中一次性地 摸出2个球的结果总数为3，都是黄球的结果数为1，所以概率为

1． 3

(2)先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，作为一次实验，此实验分为两步，第一 步为：从袋中摸出一球，第二步为：再从剩下的球中摸出一球． 法一：画树状图． 黄(白，黄)

白

黄(白，黄)

白(黄，白) 开始 黄

黄(黄，黄)

白(黄，白)

黄 黄(黄，黄)

由树状图可看出，总结果数为6

，两次都是黄球的结果数为2， 所以两次都是黄球的概率为

21 ． 63

2

，当第一步摸出了黄球时，剩下的两个球为1个白球，1个3

1

黄球，所以此时第二步再从剩下的两个球中摸出一个黄球的概率为,所以两次都是黄球的概率为

2

211 ． 323

2

(3)法一：因为每次摸球都是从三个球中摸出一个，所以每次摸黄球的概率都为，二次

3

224

都摸到黄球的概率为 ．

339

法二：第一步从袋中摸出一个黄球的概率为

法二：每次摸球的结果都是3，对于第一次的每个结果，第二次都有3个结果与之对应，所以两次摸球的结果总数为两次结果的乘积3 3 9，每次摸黄球的结果数都为2，所以两次都摸到黄球的结果数为

4

2 2 4，概率为．

9

18解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件A1,A2；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件

B1,B2,P(A1) 0.6,P(A2) 0.5,P(B1) 0.7,P(B2) 0.9．

(1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为

P(A1 A2) 1 P(A1 A2) 1 0.4 0.5 0.8

；

(2)解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A,B，

则P(A) P(A1B1) 0.42，P(B) P(A2B2) 0.45．恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为

P(AB AB) 0.42 0.55 0.58 0.45 0.492．

解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为

P(A1B1A2 A1B1A2B2 A1A2B2 A1A2B1B2) 0.492

2

19解:(1)∵函数f(x) ax 4bx 1的图象的对称轴为x 要使f(x) ax 4bx 1在区间[1, )上为增函数，

2

2b, a

2b

1,即2b a a

若a=1则b=－1；若a=2则b=－1，1；若a=3则b=－1，1；

当且仅当a>0且

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概率为(2)由(1)知当且仅当2b a且a>0时，

51 153

[1, )上为增函数， 函数f(x) ax 4bx 1在区是间

2

a b 8 0

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 (a,b) a 0 构成所求事件的区域为三角形部分.

b 0

a b 8 0

168

由 得交点坐标为(,), a

33b 2

18 8

3 1 ∴所求事件的概率为P 213 8 82

12 17 17 8 8 12

20解:(1)x 100 100；

7

6 9 8 4 4 1 699425022

， ==142， S物理=y 100 100； S数学

777

从而S数学 S物理，所以物理成绩更稳定.

2

2

(2)由于x与y之间具有线性相关关系， b

497

100 0.5 100 50， 0.5,a

994

线性回归方程为y 0.5x 50.当y 115时，x 130.

【专题训练】(理科内容) 一、填空题

1. 设随机事件A、B，P(A)

111

,P(B) ,P(B|A) ，则P(A|B)232

2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球.从中同时取出2个，则其中含红 球个数的数学期望是 （用数字作答）.

3.在某项测量中，测量结果 服从正态分布N(1， )( 0)．若 在(0，1)内取值的 概率为0.4，则 在(0，2)内取值的概率为 ．

4.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下

球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则P(X 12) ____________________（只需列式，不需计算结果）

5.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败， 一年后将丧失全部资金的50%

2

则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）。

二、解答题

6.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和 产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的

111

、、.现有3名工人独立地从中任选236

一个项目参与建设.求：

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

7.如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常

工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.

N1N2

8.某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为

q3

C 3q2 20q 10(q 0)该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的

3

概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：

设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量 q，表示当产量为q 而市场前景无法确定的利润．

(1)分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式； (2)当产量q确定时，求期望E q； (3)试问产量q取何值时，E q取得最大值．

9. 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

27；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。 59

(Ⅰ)若袋中共有10个球， (ⅰ)求白球的个数；

(ⅱ)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为 ,求随机变量 的数学期望E 。(Ⅱ)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

7

。并指出袋 10

中哪种颜色的球个数最少。

10.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保

险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为单位在此保险中：

(1)获赔的概率；

(2)获赔金额 的分布列与期望． 【专题训练参考答案】(理科内容) 1.

111

，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该91011

36393952

2. 3.0.8 4. C11()() 5.4760 45888

6.解: 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为 Ai,Bi,Ci,i=1，2，3.由题意知A1,A2,A3相互独立，B1,B2,B3相互独立，C1,C2,C3相互

独立，Ai,Bj,Ck（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且

111

P(Ai) ,P(Bi) ,P(Ci) .

236

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率

P=3!P(A1B2C3) 6P(A1)P(B2)P(C3) 6 (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率

3

P=1 P(B1B2B3) 1 P(B1)P(B2)P(B3) 1 (1 )

1111

.

2366

13

19. 27

7.解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，由题意得P(A)=0.80, P(B)=0.90, P(C)=0.90.因为事件A、B、C是相互独立的，所以系统N1正常工作的概率为P1=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系统N1正常工作的概率为0.648.

系统N2正常工作的概率P2 P(A) [1 P(B C)] P(A) [1 P(B) P(C)],

P(B) 1 P(B) 1 0.90 0.10,P(C) 1 P(C) 1 0.90 0.10,

P2 0.80 [1 0.10 0.10] 0.80 0.99 0.792. 故系统N2正常工作的概为0.792.

q3q22

8.(1)解:由题意可得L1=(164 3q) q ( 3q 20q 10) 144q 10.

33q3q3

同理可得L2 81q 10 (q＞0)L3 50q 10(q＞0) .

33

(2)由期望定义可知E q 0.4L1 0.4L2 0.2L3

q3q3q3

0.4 ( 144q 10) 0.4 ( 81q 10) 0.2 ( 50q 10)

333q3

100q 10.

3

q3

(3)由(Ⅱ)可知E q是产量q的函数,设f(q) E q 100q 10(q 0),

3

得f (q) q 100.令f (q) 0解得q 10,q 10(舍去).由题意及问题的实际意义(或当0＜q＜10时,f (q)＞0;当q＞10时, f (q) 0)可知,当q=10时, f(q)取得最大值, 即E q最大时的产量q为10.

9.解：(Ⅰ)(ⅰ)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，

2C107

设袋中白球的个数为x，则P(A) 1 2 x ，得到x 5．故白球有5个．

C109

2

(ⅱ)随机变量 的取值为0，1，2，3，分布列是

． 22y1

(Ⅱ)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y n，所以2y n，故记2y≤n 1，≤．

5n 12

“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，

的数学期望为E 0 1 2 3

12121212

23y2317

≤ ． 55n 155210

2n

所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．

55

则P(B)

10.解：设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k 1且P(A1) ，2，3．由题意知A1，A2，A3独立，

1

，9

P(A2)

11，P(A3) ． 1011

(1)该单位一年内获赔的概率为1 P(A1A2A3) 1 P(A1)P(A2)P(A3) 1 (2) 的所有可能值为0，9000，18000，27000．

89103

． 9101111

89108

P( 0) P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3) ，

9101111

P( 9000) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) 1910811089124211

，

91011910119101199045

P( 18000) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)

1110191811273

，

910119101191011990110

1111

P( 27000) P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3) ．

91011990

综上知， 的分布列为

求 的期望有两种解法： 解法一：由 的分布列得E 0

81131

9000 18000 27000

1145110990

29900

． ≈2718.18（元）

11

，2，3，则 1有分布列 解法二：设 k表示第k辆车一年内的获赔金额，k 1

故E 1 9000

11

1000．同理得E 2 9000 900，E 3 9000 818.18． 91011

综上有E E 1 E 2 E 3 1000 900 818.18 2718.18（元）

8-17

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