第二章 点、直线及平面的投影

教学目的与要求： 1、掌握投影法的形成

2、了解点的标记

3、掌握点的坐标形式

重点与难点： 点的坐标形式

第2章 点、直线及平面的投影

点、直线及平面是物体表面的基本几何要素。物体表面的投影是以点、直线及平面的投影为基础的。

2.1 投影法的基本知识

2.1.1．投影的概念 （25分钟）

我们知道,物体在光源的照射下,在平面上产生图象，此图象为物体在平面上的投影。此种方法称为投影法。工程上的图样，就是依据此法绘制的。

投影的形成 中心投影法

投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法。

1.中心投影法

一组投射线都通过投影中心，有如灯光光源照射物体形成影子，称此投影法为中心投影法。

2.平行投影法

一组投射线相互平行，有如阳光光源照射物体形成影子，称此投影法为平行投影法。 平行投影法可分为两种：

(1)正投影法 投射线方向垂直于投影面。 (2)斜投影法 投射线方向倾斜于投影面。

平行投影法

用正投影法确定空间几何形体在平面上的投影，能正确反映其几何形状和大小，作图也

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简便，所以在画法几何和工程制图中得到广泛应用。

2.1.2．点的投影特点 （45分钟）

点的投影仍然是点，而且在一定的条件下，是唯一的。

点的投影特点

2.2.1．点的投影过程

1．三投影面体系

点的投影是在投影体系中实现的。投影体系是由三个相互垂直的平面组成，这三个平面称为投影面。其中一个为水平位置，称为水平投影面，简称水平面，以H表示；一个为正立位置，称为正立投影面，简称正面，以V表示；一个为侧立位置，称为侧立投影面，简称侧面，以W表示。

在该投影体系中，每两个投影面的交线称为投影轴：H投影面与V投影面的交线称为OX轴，H投影面与W投影面的交线称为OY轴，V投影面与W投影面的交线称为OZ轴。三个投影轴的交点O称为原点。

三投影面体系 点的三面投影

2．点的投影过程

在三投影面体系中，设有空间点A，将A分别向三个投影面进行投影，则在H投影面上的投影，称为水平投影（用a表示）；点A在V投影面上的投影，称为正面投影（用a/表示）；点A在W投影面上的投影，称为侧面投影（用a// 表示）。于是，点A的位置由其三面投影a，a/，a// 完全确定。。

在实际应用中，是将空间点A投影后将其移去，再将投影体系连同点的投影展开成一个平面，变成平面投影面体系。其展开方法是：V面不动，H面绕OX轴向下旋转，W面绕OZ轴向右旋转。各旋转90o与V面共面。 由于OY轴为H面和W面所共有，故展开后分别属于H和W二投影面。以OYH和OYW表示。

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投影面的展开

各投影面可视为无界平面，故去掉其边框，以相交的投影轴表示三投影面，即XOZ、XOYH和ZOYW分别表示V、H和W投影面。由于aaX、aaZ，都反映空间点A到V面的距离(aaX=aaZ)，为作图方便和解题的需要，通常自原点O引∠YHOYW的等分角线作为辅助线。

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小结，练习 （20分钟）

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教学目的与要求： 1、熟练掌握点的投影规律及画法

2、掌握点的空间位置判断

重点与难点： 重点为特殊点的投影

难点为点的空间位置判断

2.2 点的投影

2.2.2．点的投影规律 （20分钟）

由上所述,通过点的投影过程可总结出三投影面体系中点的投影规律如下： (1) 点的正面投影a与其它二投影a和a连线分别垂直于OⅩ轴和OZ轴，即aa⊥ OX, a/a// ⊥OZ。

(2) 点的投影到各投影轴的距离，等于空间点到相应投影面的距离。即 a/ax=a//aYW=Aa (点A到H面的距离)；

aaX=aaZ=Aa (点A到V面的距离)； a/aZ=aaYH=Aa// (点A到W面的距离)。

(3) 点的水平投影到OⅩ轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即 aaX=a//aZ。 根据点的任意二投影和用点的投影规律可求出点的第三投影。

例 已知点A的正面投影a/ 和水平投影a，试求其侧面投影a//。

解 根据点的投影规律可知，a和a连线垂直于OZ轴,且aaZ=aaX,由此求得a。自原点O引∠YWOYH等分角线，再自a/ 和a// 分别如箭头所示方向引线，其交点即为所求。

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点的投影规律

2.2.3．特殊点的投影 （30分钟）

由于空间点所处位置不同，有的点的某一投影表现为特殊性，我们称这样的点为特殊点，一般有下列二种情况： 1.投影面上的点

若点在某投影面上，则其投影特点为点距该投影面的距离为零，在该投影面上的投影与 空间点重合，其另两投影在投影轴上。，点B在V面上，根据点的投影规律，反映点B到V面距离为零，b/与B重合，其水平投影b在OX轴上，其侧面投影b//在OZ轴上。 2．投影轴上的点

若点在投影轴上，即为二投影面所共有,其投影特点为在该二投影面上的投影与空间点重

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合，一个投影与原点O重合。

特殊点的投影

2.2.4．二点的相对位置与重合投影 （20分钟）

若已知二点的投影，便可根据点的投影对应关系，判别它们在空间的相对位置。已知点A和点B的三面投影，则由两点的投影沿左右、前后、上下三个方向所反映的坐标差,可知点B在点A的左、前、下方。反之，若已知两点的相对位置及其中一点的投影，便可作出另一点的投影。

我们把与投影面相垂直的同一条投射线上的两点称之为该投影面的重影点，此两点在该投影面上的投影重合为一点，如图中E、F两点，即为V面的重影点。

重影点在某投影面的重合投影，由于两点的相对位置关系而存在一个可见与不可见的问题。e/ 和f/ 为重合投影。由其水平投影可知点E在前，点F在后，所以e/为可见，f/为不可见，并以(f/)表示。重合投影可见性的判别方法，就是利用具有坐标差的另一投影进行，并将不可见的投影加以小括号表示。

二点的相对位置

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小结、练习

20分钟）点的重合投影

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（

教学目的与要求： 1、了解直线的标记

2、熟练掌握直线的投影规律及画法

重点与难点： 重点为特殊直线的投影

2.3 直线的投影

2.3.1．直线的投影 （5分钟）

根据“两点确定一直线”的几何条件，空间直线的投影可由直线上任意两点的投影确定。通常是取直线段两端点间连线表示，即作出直线上两端点投影后，将同面投影连接起来便得

到直线的投影图。直线的投影一般仍为直线，当直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点。 2.3.2．直线与投影面的相对位置及其投影特性

在三投影面体系中，直线与投影面的相对位置可分为一般位置直线和特殊位置直线。 1.一般位置直线的投影 （10分钟）

同时倾斜于三个投影面的直线称为一般位置直线。一般位置直线对H、V、和W三投影面的倾角分别以α、β和γ表示，于是有ab=ABcosα，a/b/=ABcosβ，a//b// =ABcosγ，由此可知一般直线的各投影均小于实长，且各投影与相应投影轴的夹角均不能反映在空间该直线与相应投影面的真实倾角。

一般位置直线的投影

2. 特殊位置直线的投影

特殊位置直线可分为两类，即投影面平行线和投影面垂直线。 (1) 投影面平行线 （30分钟）

平行于一个投影面的直线称为投影面平行线。平行于H面的直线称为水平线；平行于 V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。因为投影面平行线上各点与其所平行的投影面距离相等，所以它具有如下投影性质：

a. 直线在其所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与二投影轴的夹角，分别反映直线对相应投影面的倾角；

b. 直线的其余二投影平行于相应投影轴。

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投影面平行线

(2) 投影面的垂直线 （30分钟）

垂直于投影面的直线称为投影面垂直线。垂直于H面的直线，称为铅垂线；垂直于V 面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线，称为侧垂线。因为某投影面的垂直线必同时平行于其余二投影面，所以它有如下投影性质：

a. 直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点； b. 直线的其余二投影垂直于相应投影轴且反映实长。

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投影面的垂直线

小结 （15分钟） 9

教学目的与要求：1、掌握直线上点的投影

2、掌握两直线相对位置的判断

重点与难点：两直线相对位置的判断

2.3.3．直线上的点 （10分钟）

(1) 若点在直线上，则该点的各投影必在该直线的同名投影上。反之，若点的各投影分

别在直线的各同名投影上，则该点必在此直线上。 一般情况由点和直线的两面投影即可判断点是否在直线上。k在ab上，k/ 在a/b/上，则点K必在直线AB上。

(2) 线段上的点分线段所成比例在其各投影上保持不变。若点K把AB线段分为 AK：KB=1:2，则AK：KB=ak：kb =ak：kb =1:2。反之亦成立。

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直线上的点

2.3.4．两直线的相对位置 （30分钟）

两直线的相对位置，有平行、相交和交叉三种情况，前两种为同面二直线，后一种为 异面二直线。

1.平行二直线

若二直线平行，其各同名投影必平行。反之，若二直线的各同名投影平行，则该二直 线必平行。

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若二直线均为一般位置直线时，只要检查两面投影即可判定，如图所示，ab//cd，ab// c/d/，所以，AB//CD。若二直线为某投影面平行线时，视其在所平行的投影面上的投影是否平行而判定，如图所示，虽然kl// mn，kl // mn,但二直线均为侧平线，而侧面投影kl≠m//n// ，所以，KL≠MN。

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平行二直线 判断两直线的相对位置

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2.相交二直线

若二直线相交，其各同名投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。反之，若二直线的各同名投影均相交，且交点连线垂直于投影轴，则该二直线必相交，在一般情况下，只

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要检查两面投影即可判定，如图k为ab和cd的共有点,，k为ab和cd的共有点,且kk垂直于OⅩ轴，所以直线AB和CD为相交二直线，其交点为K。

相交二直线

3. 交叉二直线

既不平行又不相交的二直线称为交叉二直线。在投影图上，若二直线的各同名 投影不具有平行二直线的投影性质，也不具有相交二直线的投影性质，则可判定为交叉二直线。交叉二直线出现重影点，根据重影点的可见性判别二直线空间的相对位置。图中，其水平投影的交点l(2)，为直线AB上点I和直线CD上点Ⅱ的水平重影点，因为1的z坐标值大于2/ 的z坐标值，所以直线AB在直线CD上方；同理，从正面重影点可以判别出水平投影点3在前，点4在后，所以直线CD在直线AB的前方。

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交叉二直线 重影点的判断

五．直角投影定理 （30分钟）

定理：垂直相交的两直线，若其中一直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影反映直角。证明从略。

逆定理，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中一直线与该投影面平行，则该两直线在空间必相互垂直。

例 已知菱形ABCD的对角线BD的投影bd、b/d/，和另一对角线AC端点A的水平投影a，如图所示，试完成菱形的两面投影。

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直角投影定理的应用

解 根据菱形对角线相互垂直且平分的性质，可先确定BD的中点E，因BD是正平线，根据直角投影定理可知，ac⊥bd，而求得a，并可确定ac，再作出其水平投影ac ，便可得菱形的两面投影abcd和a/b/c/d/。

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小结、练习 （20分钟）

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