高数(一)微积分公式(重要)

高等数学(一)微积分,自考的经验积累

特殊角的三角函数值

例1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。

（1）已知tanx=3求其他的三角函数值 斜边

^2=a^2+b^2

Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx

①倒数关系：

②商的关系

③平方关系

两角和的正弦、余弦、正切公式

两角差的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

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降幂公式

积化和差公式

对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（α≠1，c≠1），α为任意实数

①

②； ；

③

④

⑤。 ； ；

：如果q≠1时，

例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：

解：

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由

一、极限运算法则

定理

设

（1）

（2） ，则 得级数收敛，其和为。

（3）

3.无穷小的运算性质：

（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。

.定理 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。

2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。 小结：当，m和n为非负整数时有

无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。

2.6.1两个极限公式。

关于

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2.5.4 无穷小的比较

极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同。

定义：

设α，β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0.

（1

）如果，就说β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；

（2

）如果，就说β与α是同阶的无穷小；

特殊地如果，则称β与α是等价的无穷小；记作α～β；

等价无穷小：当x→0时，

等价无穷小代换

等价代换原理：在同一极限过程中的三个变量u，v，w，如果u，v是无穷小量，且等价，则有

，

由

得：当x→0时，

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常用等价无穷小： 牢记常用的等价无穷小：

当x→0时，

当x→0时，

一元函数的导数和微分

为

即

其它形式

七、小结

1.导数的实质：增量比的极限；

2.导数的几何意义：切线的斜率；

3.函数可导一定连续，但连续不一定可导； 4.

5.求导数最基本的方法：由定义求导数.

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6.判断可导性

如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且

推论

小结：初等函数的求导问题

1.常数和基本初等函数的导数公式

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、和、差、积、商的求导法则

设

u=u（x），v=v（x）可导，则

切线方程为

法线方程为

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例8

、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解

由导数的几何意义, 得切线斜率为

所求切线方程为

法线方程为

五、复合函数的求导法则

1.复合函数的求导法则

即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）

推广 设，则复合函数的导数为

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微分形式的不变性

（1）若x是自变量时，dy= f＇（x）dx

（2）若x

是中间变量时，同样有

，这就是微分形式的不变性 结论：无论x是自变量还是中间变量，函数y=f（x）的微分形式总是

利用微分计算函数的近似值

求f（x）在点x=x0附近的近似值；

一、罗尔(Rolle)定理

1.罗尔 （Rolle）定理

如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在（a,b

）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

1.拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。

注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)

结论亦可写成。

推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。

一、型及型未定式解法：洛必达法则

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注意：洛必达法则的使用条件是分子分母都有导数，且分母的导数不为0，导数比的极限存在。

1、定义 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)

都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 称为或型未定式。

例如

,

2、定理

设

（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；

（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；

（3）存在（或为无穷大）；

那么。

3、定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。当x→∞时，以及x→a，x→∞时，该法则仍然成立。

例12、求

（n是正整数）。

解：这是型未定式，接连用洛必达法则n次，得

对于任意的α＞0，同样可以证明

。

二、。 型未定式解法

关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型

1、0.∞型 。

步骤：

3、型 ，或。

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步骤：

一、单调性的判别法

用导数取得极限值后代入原极限对数E

定理 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，

（1）如果在（a,b）内f＇(x)＞0，那么函数y=f(x),在[a,b]上单调增加；

（2）如果在（a,b）内f＇(x)＜0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。

例1、讨论函数

解：

的单调性。

定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．

方法：用方程f＇(x)=0的根及f＇(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号。 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一

个区间上的单调性。

4.5 函数的极值与最值

定义 设函数f(x)在区间(a,b)

内有定义，

如果存在着点

的一个极大值；

如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了

点外，f(x)＞均成立，就称是函数f(x)是（a,b）内的一个点， 外，f(x)＜均成立，就称是函数f(x)的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了

点的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

函数极值的求法

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定理1（必要条件）设f(x)在点处具有导数，且在处取得极值，那么必定f＇()=0。

定义 使导数为零的点（即方程f＇(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点。

注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。

注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点。

所以:连续函数的极值点必是函数的驻点和不可导点。

定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点 （1

）如果的一个邻域上连续，在去心邻域，有f＇(x)＜0，则f(x)在上可导。 处取得极大值。 ，有f＇(x)＞0；而

即:从方程f＇(x)”+”到”-“极大值

（2）如果，有f＇(x) ＜0；而，有f＇(x)＞0，则f(x)在处取得极小值。 即:从方程f＇(x)”-”到”+“极小值

（3

）如果当及时，f＇(x)符号相同，则f(x)在处无极值。

求极值的步骤:

（1）求定义域；

（2）求导数f＇(x)及导数不存在的点；

（3）求驻点，即方程f＇(x)=0的根；

（4）检查f＇(x)在驻点左右的正负号，判断极值点；

（5）求极值。 将方程f＇(x)=0的根 代入f(x)原方程式中.得出极大值.极小值.

定理3（第二充分条件）

设f(x)在x0处具有二阶导数，且f＇()=0，f＇＇()≠0，那么

（1）当f＇＇()＜0时，函数f(x)在处取得极大值；

（2）当f＇＇() ＞0时，函数f(x)在处取得极小值。

例10、求出函数的极值。

解：

当x=2时，f＇(x)不存在，但函数f(x)在该点连续。

当x＜2时，f＇(x) ＞0；

当x＞2时，f＇(x) ＜0。

∴f(2)=1为f(x)的极大值。

二、函数的最值

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若函数f(x)在[a,b]上连续，除个别点外，处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在。

步骤:

1.求驻点和不可导点；

2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大的就是最大值,小的就是最小值；

3．6．1 边际分析

定义：设y=f(x)是一个经济函数，其导数f＇(x)称为f(x)的边际函数。

f＇(x0)称为f(x)

在点的边际函数值。

成本、收入、利润函数的导数称为边际成本MC、边际收入MR、边际利润ML。

3．6．2 弹性分析

定义：设y=f(x)是一个经济函数，当经济变量x在点x0改变△x时，经济变量y相应地在y0=f(x0)处改变△y=f(x0+△x)-f(x0) ，如果极限

就是导数. 存在，则称此极限值为y=f(x)在点x0的弹性，记为。X0与Y0是常量放在极限的外面.后面的极限

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在任意点的弹性记为，它作为x的函数称为y=f(x)的弹性函数。

=

例4、（149页 例3）设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S

是市场的供给量，则

称为供给价格弹性。

由于S一般随p的上升而增加，S（p）是单调增加函数，当△p＞0时，△S＞0，故≥0。其意义是：当价格从p上升1%时，市场供给量从S（p）增加个百分数。

例7、（05年1月考题）已知某厂生产x件产品的成本为

（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？

（2）如产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？ ，问：

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解：

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这个考收益与价格的弹性函数

.

R(P)的导数

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4.4 曲线的凹凸性和拐点

定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内

（1）f＇＇(x)＞0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

（2）f＇＇(x)＜0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

曲线的拐点及其求法

1.定义

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。

2．拐点的求法

拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。

设函数f(x)在x0的邻域内二阶可导且f＇＇(x0)=0或者二阶不可导：

（1）x0两侧f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点；

（2）x0两侧f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。

43 例2、求曲线y=3x-4x+1的拐点及凹凸的区间。

解：

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4.6 渐近线

1.水平渐近线（平行于x轴的渐近线）

如果（b为常数）那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线。

例如：y=arctan x,有水平渐近线两条：

2.铅直渐近线（垂直于x轴的渐近线）

如果

，那么x=x0就是y=f(x)的一条铅直渐近线。

第五章 一元函数积分学

（1）；（2）；

（3）；4）；

（5）

（6）； ；（7）；

（8）

（10）；（9）；（11）； ；

（12）

不定积分的性质

（1）

证；（13）； ；

。

∴等式成立。

（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

（2）

（k是常数，k≠0）

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例：已知f（x）之一原函数为 ，求∫f＇（x）dx。

例：

由此可得换元法定理。

定理 设f（u）具有原函数，微分法） 可导，则有换元公式第一类换元公式（凑

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