《正态分布的应用》论文

论文《正态分布的应用》

专业：光伏产品检测技术

学号：21号 姓名：王景卓

生活中诸多的经验和理论都表明，我们所处的环境中服从正态分布的事件是及其常见的。例如：工程中的加工尺寸，人的身高，降雨量等都可以看做是正态分布。所以在统计学中对于正态分布的使用越来越广泛，本文是对正态分布的应用做一些基本阐述。

正态分布，又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作

当

，读作服从

，或服从正态分布。

时，正态分布就成为标准正态分布

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

正态分布

正态分布一种概率分布，也称“常态分布”。正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。 正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ=0，σ^2 =1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。[1]

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线 正态分布的应用： 1、频数分布

在现实生活中，当我们对数据用统计的方法来分析时间时，当我们需要了解某个数据在整体的分布，如果整个数据的分布是符合正态曲线，此时我们可以比较简便的通过正态分布来计算，运用一步正态分布于标准分布之间的简单转化然后查表。

例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。

本例，μ、σ未知但样本含量n较大，按式（3.1）用样本均数X和标准差

S分别代替μ和σ，求得u值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。

表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布

实际分分布 x+-s 身高范围（cm） 人数 （%） 168.69～X+-1s X +-1.96s X+-2.58s 176.71 164.84～180.56 162.35～183.05 99 99.00 99.00 95 95.00 95.00 67 67.00 68.27 布 百分数布（%） 布 理论分实际分考试成绩及学生综合素质研究

教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布。因而正常的考试成绩分布应基本服从正态分布。考试分析要求绘制出学生成绩分布的直方图，以“中间高、两头低”来衡量成绩符合正态分布的程度。其评价标准认为：考生成绩分布情况直方图，基本呈正态曲线状，属于好，如果略呈正（负）态状，属于中等，如果呈严重偏态或无规律，就是差的。

从概率统计规律看，“正常的考试成绩分布应基本服从正态分布”是正确的。但是必须考虑人与物的本质不同，以及教育的有所作为可以使“随机”受到干预，用曲线或直方图的形状来评价考试成绩就有失偏颇。许多教育专家（如上海顾泠沅、美国布鲁姆等）已经通过实践论证，教育是可以大有作为的，可以做到大多数学生及格，而且多数学生可以得高分，考试成绩曲线是偏正态分布的。但是长期受到“中间高、两头低”标准的影响，限制了教师的作为，抑制了多数学生能够学好的信心。这是很大的误会。通常正态曲线有一条对称轴。当某个分数（或分数段）的考生人数最多时，对应曲线的最高点，是曲线的顶点。该分数值在横轴上的对应点与顶点连接的线段就是该正态曲线的对称轴。考生人数最多的值是峰值。我们注意到，成绩曲线或直方图实际上很少对称的，称之为峰线更合适。

2、医学参考值

医学上把绝大多数正常人的某些指标波动范围称为该指标的正常值范围。正常人并不是指没有任何疾病的人，而是一定条件下在这指标下对结果没有影响的人。而许多的指标，人的身高，红白细胞的数量等都呈现正态分布或者近似服从正态分布。有一些指标虽然并没有完全服从正态分布，当通过对数据进行简单的转化后新的变量服从了正态分布 一般正常值选取的步骤

1、选定一批正常的人群，然后抽取部分样本 2、确定单侧和双侧范围

3、根据实际需要确定数据的可信度

4、按照数据特点选用不同的方法计算正常值的范围上、下界

正态分布：适合于正态分布有关的数据。百分位数法:适用于偏态分布数据或者类型不明确的资料

在实际使用正常值的时候应注意

1、如果某人的某项指标不在正常值的范围内，他不一定是病人 2、要对正常值范围和可信区间区别

3、假如正常人和病人的某一项指标有交叉，则诊断有可能会有误差 在正态分布中我们体会到了要用整体的眼光看待问题，整个曲线是一个整体，用整体的眼光才可能看到事物的本质，才能得到结论，若只看到一部分就可能以偏概全。同时正态曲线非常清楚地展示了重点，它的中间部分占了大量的面积，使我们懂得在日常生活中一定要抓住重点解决问题。事物总是从无到有，任何事物的产生都是各方面的因数组成的结果，我们相信在未来正态分布一定会有更好的明天。

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