高考数学常用结论
更新时间:2024-05-08 04:22:01 阅读量: 综合文库 文档下载
附录 高考数学常用结论
1.德摩根公式 CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB. 2.A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB?? ?CUA?B?R
3.card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)
card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);
2② 顶点式 f(x;?)a(?x?)h(?k③a0零)点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).
5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函
数;
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函
数.
设函数y?f(x)在某个区间内可导,如果f?(x)?0,则f(x)为增函数;如果f?(x)?0,则f(x)为减函数.
6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x).②函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx).
7.两个函数图象的对称性:①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?线y=x对称.
ma?b2m对称.③函数y?1nf(x)和y?f?1(x)的图象关于直
8.分数指数幂 ana??mnam(a?0,m,n?N?,且n?1). (a?0,m,n?N?,且n?1).
?1man9. logaN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).
b10.对数的换底公式 loga11.
n?1?s1,an???sn?sn?1,n?2N?logmNlogma.推论 loga的前
mb?nnmlogab.
( 数列
{an}n项的和为
sn?a1?a2???an).
12.等差数列的通项公式an其前n项和公式 sn??a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)*;
12d)n.
n(a1?an)2?na1?n?1n(n?1)2nd?*d2n?(a1?213.等比数列的通项公式an其前n
?a1q?a1q?q(n?N);
?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??项的和公式sn??1?q或sn??1?q.
?na,q?1?na,q?1?1?114.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d;
,q?1?q?1?其前n
?nb?n(n?1)d,q?1?n项和公式为sn??. d1?qd?(b?1?q)q?1?1?qn,q?1?15.分期付款(按揭贷款) 每次还款x?还清,每期利率为b).
ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元,n次
sin?cos?16.同角三角函数的基本关系式 sin2?tan??cot??1.
?cos??1,tan?2=
,
17.正弦、余弦的诱导公式
n?2n??(?1)sin?,sin(??)?? n?12?2?(?1)cos?,n?2n??(?1)cos?, cos(??)??n?12?2sin?,?(?1)
α为偶数 α为奇数 α为偶数 α为奇数
18.和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?2.
2sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos??sin?2asin??bcos?=a?bsin(?22.
??)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象
2限决定,tan??ba ).
?sin?cos?219.二倍角公式 sin2?22.
2cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?.tan2??2tan?1?tan?2. 及函数
?2?20.三角函数的周期公式 函数
y?cos(?x??),x∈R(A,ω,?,x∈Ry?sin?(x??)为常数,且A≠0,ω>0)的周期T,k?Z?;
函数y?tan(?x??),x?k?的周期T???2(A,ω,?为常数,且A≠0,ω>0)
??.
asinA?bsinB?csinC?2R.
21.正弦定理
22.余弦定理a2?b2?c2?2bccosA;b2 c2?a2?b2?2abcosC. 23.面积定理(1)Sc边上的高).
(2)S(3)S?OAB?121absinC?122????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB)bcsinA?1?12aha?12bhb?12?c?a?2cacosB;
22chc(ha、hb、hc分别表示
a、b、
casinB.
?2. A?B224.三角形内角和定理 在△ABC中,有
A?B?C???C???(A?B)?C2??2??2C?2??2(A?B).
25.平面两点间的距离公式
(A(x1,y1),B(x2,y2)).
26.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则 a?b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.
a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 27.线段的定比分公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的
????????分点,?是实数,且P1P??PP2,则
(x2?x1)?(y2?y1)22???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?x1??x2?????????x??????????????????OP1??OP21?1??OP?OP?tOP?(1?t)OP(t????121??y??y1??2?y?1?1???).
28.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为
A(x1,y1)G(3、
,B(x2,y2)3、
C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
x1?x2?x3y1?y2?y3).
''???????????????x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP (图形F29.点的平移公式 ?'??'?y?y?k???y?y?k????''''上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP'的
坐标为(h,k)).
30.常用不等式:
(1)a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(2)a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).
(4)柯西不等式(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R. (5)a?b?a?b?a?b
31.极值定理 已知x,y都是正数,则有
(1)如果积xy是定值p,那么当x?y时和x?y有最小值2(2)如果和x?y是定值s,那么当x?y时积xy有最大值
14s2p;
.
32.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0),如果22a与ax?bx?c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax?bx?c异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2); x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 33.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有
2x?a?x?a??a?x?a.
22x?a?x?a?x?a或x??a.
234.无理不等式(1)f(x)??f(x)?0?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)? .
(2)?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?.
(3).
35.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x); loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);logay2?y1x2?x1
36.斜率公式 k?(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
37.直线的四种方程
(1)点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k). (2)斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). (3)两点式 (x1?x2)).
y?y1y2?y1?x?x1x2?x1(
y1?y2)(
P1(x1,y1)、
P2(x2,y2)
(4)一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
38.两条直线的平行和垂直 (1)若l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2 ①l1?l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①l1?l2?A1A2?B1B2?C1C2;②l1?l2?A1A2?B1B2?0;
k2?k11?k2k1|39.夹角公式
l2:y?k2x?b2tan??tan??|.(
l1:y?k1x?b1,
,k1k2??1)
?0A1B2?A2B1A1A2?B1B2(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?,A1A2?B1B2?0)
.
直线l1?l2时,直线l1与l2的夹角是. 40.点到直线的距离 dAx?By?C?0).
?2|Ax0?By0?C|A?B22(点
P(x0,y0),直线l:
41. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.
(2)圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F>0). (3)圆的参数方程 ??x?a?rcos??y?b?rsin?.
(4)圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).
42.椭圆
xa22?xa22yb22?x?acos??1(a?b?0)的参数方程是??y?bsin?yb22.
a243.椭圆
PF2?e(a2??1(a?b?0)焦半径公式
PF1?e(x?c),
c?x).
xaac22244.双曲线
PF1?|e(x??yb22?1(a?0,b?0)的焦半径公式
a2)|,PF2?|e(2c?x)|.
45.抛物线
y?2px上的动点可设为P(y?22p,y?)或P(2pt2,2pt)或
P(x?,y?),其中 y?2?2px?.
246.二次函数y?ax线:(1)顶点坐标为(?(3)准线方程是y?b?bx?c?a(x?,4ac?b4a22b2a)?24ac?b4a2(a?0)的图象是抛物
b2a,4ac?b?14a22a(2)焦点的坐标为(?););
4ac?b?14a.
AB?(x1?x2)?(y1?y2)247.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?22222或
(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?(弦端点,??0,?A(x1,y1),B(x2,y2),由方程??y?kx?b?F(x,y)?0 消去y得到ax2?bx?c?0为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率). 48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0.
(2)曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
F(x?2A(Ax?By?C)A?B22,y?2B(Ax?By?C)A?B22)?0.
49.“四线”一方程 对于一般的二次曲线用x0xAx?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0,
22代x2,用y0y代y2,用
x0y?xy02代xy,
用
x0?x2代x,用
x0y?xy02y0?y2代y即得方程
x0?x2?E?y0?y2Ax0x?B??Cy0y?D?曲线的切线,切点弦,?F?0,
中点弦,弦中点方程均是此方程得到.
50.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b?存在实数λ使a=λb.
51.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足????????????????OP?xOA?yO?BzO ,
则四点P、A、B、C是共面?x?y?z?1.
52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉=(a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)).
53.直线AB与平面所成角量).
??????AB?m?????arcsin???|AB||m|a1b1?a2b2?a3b3a1?a2?a3222b1?b2?b3222??(m为平面?的法向
??(m??????m?nm?n 54.二面角??l??的平面角??arccos???或??arccos???|m||n||m||n|?n为平面?,?的法向量).
,
55.设AC是α内的任一条直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为?1,AB与AC所成的角为?2,AO与AC所成的角为?.则cos??cos?1cos?2.
56.若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ,则有2222sin?si?n?s?i?n?s?in?2s2?in ; s?incos121??|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).
57.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222. (点P在直线l上,直线
|a|????????l的方向向量a=PA,向量b=PQ).
???????|CD?n|59.异面直线间的距离 d??(l1,l2是两异面直线,其公垂向
|n|?量为n,C、D分别是l1,l2上任一点,d为l1,l2间的距离).
????????|AB?n|?60.点B到平面?的距离 d?(n为平面?的法向量,AB是|n|(|a||b|)?(a?b)2258.点Q到直线l距离h?1经过面?的一条斜线,A??).
61.异面直线上两点距离公式 d?d2?m2?n2?2mncos? (两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,A'E?m,AF?n,EF?d).
62. l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1
(长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
(立几中长方体对角线长的公式是其l1、l2、l3,夹角分别为?1、?2、?3)
特例). 63. 面积射影定理 S?S'cos?
(平面多边形及其射影的面积分别是S、S',它们所在平面所成锐二面角的为?).
64.欧拉定理(欧拉公式) V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)
65.球的半径是R,则其体积是V?43?R3,其表面积是S?4?R2.
66.分类计数原理(加法原理)N67.分步计数原理(乘法原理)N?m1?m2???mn. ?m1?m2???mn.
n!(n?m)!68.排列数公式 Anm=n(n?1)?(n?m?1)=
m?n.(n,m∈N*,且
nn?m).
69.排列恒等式 (1)Anm?(n?m?1)Annm?1;(2)Anmmm?1?An?1;(3)
mAn?nAn?1mm?1; (4)nAnn?An?1?Anmnn?1;(5)Anm?1?An?mAn.
n!70.组合数公式 C=
AnmmAm=
n(n?1)?(n?m?1)1?2???m=
m!?(n?m)!(n,m∈
N*,且m?n).
71.组合数的两个性质(1) Cnm=Cnn?m ;(2) Cnm+Cnm?1=Cnm?1
72.组合恒等式(1)CnmCmn?n?m?1mCnm?1;(2)Cnmrr?nn?m(3)Cn?1;
mrr?1?nmCm?1n?1; (4)?Cnr=2n;(5)Crrr?0n?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1m.
73.排列数与组合数的关系是:Anm74.二项式定理
(a?b)n?m!?Cnr .
b???Cnb?Cna?Cna0n1n?1b?Cna2n?2b???Cna2n?r二项展开式的通项公式:Tr?175.等可能性事件的概率P(A)??Cnarn?rb(rr ;
?0,1,2?,n).
rnnmn.
76.互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).
77.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).
78.独立事件A,B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率kkn?kPn(k)?CnP(1?P).
81.离散型随机变量的分布列的两个性质:(1)Pi?0(i?1,2,?);(2)P1?P2???1.
82.数学期望E??x1P1?x2P2???xnPn?? 83.数学期望的性质:(1)E(a??b)?aE(?)?b;(2)若?~B(n,p),则E??np.
22284.方差D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn?? 85.标准差??=D?.
86.方差的性质(1)D????E?2?(E?)2;(2)D?a??b??a2D?;(3)若
?~B(n,p),则D??np(1?p).
12?6??x???262287.正态分布密度函数f?x??e,x????,???式中的实数
μ,?(?>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差.
88.标准正态分布密度函数f?x??12?6e?x22,x????,???.
x????. ???89.对于N(?,?2),取值小于x的概率F?x?????P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1??F?x2??F?x1?
?x????x1??????2?????. ??????线方程 ?y??anii90.回归直
i?1n,bx其中
n???xi?x??yi?y???b?i?1n?2???xi?x??i?1??a?y?bx?xy?i?1?nxy2xi?nx2.
n91.相关系数
??xr?i?1ni?x??yi?y?n2
2?(xi?1i?x)?(yi?1i?y)n??x?i?1n2i?1i?x??yi?y?n222. (?xi?nx)(?yi?ny)i?1|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.
?0?nq??192.特殊数列的极限 (1)limn????不存在|q|?1q?1|q|?1或q??1.
?0(k?t)?kk?1akn?ak?1n???a0?at??(k?t)(2)limtt?1n??bn?bn???b0tt?1?bk?不存在 (k?t)?.
S(3)
?lima11?qn1?q??n???a11?q(S无穷等比数列?a1qn?1? (|q|?1)的和).
x?x093.xlim?x0f(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?ax?x0.这是函数极限存在的一个
充要条件.
94.函数的夹逼性定理 如果函数f(x),g(x),h(x)在点x0的附近满足:
g(x)?a,limh(x)?a(常数),则(1)g(x)?f(x)?h(x);(2)xlim?xx?x00x?x0limf(x)?a.
sinxx本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 95.两个重要的极限 (1)
1??lim?1???e(e=2.718281845?). x??x??xlimx?0?1;(2)
96.f(x)在x0处的导数(或变化率或微商)
f?(x0)?y?x?x0?lim?y?x?x?0?limf(x0??x)?f(x0)?x?097.瞬时速度??s?(t)?lim?s?t?t?0?lim?v?t?xs(t??t)?s(t). . .
导
数
?t?098.瞬时加速度a?v?(t)??limt?099.
f?(x)?y??dydx??lim?tv(t??t)?v(t)?t?t?0f(x)dfdx?lim?y?x?x?0在
?lim?x?0(a,b)f(x??x)?f(x)?x的.
100.函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0),相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).
101.几种常见函数的导数 (1) C??0(C为常数). (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??1x;(loga)??x1xlogea.
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
102.复合函数的求导法则 设函数u??(x)在点x处有导数''''ux??(x),函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu?f(u),则复
'''合函数y?f(?(x)在)点x处有导数,且yx?yu?ux,或写作'''fx(?(x)?)f?u(). x()103.可导函数y?f(x)的微分dy?f?(x)dx. 104.a?bi?c?di?a?c,b?d.(a,b,c,d?R)
105.复数z?a?bi的模(或绝对值)|z|=|a?bi|=106.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc?d22a?b22.
?bc?adc?d22i(c?di?0).
107.复平面上的两点间的距离公式
22d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)(z1?x1?y1i,z2?x2?y2i).
108.向量的垂直 非零复数z1?a?bi,z2?c?di对应的向量分别是??????????OZ1,OZ2,则
??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2z1222为纯虚数?|z1?z2|?|z1|?|z2|
222
?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2(λ
为非零实数).
109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程
ax?bx?c?022,①若
??b?4ac?0b2a2,则
x1,2??b?b?4ac2a2;②若
??b?4ac?0,则x1?x2??;③若??b2?4ac?0,它在实数集R内没
C有实数根;在复数集
x??b?(?b2a2内有且仅有两个共轭复数根
4?ac)2i. (b?4ac?0)
101.几种常见函数的导数 (1) C??0(C为常数). (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??1x;(loga)??x1xlogea.
(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.
102.复合函数的求导法则 设函数u??(x)在点x处有导数''''ux??(x),函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu?f(u),则复
'''合函数y?f(?(x)在)点x处有导数,且yx?yu?ux,或写作'''fx(?(x)?)f?u(). x()103.可导函数y?f(x)的微分dy?f?(x)dx. 104.a?bi?c?di?a?c,b?d.(a,b,c,d?R)
105.复数z?a?bi的模(或绝对值)|z|=|a?bi|=106.复数的四则运算法则
(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc?d22a?b22.
?bc?adc?d22i(c?di?0).
107.复平面上的两点间的距离公式
22d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)(z1?x1?y1i,z2?x2?y2i).
108.向量的垂直 非零复数z1?a?bi,z2?c?di对应的向量分别是??????????OZ1,OZ2,则
??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2z1222为纯虚数?|z1?z2|?|z1|?|z2|
222
?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2(λ
为非零实数).
109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程
ax?bx?c?022,①若
??b?4ac?0b2a2,则
x1,2??b?b?4ac2a2;②若
??b?4ac?0,则x1?x2??;③若??b2?4ac?0,它在实数集R内没
C有实数根;在复数集
x??b?(?b2a2内有且仅有两个共轭复数根
4?ac)2i. (b?4ac?0)
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