高考数学常用结论

附录 高考数学常用结论

1.德摩根公式 CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB. 2.A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA?A?CUB?? ?CUA?B?R

3.card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)

card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);

2② 顶点式 f(x;?)a(?x?)h(?k③a0零)点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0).

5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函

数；

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函

数.

设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x).②函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx).

7.两个函数图象的对称性:①函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.②函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?线y=x对称.

ma?b2m对称.③函数y?1nf(x)和y?f?1(x)的图象关于直

8.分数指数幂 ana??mnam（a?0,m,n?N?，且n?1）. （a?0,m,n?N?，且n?1）.

?1man9. logaN?b?a?N(a?0,a?1,N?0).

b10.对数的换底公式 loga11.

n?1?s1,an???sn?sn?1,n?2N?logmNlogma.推论 loga的前

mb?nnmlogab.

( 数列

{an}n项的和为

sn?a1?a2???an).

12.等差数列的通项公式an其前n项和公式 sn??a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)*；

12d)n.

n(a1?an)2?na1?n?1n(n?1)2nd?*d2n?(a1?213.等比数列的通项公式an其前n

?a1q?a1q?q(n?N)；

?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??项的和公式sn??1?q或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?114.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n

?nb?n(n?1)d,q?1?n项和公式为sn??. d1?qd?(b?1?q)q?1?1?qn,q?1?15.分期付款(按揭贷款) 每次还款x?还清,每期利率为b).

ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元,n次

sin?cos?16.同角三角函数的基本关系式 sin2?tan??cot??1.

?cos??1，tan?2=

，

17.正弦、余弦的诱导公式

n?2n??(?1)sin?,sin(??)?? n?12?2?(?1)cos?,n?2n??(?1)cos?, cos(??)??n?12?2sin?,?(?1)

α为偶数 α为奇数 α为偶数 α为奇数

18.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?2.

2sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);

cos(???)cos(???)?cos??sin?2asin??bcos?=a?bsin(?22.

??)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象

2限决定,tan??ba ).

?sin?cos?219.二倍角公式 sin2?22.

2cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?.tan2??2tan?1?tan?2. 及函数

?2?20.三角函数的周期公式 函数

y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?，x∈Ry?sin?(x??)为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T,k?Z?；

函数y?tan(?x??)，x?k?的周期T???2(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)

??.

asinA?bsinB?csinC?2R.

21.正弦定理

22.余弦定理a2?b2?c2?2bccosA;b2 c2?a2?b2?2abcosC. 23.面积定理（1）Sc边上的高）.

（2）S(3)S?OAB?121absinC?122????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB)bcsinA?1?12aha?12bhb?12?c?a?2cacosB;

22chc（ha、hb、hc分别表示

a、b、

casinB.

?2. A?B224.三角形内角和定理 在△ABC中，有

A?B?C???C???(A?B)?C2??2??2C?2??2(A?B).

25.平面两点间的距离公式

(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

26.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 a?b?b=λa ?x1y2?x2y1?0.

a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 27.线段的定比分公式 设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的

????????分点,?是实数，且P1P??PP2，则

(x2?x1)?(y2?y1)22???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?x1??x2?????????x??????????????????OP1??OP21?1??OP?OP?tOP?(1?t)OP（t????121??y??y1??2?y?1?1???）.

28.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为

A(x1,y1)G(3、

,B(x2,y2)3、

C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

x1?x2?x3y1?y2?y3).

''???????????????x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP (图形F29.点的平移公式 ?'??'?y?y?k???y?y?k????''''上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的

坐标为(h,k)).

30.常用不等式：

（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R. （5）a?b?a?b?a?b

31.极值定理 已知x,y都是正数，则有

（1）如果积xy是定值p，那么当x?y时和x?y有最小值2（2）如果和x?y是定值s，那么当x?y时积xy有最大值

14s2p；

.

32.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)，如果22a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)； x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2). 33.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

2x?a?x?a??a?x?a.

22x?a?x?a?x?a或x??a.

234.无理不等式（1）f(x)??f(x)?0?g(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)? .

（2）?f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2?.

（3）.

35.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x); loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0.

?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,

af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);logay2?y1x2?x1

36.斜率公式 k?（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

37.直线的四种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 (x1?x2)).

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1(

y1?y2)(

P1(x1,y1)、

P2(x2,y2)

（4）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

38.两条直线的平行和垂直 （1）若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1?l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,

①l1?l2?A1A2?B1B2?C1C2；②l1?l2?A1A2?B1B2?0；

k2?k11?k2k1|39.夹角公式

l2:y?k2x?b2tan??tan??|.(

l1:y?k1x?b1，

,k1k2??1)

?0A1B2?A2B1A1A2?B1B2(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?,A1A2?B1B2?0)

.

直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是. 40.点到直线的距离 dAx?By?C?0).

?2|Ax0?By0?C|A?B22(点

P(x0,y0),直线l：

41. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.

（2）圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F＞0). （3）圆的参数方程 ??x?a?rcos??y?b?rsin?.

（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

42.椭圆

xa22?xa22yb22?x?acos??1(a?b?0)的参数方程是??y?bsin?yb22.

a243.椭圆

PF2?e(a2??1(a?b?0)焦半径公式

PF1?e(x?c)，

c?x).

xaac22244.双曲线

PF1?|e(x??yb22?1(a?0,b?0)的焦半径公式

a2)|，PF2?|e(2c?x)|.

45.抛物线

y?2px上的动点可设为P(y?22p,y?)或P(2pt2,2pt)或

P(x?,y?)，其中 y?2?2px?.

246.二次函数y?ax线：（1）顶点坐标为(?（3）准线方程是y?b?bx?c?a(x?,4ac?b4a22b2a)?24ac?b4a2(a?0)的图象是抛物

b2a,4ac?b?14a22a（2）焦点的坐标为(?)；)；

4ac?b?14a.

AB?(x1?x2)?(y1?y2)247.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB?22222或

(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?（弦端点，??0,?A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程??y?kx?b?F(x,y)?0 消去y得到ax2?bx?c?0为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 48.圆锥曲线的两类对称问题： （1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0.

（2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

F(x?2A(Ax?By?C)A?B22,y?2B(Ax?By?C)A?B22)?0.

49.“四线”一方程 对于一般的二次曲线用x0xAx?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0，

22代x2，用y0y代y2，用

x0y?xy02代xy，

用

x0?x2代x，用

x0y?xy02y0?y2代y即得方程

x0?x2?E?y0?y2Ax0x?B??Cy0y?D?曲线的切线，切点弦，?F?0，

中点弦，弦中点方程均是此方程得到.

50.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

51.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足????????????????OP?xOA?yO?BzO ，

则四点P、A、B、C是共面?x?y?z?1．

52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）.

53.直线AB与平面所成角量).

??????AB?m?????arcsin???|AB||m|a1b1?a2b2?a3b3a1?a2?a3222b1?b2?b3222??(m为平面?的法向

??（m??????m?nm?n 54.二面角??l??的平面角??arccos???或??arccos???|m||n||m||n|?n为平面?，?的法向量）.

，

55.设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

56.若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有2222sin?si?n?s?i?n?s?in?2s2?in ; s?incos121??|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).

57.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1)222. (点P在直线l上，直线

|a|????????l的方向向量a=PA，向量b=PQ).

???????|CD?n|59.异面直线间的距离 d??(l1,l2是两异面直线，其公垂向

|n|?量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).

????????|AB?n|?60.点B到平面?的距离 d?（n为平面?的法向量，AB是|n|(|a||b|)?(a?b)2258.点Q到直线l距离h?1经过面?的一条斜线，A??）.

61.异面直线上两点距离公式 d?d2?m2?n2?2mncos? (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A'E?m,AF?n,EF?d).

62. l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1

（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

（立几中长方体对角线长的公式是其l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3）

特例）. 63. 面积射影定理 S?S'cos?

(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为?).

64.欧拉定理(欧拉公式) V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F)

65.球的半径是R，则其体积是V?43?R3,其表面积是S?4?R2．

66.分类计数原理（加法原理）N67.分步计数原理（乘法原理）N?m1?m2???mn. ?m1?m2???mn.

n！(n?m)！68.排列数公式 Anm=n(n?1)?(n?m?1)=

m?n.(n，m∈N*，且

nn?m)．

69.排列恒等式 （1）Anm?(n?m?1)Annm?1;（2）Anmmm?1?An?1;（3）

mAn?nAn?1mm?1; （4）nAnn?An?1?Anmnn?1;（5）Anm?1?An?mAn.

n！70.组合数公式 C=

AnmmAm=

n(n?1)?(n?m?1)1?2???m=

m！?(n?m)！(n，m∈

N*，且m?n).

71.组合数的两个性质(1) Cnm=Cnn?m ;(2) Cnm+Cnm?1=Cnm?1

72.组合恒等式（1）CnmCmn?n?m?1mCnm?1;（2）Cnmrr?nn?m（3）Cn?1;

mrr?1?nmCm?1n?1; （4）?Cnr=2n;（5）Crrr?0n?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1m.

73.排列数与组合数的关系是：Anm74.二项式定理

(a?b)n?m！?Cnr .

b???Cnb?Cna?Cna0n1n?1b?Cna2n?2b???Cna2n?r二项展开式的通项公式：Tr?175.等可能性事件的概率P(A)??Cnarn?rb(rr ;

?0，1，2?，n).

rnnmn.

76.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

77.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)．

78.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)．

80.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率kkn?kPn(k)?CnP(1?P).

81.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）Pi?0(i?1,2,?);（2）P1?P2???1.

82.数学期望E??x1P1?x2P2???xnPn?? 83.数学期望的性质：（1）E(a??b)?aE(?)?b；（2）若?～B(n,p)，则E??np.

22284.方差D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn?? 85.标准差??=D?.

86.方差的性质(1)D????E?2?(E?)2;(2)D?a??b??a2D?；（3）若

?～B(n,p)，则D??np(1?p).

12?6??x???262287.正态分布密度函数f?x??e,x????,???式中的实数

μ，?（?>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

88.标准正态分布密度函数f?x??12?6e?x22,x????,???.

x????. ???89.对于N(?,?2)，取值小于x的概率F?x?????P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1??F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????. ??????线方程 ?y??anii90.回归直

i?1n，bx其中

n???xi?x??yi?y???b?i?1n?2???xi?x??i?1??a?y?bx?xy?i?1?nxy2xi?nx2.

n91.相关系数

??xr?i?1ni?x??yi?y?n2

2?(xi?1i?x)?(yi?1i?y)n??x?i?1n2i?1i?x??yi?y?n222. (?xi?nx)(?yi?ny)i?1|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

?0?nq??192.特殊数列的极限 （1）limn????不存在|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?kk?1akn?ak?1n???a0?at??(k?t)（2）limtt?1n??bn?bn???b0tt?1?bk?不存在 (k?t)?.

S（3）

?lima11?qn1?q??n???a11?q（S无穷等比数列?a1qn?1? (|q|?1)的和）.

x?x093.xlim?x0f(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?ax?x0.这是函数极限存在的一个

充要条件.

94.函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

g(x)?a,limh(x)?a（常数）,则（1）g(x)?f(x)?h(x);（2）xlim?xx?x00x?x0limf(x)?a.

sinxx本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 95.两个重要的极限 （1）

1??lim?1???e(e=2.718281845?). x??x??xlimx?0?1；（2）

96.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f?(x0)?y?x?x0?lim?y?x?x?0?limf(x0??x)?f(x0)?x?097.瞬时速度??s?(t)?lim?s?t?t?0?lim?v?t?xs(t??t)?s(t). . .

导

数

?t?098.瞬时加速度a?v?(t)??limt?099.

f?(x)?y??dydx??lim?tv(t??t)?v(t)?t?t?0f(x)dfdx?lim?y?x?x?0在

?lim?x?0(a,b)f(x??x)?f(x)?x的.

100.函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).

101.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??1x；(loga)??x1xlogea.

(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

102.复合函数的求导法则 设函数u??(x)在点x处有导数''''ux??(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu?f(u)，则复

'''合函数y?f(?(x)在)点x处有导数，且yx?yu?ux，或写作'''fx(?(x)?)f?u(). x()103.可导函数y?f(x)的微分dy?f?(x)dx. 104.a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

105.复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?bi|=106.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc?d22a?b22.

?bc?adc?d22i(c?di?0).

107.复平面上的两点间的距离公式

22d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

108.向量的垂直 非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是??????????OZ1，OZ2，则

??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2z1222为纯虚数?|z1?z2|?|z1|?|z2|

222

?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2(λ

为非零实数).

109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程

ax?bx?c?022，①若

??b?4ac?0b2a2,则

x1,2??b?b?4ac2a2;②若

??b?4ac?0,则x1?x2??;③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没

C有实数根；在复数集

x??b?(?b2a2内有且仅有两个共轭复数根

4?ac)2i. (b?4ac?0)

101.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）. (2) (xn)'?nxn?1(n?Q). (3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??1x；(loga)??x1xlogea.

(6) (ex)??ex; (ax)??axlna.

102.复合函数的求导法则 设函数u??(x)在点x处有导数''''ux??(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导数yu?f(u)，则复

'''合函数y?f(?(x)在)点x处有导数，且yx?yu?ux，或写作'''fx(?(x)?)f?u(). x()103.可导函数y?f(x)的微分dy?f?(x)dx. 104.a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

105.复数z?a?bi的模（或绝对值）|z|=|a?bi|=106.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bdc?d22a?b22.

?bc?adc?d22i(c?di?0).

107.复平面上的两点间的距离公式

22d?|z1?z2|?(x2?x1)?(y2?y1)（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

108.向量的垂直 非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是??????????OZ1，OZ2，则

??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2z1222为纯虚数?|z1?z2|?|z1|?|z2|

222

?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2(λ

为非零实数).

109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程

ax?bx?c?022，①若

??b?4ac?0b2a2,则

x1,2??b?b?4ac2a2;②若

??b?4ac?0,则x1?x2??;③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没

C有实数根；在复数集

x??b?(?b2a2内有且仅有两个共轭复数根

4?ac)2i. (b?4ac?0)

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